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-山东省青岛市市北区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷 （word版 含答案）
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这是一份-山东省青岛市市北区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷 （word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题用圆规，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．任意买一张电影票，座位号是单数
D．太阳东升西落
3．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
4．下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a2
5．如图，直线EF经过AC中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列能使△AOE≌△COF的条件有（ ）
①∠A＝∠C；②AB∥CD；③AE＝CF；④OE＝OF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若a3m＝27，am﹣n＝18，则a2m+n＝（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论正确的有（ ）
①∠ABC＝70°；②∠BAD＝80°；③CE＝CD；④CE＝AE；⑤沿AC折叠，△ABC与△ACD重合．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．KN95型口罩可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.00000034m的非油性颗粒，其中，0.00000034用科学记数法表示为 ．
10．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝ °．
11．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2．
12．如图，丽丽用边长为4的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 ．
13．如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ °．
14．若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，当通话时间为t分钟时（t≥3且t为整数），电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式为 ．
15．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
16．黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 ．
三、作图题（本题满分0分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．已知：如图，线段a和∠β．求作：△ABC，使BC＝a，且AB＝AC，∠B＝∠C＝∠β．
四、解答题（本题满分54分）
18．（6分）计算
（1）；
（2）x2⋅x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5；
（3）2x（x+2y）﹣（﹣2y﹣x）（2y﹣x）；
（4）[（x+3y）2﹣（2x﹣y）（x+3y）+x2]÷（2y）．
19．（6分）如图所示，是一个均匀的可以自由转动的转盘；某购物广场举办有奖销售活动，顾客每购物满100元，就获得一次转这个转盘的机会．请你根据以上信息：
（1）求：顾客转出“七折优惠”的概率；
（2）求：顾客转出“得20元”的概率；
（3）求：顾客中奖的概率．
20．（8分）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BC上，且BF＝CE．
（1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．试说明：△ABE≌△DCF．
解：∵AB∥CD，
∴∠ ＝∠ （ ）．
∵BF＝CE，
即BE+EF＝CF+EF，
∴ ＝ （ ）．
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△DCF（ ）．
（2）由（1）可得，AE与DF平行吗？请说明理由．
21．（6分）请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
22．（8分）某市5月1日海拔h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系如表格所示；当日当地一架飞机返回地面下降过程中，飞机的海拔高度与返回地面所用时间的关系如图象所示．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
0
2
﹣4
…
根据所给表格和图象，回答以下问题：
（1）由表可知海拔5千米的上空气温约为 ℃；
（2）按表格中的规律，请写出当日气温t与海拔高度h的关系式为 ；
（3）返回途中，飞机在2千米高空大约盘旋了 分钟；
（4）飞机自9.8千米的海拔高度下降10分钟时，所在高空的气温是 ℃；下降16分钟时所在高空的气温是 ℃．
23．（8分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
24．（12分）如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0＜t≤10，DC和BE交于点F．
（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：
（2）连接DE，求t为何值时，DE∥BC；
（3）若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t＝7s时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
2020-2021学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．任意买一张电影票，座位号是单数
D．太阳东升西落
【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，因此选项A是随机事件，不符合题意；
B．车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，有可能遇到绿灯，是随机事件，因此不符合题意；
C．任意买一张电影票，座位号可能是单数，有可能是双号，是随机事件，因此不符合题意；
D．太阳升西落，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是2和4，
∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．
则三角形的周长：8＜C＜12，
C选项11符合题意，
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a2
【分析】注意到A选项中，5ab与3b不属于同类项，不能合并；B选项为积的乘方，C选项为完全平方公式，D选项为单项式除法，运用相应的公式进行计算即可．
【解答】解：
A选项，5ab与3b不属于同类项，不能合并，选项错误，
B选项，积的乘方（﹣3a2b）2＝（﹣3）2a4b2＝9a4b2，选项错误，
C选项，完全平方公式（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，选项错误
D选项，单项式除法，计算正确
故选：D．
5．如图，直线EF经过AC中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列能使△AOE≌△COF的条件有（ ）
①∠A＝∠C；②AB∥CD；③AE＝CF；④OE＝OF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先得到OA＝OC，∠AOE＝∠COF，然后根据全等三角形的判定方法进行添加条件．
【解答】解：∵O点为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵∠AOE＝∠COF，
∴当①∠A＝∠C，可根据“ASA“判断△AOE≌△COF；
当②AB∥CD，则∠A＝∠C，可根据“ASA“判断△AOE≌△COF；
当④OE＝OF，则可根据“SAS“判断△AOE≌△COF．
故选：C．
6．若a3m＝27，am﹣n＝18，则a2m+n＝（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】根据幂的乘方的定义可得a3m＝（am）3＝27＝33，据此可得am＝3；逆向运用同底数幂的除法法则可得am﹣n＝am÷an＝18＝3×6，据此可得an＝6，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵a3m＝（am）3＝27＝33，
∴am＝3，
又∵am﹣n＝am÷an＝18，
∴an＝am÷18＝，
∴a2m+n＝（am）2•an＝32×＝．
故选：B．
7．如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：
当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，
∴反映到图象上应选A．
故选：A．
8．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论正确的有（ ）
①∠ABC＝70°；②∠BAD＝80°；③CE＝CD；④CE＝AE；⑤沿AC折叠，△ABC与△ACD重合．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及折叠的性质判断即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故①正确；
∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故②正确；
∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，
故③错误，
∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴CE＝AE，故④正确；
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴沿AC折叠，△ABC与△ACD重合，
故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．KN95型口罩可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.00000034m的非油性颗粒，其中，0.00000034用科学记数法表示为 3.4×10﹣7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7，
故答案为：3.4×10﹣7．
10．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝ 80 °．
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3＝∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠3，
∴3∠3+60°＝180°，
∴∠3＝40°，
∴∠1＝80°，
故答案为：80．
11．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 2.8 cm2．
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．
【解答】解：正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，
∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8，
故答案为：2.8．
12．如图，丽丽用边长为4的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 2 ．
【分析】根据七巧板的特征，可知点F是CD的中点，点E是BC的中点，S△DJF+S△HIJ＝S△CEF，进而即可得到答案．
【解答】解：由题意得，点F是CD的中点，即DF＝CF＝DC＝×4＝2，
同理：CE＝BE＝BC＝2，
∴这个“人”的两只脚所占的面积＝S△DJF+S△HIJ＝S△CEF＝＝2．
故答案为：2．
13．如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ 90 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，
∴BD＝AD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠C+BAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠CAD＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故答案为：90．
14．若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，当通话时间为t分钟时（t≥3且t为整数），电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式为 y＝0.3+0.5t ．
【分析】当t≥3时，超3分钟的时间为：t﹣3，单价为0.5元，所以列式为：y＝1.8+0.5（t﹣3），化简解可．
【解答】解：由题意得，y＝1.8+0.5（t﹣3）＝0.5t+0.3，
故答案为：y＝0.5t+0.3．
15．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S△ADF﹣S△BEF＝ 9 ．
【分析】根据EC＝3BE，AD＝DC，则有3S△BEF＝S△EFC，S△DCF＝S△ADF，S△BDC＝18，S△AEC＝×36＝27，设S△BEF＝x，则S△EFC＝3x，设S△DCF＝S△ADF＝y，则有，解得，则S△ADF﹣S△BEF＝9．
【解答】解：如图1所示，连接CF，
∵EC＝3BE，AD＝DC，
∴3S△BEF＝S△EFC，S△DCF＝S△ADF，S△BDC＝＝18，S△AEC＝×36＝27
设S△BEF＝x，则S△EFC＝3x，设S△DCF＝S△ADF＝y，
则有，
解得，
∴S△ADF﹣S△BEF＝9．
故答案为：9．
16．黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 123 ．
【分析】随机举一个数字，按照题中规律计算出最后的三位数即可．
【解答】解：取一个数为243，
第一次运算结果为213，
第二次运算结果为123，
第三次运算结果为123，
...，
∴最后得到的循环不变的数字是123，
故答案为：123．
三、作图题（本题满分0分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．已知：如图，线段a和∠β．求作：△ABC，使BC＝a，且AB＝AC，∠B＝∠C＝∠β．
【分析】作射线BM，在射线BM上截取BC＝a，在线段BC的上方作∠EBC＝∠FCB＝β，BE交CF于A，△ABC即为所求．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
四、解答题（本题满分54分）
18．（6分）计算
（1）；
（2）x2⋅x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5；
（3）2x（x+2y）﹣（﹣2y﹣x）（2y﹣x）；
（4）[（x+3y）2﹣（2x﹣y）（x+3y）+x2]÷（2y）．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
（2）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（3）根据单项式乘多项式和平方差公式可以解答本题；
（4）根据完全平方公式、多项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝3+4﹣1
＝6；
（2）x2⋅x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5
＝x8﹣4x8+5x8
＝2x8；
（3）2x（x+2y）﹣（﹣2y﹣x）（2y﹣x）
＝2x2+4xy﹣（x2﹣4y2）
＝2x2+4xy﹣x2+4y2
＝x2+4xy+4y2；
（4）[（x+3y）2﹣（2x﹣y）（x+3y）+x2]÷（2y）
＝（x2+6xy+9y2﹣2x2﹣6xy+xy+3y2+x2）÷（2y）
＝（xy+12y2）÷（2y）
＝+6y．
19．（6分）如图所示，是一个均匀的可以自由转动的转盘；某购物广场举办有奖销售活动，顾客每购物满100元，就获得一次转这个转盘的机会．请你根据以上信息：
（1）求：顾客转出“七折优惠”的概率；
（2）求：顾客转出“得20元”的概率；
（3）求：顾客中奖的概率．
【分析】（1）用“七折优惠”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案；
（2）用“得20元”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案；
（3）用“中奖”的所有圆心角的和除以周角的度数即可求得答案．
【解答】解：（1）观察统计图知：顾客转出“七折优惠”的扇形的圆心角的度数为80°，
所以顾客转出“七折优惠”的概率为＝；
（2）观察统计图知：顾客转出“得20元”的扇形的圆心角的度数为90°，
所以顾客转出“得20元”的概率为＝；
（3）观察统计图知：顾客中奖的扇形的圆心角的度数为80°+60°+60°+90°＝290°，
所以顾客中奖的概率为＝；
20．（8分）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BC上，且BF＝CE．
（1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．试说明：△ABE≌△DCF．
解：∵AB∥CD，
∴∠ ＝∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵BF＝CE，
即BE+EF＝CF+EF，
∴ BF ＝ CE （ 等式的性质 ）．
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△DCF（ SAS ）．
（2）由（1）可得，AE与DF平行吗？请说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△DCF；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，即可得结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
故答案为B，C，两直线平行，内错角相等，BF＝CE，等式的性质，SAS．
（2）AE与DF平行．
理由如下：
∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴AE∥DF．
21．（6分）请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
【分析】设计的摸球游戏小球的标号中奇数和偶数相等即可，列表得出所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：小明和小亮一起玩一个摸球游戏，他们手里各自拿一个不透明的袋子，每个袋子装有标号分别为2，3，4，5的4个小球，小球除标号外其他均相同．游戏规则是，小明和小亮从各自的袋子中随机摸出一个球，然后将摸出的小球标号相加，如果和为偶数，则小亮胜，如果和为奇数，则小明胜．
列表如下：
2
3
4
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
所有等可能的情况数有16种，其中小明、小亮获胜的结果各有4种，
则小明获胜的概率是＝，
小亮获胜的概率是＝，
∵＝，
∴这个游戏规则对双方是公平的，
即游戏者获胜的概率是．
22．（8分）某市5月1日海拔h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系如表格所示；当日当地一架飞机返回地面下降过程中，飞机的海拔高度与返回地面所用时间的关系如图象所示．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
0
2
﹣4
…
根据所给表格和图象，回答以下问题：
（1）由表可知海拔5千米的上空气温约为 ﹣10 ℃；
（2）按表格中的规律，请写出当日气温t与海拔高度h的关系式为 t＝20﹣6h ；
（3）返回途中，飞机在2千米高空大约盘旋了 2 分钟；
（4）飞机自9.8千米的海拔高度下降10分钟时，所在高空的气温是 ﹣38.8 ℃；下降16分钟时所在高空的气温是 14 ℃．
【分析】（1）由表中数据即可得；
（2）由海拔高度每上升1千米，气温下降6℃求解可得；
（3）由函数图象中t＝10至t＝12时，h＝2求解可得；
（4）将h＝9.8代入t＝20﹣6h求解可得；求出12分钟后，h与t的关系式，再把t＝16代入计算即可．
【解答】解：（1）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，故海拔5千米的上空气温约为﹣10℃，
故答案为：﹣10；
（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，
所以当日气温t与海拔高度h的关系式为t＝20﹣6h，
故答案为：t＝20﹣6h；
（3）飞机在2千米高空水平面上大约盘旋了2分钟，
故答案为：2；
（4）当h＝9.8时，t＝20﹣6×9.8＝﹣38.8（℃），
设12分钟后，h与t的函数关系式为h＝kt+b，
则，
解得，
∴h＝﹣+5，
当t＝16时，h＝1，
即下降16分钟时所在高空的气温是14度，
故答案为：﹣38.8；14．
23．（8分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 90 度；∠ABP+∠ACP＝ 40 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
24．（12分）如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0＜t≤10，DC和BE交于点F．
（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：
（2）连接DE，求t为何值时，DE∥BC；
（3）若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t＝7s时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；
（2）DE∥BC，则AD＝AE，即t＝10﹣t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE＝D'E，证明四边形ADD'E是平行四边形，即可求D'E的值．
【解答】解：（1）由已知可得AD＝t，EC＝t，
∴AD＝CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE＝CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，
∵AB＝AC＝10，
∴AD＝AE，
∴t＝10﹣t，
∴t＝5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP＝D'P，
∴DP+PE＝D'P+PE＝D'E，
∵t＝7，
∴AE＝BD＝3，AD＝CE＝7，
∵DD'⊥BM，BM⊥AC，
∴DD'∥AC，
∵BD＝BD'，∠ABC＝60°，
∴DD'＝3，
∴四边形ADD'E是平行四边形，
∴AD＝D'E＝7，
∴PD+PE的最小值为7．
2020-2021学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．任意买一张电影票，座位号是单数
D．太阳东升西落
3．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
4．下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a2
5．如图，直线EF经过AC中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列能使△AOE≌△COF的条件有（ ）
①∠A＝∠C；②AB∥CD；③AE＝CF；④OE＝OF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若a3m＝27，am﹣n＝18，则a2m+n＝（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论正确的有（ ）
①∠ABC＝70°；②∠BAD＝80°；③CE＝CD；④CE＝AE；⑤沿AC折叠，△ABC与△ACD重合．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．KN95型口罩可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.00000034m的非油性颗粒，其中，0.00000034用科学记数法表示为 ．
10．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝ °．
11．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 cm2．
12．如图，丽丽用边长为4的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 ．
13．如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ °．
14．若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，当通话时间为t分钟时（t≥3且t为整数），电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式为 ．
15．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
16．黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 ．
三、作图题（本题满分0分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．已知：如图，线段a和∠β．求作：△ABC，使BC＝a，且AB＝AC，∠B＝∠C＝∠β．
四、解答题（本题满分54分）
18．（6分）计算
（1）；
（2）x2⋅x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5；
（3）2x（x+2y）﹣（﹣2y﹣x）（2y﹣x）；
（4）[（x+3y）2﹣（2x﹣y）（x+3y）+x2]÷（2y）．
19．（6分）如图所示，是一个均匀的可以自由转动的转盘；某购物广场举办有奖销售活动，顾客每购物满100元，就获得一次转这个转盘的机会．请你根据以上信息：
（1）求：顾客转出“七折优惠”的概率；
（2）求：顾客转出“得20元”的概率；
（3）求：顾客中奖的概率．
20．（8分）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BC上，且BF＝CE．
（1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．试说明：△ABE≌△DCF．
解：∵AB∥CD，
∴∠ ＝∠ （ ）．
∵BF＝CE，
即BE+EF＝CF+EF，
∴ ＝ （ ）．
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△DCF（ ）．
（2）由（1）可得，AE与DF平行吗？请说明理由．
21．（6分）请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
22．（8分）某市5月1日海拔h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系如表格所示；当日当地一架飞机返回地面下降过程中，飞机的海拔高度与返回地面所用时间的关系如图象所示．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
0
2
﹣4
…
根据所给表格和图象，回答以下问题：
（1）由表可知海拔5千米的上空气温约为 ℃；
（2）按表格中的规律，请写出当日气温t与海拔高度h的关系式为 ；
（3）返回途中，飞机在2千米高空大约盘旋了 分钟；
（4）飞机自9.8千米的海拔高度下降10分钟时，所在高空的气温是 ℃；下降16分钟时所在高空的气温是 ℃．
23．（8分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
24．（12分）如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0＜t≤10，DC和BE交于点F．
（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：
（2）连接DE，求t为何值时，DE∥BC；
（3）若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t＝7s时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
2020-2021学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．任意买一张电影票，座位号是单数
D．太阳东升西落
【分析】根据必然事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，因此选项A是随机事件，不符合题意；
B．车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，有可能遇到绿灯，是随机事件，因此不符合题意；
C．任意买一张电影票，座位号可能是单数，有可能是双号，是随机事件，因此不符合题意；
D．太阳升西落，是必然事件，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是2和4，
∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．
则三角形的周长：8＜C＜12，
C选项11符合题意，
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a2
【分析】注意到A选项中，5ab与3b不属于同类项，不能合并；B选项为积的乘方，C选项为完全平方公式，D选项为单项式除法，运用相应的公式进行计算即可．
【解答】解：
A选项，5ab与3b不属于同类项，不能合并，选项错误，
B选项，积的乘方（﹣3a2b）2＝（﹣3）2a4b2＝9a4b2，选项错误，
C选项，完全平方公式（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，选项错误
D选项，单项式除法，计算正确
故选：D．
5．如图，直线EF经过AC中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列能使△AOE≌△COF的条件有（ ）
①∠A＝∠C；②AB∥CD；③AE＝CF；④OE＝OF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先得到OA＝OC，∠AOE＝∠COF，然后根据全等三角形的判定方法进行添加条件．
【解答】解：∵O点为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵∠AOE＝∠COF，
∴当①∠A＝∠C，可根据“ASA“判断△AOE≌△COF；
当②AB∥CD，则∠A＝∠C，可根据“ASA“判断△AOE≌△COF；
当④OE＝OF，则可根据“SAS“判断△AOE≌△COF．
故选：C．
6．若a3m＝27，am﹣n＝18，则a2m+n＝（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】根据幂的乘方的定义可得a3m＝（am）3＝27＝33，据此可得am＝3；逆向运用同底数幂的除法法则可得am﹣n＝am÷an＝18＝3×6，据此可得an＝6，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵a3m＝（am）3＝27＝33，
∴am＝3，
又∵am﹣n＝am÷an＝18，
∴an＝am÷18＝，
∴a2m+n＝（am）2•an＝32×＝．
故选：B．
7．如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：
当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y逐渐变小，
∴反映到图象上应选A．
故选：A．
8．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论正确的有（ ）
①∠ABC＝70°；②∠BAD＝80°；③CE＝CD；④CE＝AE；⑤沿AC折叠，△ABC与△ACD重合．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及折叠的性质判断即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故①正确；
∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故②正确；
∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，
故③错误，
∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴CE＝AE，故④正确；
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴沿AC折叠，△ABC与△ACD重合，
故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．KN95型口罩可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.00000034m的非油性颗粒，其中，0.00000034用科学记数法表示为 3.4×10﹣7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7，
故答案为：3.4×10﹣7．
10．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝ 80 °．
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3＝∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠3，
∴3∠3+60°＝180°，
∴∠3＝40°，
∴∠1＝80°，
故答案为：80．
11．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 2.8 cm2．
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．
【解答】解：正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，
∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8，
故答案为：2.8．
12．如图，丽丽用边长为4的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 2 ．
【分析】根据七巧板的特征，可知点F是CD的中点，点E是BC的中点，S△DJF+S△HIJ＝S△CEF，进而即可得到答案．
【解答】解：由题意得，点F是CD的中点，即DF＝CF＝DC＝×4＝2，
同理：CE＝BE＝BC＝2，
∴这个“人”的两只脚所占的面积＝S△DJF+S△HIJ＝S△CEF＝＝2．
故答案为：2．
13．如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝ 90 °．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，AD＝CD，求出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，
∴BD＝AD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠C+BAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠CAD＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故答案为：90．
14．若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，每增加1分钟加收0.5元，当通话时间为t分钟时（t≥3且t为整数），电话费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式为 y＝0.3+0.5t ．
【分析】当t≥3时，超3分钟的时间为：t﹣3，单价为0.5元，所以列式为：y＝1.8+0.5（t﹣3），化简解可．
【解答】解：由题意得，y＝1.8+0.5（t﹣3）＝0.5t+0.3，
故答案为：y＝0.5t+0.3．
15．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S△ADF﹣S△BEF＝ 9 ．
【分析】根据EC＝3BE，AD＝DC，则有3S△BEF＝S△EFC，S△DCF＝S△ADF，S△BDC＝18，S△AEC＝×36＝27，设S△BEF＝x，则S△EFC＝3x，设S△DCF＝S△ADF＝y，则有，解得，则S△ADF﹣S△BEF＝9．
【解答】解：如图1所示，连接CF，
∵EC＝3BE，AD＝DC，
∴3S△BEF＝S△EFC，S△DCF＝S△ADF，S△BDC＝＝18，S△AEC＝×36＝27
设S△BEF＝x，则S△EFC＝3x，设S△DCF＝S△ADF＝y，
则有，
解得，
∴S△ADF﹣S△BEF＝9．
故答案为：9．
16．黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 123 ．
【分析】随机举一个数字，按照题中规律计算出最后的三位数即可．
【解答】解：取一个数为243，
第一次运算结果为213，
第二次运算结果为123，
第三次运算结果为123，
...，
∴最后得到的循环不变的数字是123，
故答案为：123．
三、作图题（本题满分0分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
17．已知：如图，线段a和∠β．求作：△ABC，使BC＝a，且AB＝AC，∠B＝∠C＝∠β．
【分析】作射线BM，在射线BM上截取BC＝a，在线段BC的上方作∠EBC＝∠FCB＝β，BE交CF于A，△ABC即为所求．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
四、解答题（本题满分54分）
18．（6分）计算
（1）；
（2）x2⋅x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5；
（3）2x（x+2y）﹣（﹣2y﹣x）（2y﹣x）；
（4）[（x+3y）2﹣（2x﹣y）（x+3y）+x2]÷（2y）．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
（2）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（3）根据单项式乘多项式和平方差公式可以解答本题；
（4）根据完全平方公式、多项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝3+4﹣1
＝6；
（2）x2⋅x6﹣（﹣2x4）2+5x13÷x5
＝x8﹣4x8+5x8
＝2x8；
（3）2x（x+2y）﹣（﹣2y﹣x）（2y﹣x）
＝2x2+4xy﹣（x2﹣4y2）
＝2x2+4xy﹣x2+4y2
＝x2+4xy+4y2；
（4）[（x+3y）2﹣（2x﹣y）（x+3y）+x2]÷（2y）
＝（x2+6xy+9y2﹣2x2﹣6xy+xy+3y2+x2）÷（2y）
＝（xy+12y2）÷（2y）
＝+6y．
19．（6分）如图所示，是一个均匀的可以自由转动的转盘；某购物广场举办有奖销售活动，顾客每购物满100元，就获得一次转这个转盘的机会．请你根据以上信息：
（1）求：顾客转出“七折优惠”的概率；
（2）求：顾客转出“得20元”的概率；
（3）求：顾客中奖的概率．
【分析】（1）用“七折优惠”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案；
（2）用“得20元”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案；
（3）用“中奖”的所有圆心角的和除以周角的度数即可求得答案．
【解答】解：（1）观察统计图知：顾客转出“七折优惠”的扇形的圆心角的度数为80°，
所以顾客转出“七折优惠”的概率为＝；
（2）观察统计图知：顾客转出“得20元”的扇形的圆心角的度数为90°，
所以顾客转出“得20元”的概率为＝；
（3）观察统计图知：顾客中奖的扇形的圆心角的度数为80°+60°+60°+90°＝290°，
所以顾客中奖的概率为＝；
20．（8分）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BC上，且BF＝CE．
（1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．试说明：△ABE≌△DCF．
解：∵AB∥CD，
∴∠ ＝∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵BF＝CE，
即BE+EF＝CF+EF，
∴ BF ＝ CE （ 等式的性质 ）．
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△DCF（ SAS ）．
（2）由（1）可得，AE与DF平行吗？请说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△DCF；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，即可得结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
故答案为B，C，两直线平行，内错角相等，BF＝CE，等式的性质，SAS．
（2）AE与DF平行．
理由如下：
∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴AE∥DF．
21．（6分）请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
【分析】设计的摸球游戏小球的标号中奇数和偶数相等即可，列表得出所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：小明和小亮一起玩一个摸球游戏，他们手里各自拿一个不透明的袋子，每个袋子装有标号分别为2，3，4，5的4个小球，小球除标号外其他均相同．游戏规则是，小明和小亮从各自的袋子中随机摸出一个球，然后将摸出的小球标号相加，如果和为偶数，则小亮胜，如果和为奇数，则小明胜．
列表如下：
2
3
4
5
2
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
所有等可能的情况数有16种，其中小明、小亮获胜的结果各有4种，
则小明获胜的概率是＝，
小亮获胜的概率是＝，
∵＝，
∴这个游戏规则对双方是公平的，
即游戏者获胜的概率是．
22．（8分）某市5月1日海拔h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系如表格所示；当日当地一架飞机返回地面下降过程中，飞机的海拔高度与返回地面所用时间的关系如图象所示．
海拔高度h（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温t（℃）
20
14
0
2
﹣4
…
根据所给表格和图象，回答以下问题：
（1）由表可知海拔5千米的上空气温约为 ﹣10 ℃；
（2）按表格中的规律，请写出当日气温t与海拔高度h的关系式为 t＝20﹣6h ；
（3）返回途中，飞机在2千米高空大约盘旋了 2 分钟；
（4）飞机自9.8千米的海拔高度下降10分钟时，所在高空的气温是 ﹣38.8 ℃；下降16分钟时所在高空的气温是 14 ℃．
【分析】（1）由表中数据即可得；
（2）由海拔高度每上升1千米，气温下降6℃求解可得；
（3）由函数图象中t＝10至t＝12时，h＝2求解可得；
（4）将h＝9.8代入t＝20﹣6h求解可得；求出12分钟后，h与t的关系式，再把t＝16代入计算即可．
【解答】解：（1）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，故海拔5千米的上空气温约为﹣10℃，
故答案为：﹣10；
（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，
所以当日气温t与海拔高度h的关系式为t＝20﹣6h，
故答案为：t＝20﹣6h；
（3）飞机在2千米高空水平面上大约盘旋了2分钟，
故答案为：2；
（4）当h＝9.8时，t＝20﹣6×9.8＝﹣38.8（℃），
设12分钟后，h与t的函数关系式为h＝kt+b，
则，
解得，
∴h＝﹣+5，
当t＝16时，h＝1，
即下降16分钟时所在高空的气温是14度，
故答案为：﹣38.8；14．
23．（8分）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 90 度；∠ABP+∠ACP＝ 40 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
24．（12分）如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0＜t≤10，DC和BE交于点F．
（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：
（2）连接DE，求t为何值时，DE∥BC；
（3）若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t＝7s时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；
（2）DE∥BC，则AD＝AE，即t＝10﹣t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE＝D'E，证明四边形ADD'E是平行四边形，即可求D'E的值．
【解答】解：（1）由已知可得AD＝t，EC＝t，
∴AD＝CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE＝CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，
∵AB＝AC＝10，
∴AD＝AE，
∴t＝10﹣t，
∴t＝5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP＝D'P，
∴DP+PE＝D'P+PE＝D'E，
∵t＝7，
∴AE＝BD＝3，AD＝CE＝7，
∵DD'⊥BM，BM⊥AC，
∴DD'∥AC，
∵BD＝BD'，∠ABC＝60°，
∴DD'＝3，
∴四边形ADD'E是平行四边形，
∴AD＝D'E＝7，
∴PD+PE的最小值为7．
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