初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试同步练习题

第一章综合检测试卷

(时间：120分钟　满分：100分)

一、选择题(本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共24分)

1．下列各组数中，不是勾股数的是(　　)

A．3,4,5 B．4,5,6 

C．5,12,13 D．6,8,10

2．【昆明官渡区期末】下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)

A．a∶b∶c＝5∶12∶13 B．∠A＋∠B＝∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．a＝6，b＝12，c＝10

3．在一水塔A的东北方向32 m处有一抽水池B，在水塔A的东南方向24 m处有一建筑工地C，在BC间需建一条直水管道，则水管的长为(　　)

A．45 m B．40 m 

C．50 m D．56 m

4．如果△ABC的三边长分别是m2－1、2m、m2＋1(m＞1)，那么(　　)

A．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m

B．△ABC是锐角三角形

C．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2＋1

D．△ABC是否为直角三角形，需看m的值

5．如图，在△ABD中，∠D＝90°，CD＝6，AD＝8，∠ACD＝2∠B，则BD的长是(　　)

第5题

A．12 B．14

C．16 D．18

6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC边中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于(　　)

第6题

A. B.

C． D.

7．如图所示是一段楼梯，高BC是3 m，斜边AC是5 m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯(　　)

第7题

A．5 m B．6 m

C．7 m D．8 m

8．如图，长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　)

第8题

A．6 cm2 B．8 cm2

C．10 cm2 D．12 cm2

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

9．已知△ABC三条边的长度分别为9,12,15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________.

10．若直角三角形的两条直角边长为a、b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三条边长为________.

11．如图，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，则∠BAD的度数为________.

第11题

　　　第13题

12．【云南中考】在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为________.

第14题

13．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA、PB、PC，PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°.其中一定正确的是________.(把所有正确答案的序号都填在横线上)

14．如图所示，一个机器人从点O出发，向正东方向走了3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，按此规律走下去，当机器人走到点A6时，与点O的距离是________米.

三、解答题(本大题共9个小题，共58分)

15．(本小题5分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15.求：

(1)AB的长；

(2)CD的长．

第15题

16．(本小题5分)如图所示，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4 m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4 m吗？

第16题

17．(本小题5分)如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积．

第17题

18．(本小题5分)【文山期末】如图是一块地，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，且CD⊥AD，求这块地的面积．

第18题

19．(本小题6分)如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3.求证：

(1)△BEC为等边三角形；

(2)ED⊥CD.

第19题

20．(本小题6分)如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

第20题

21．(本小题8分)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8 cm，腰AB、AC的长为5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间．

第21题

22．(本小题8分)阅读理解：

我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5,12,13；9,40,41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3,4,5是三个连续正整数组成的勾股数．

解决问题：

(1)在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；

(2)在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．

23．(本小题10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级．该台风中心现在以20千米/时的速度沿北偏东30°方向往F移动，如图所示，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．

(1)该城市是否受到台风影响？请说明理由；

(2)若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响的持续时间有多长？

第23题

第一章综合检测试卷

一、1.B　2.D　3.B　4.C　5.C　6.C　7.C　8.A

二、9.108　10.5　11.135°　12.9或1　解析：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.由勾股定理，得BD＝＝＝5，CD＝＝＝4，∴BC＝BD＋CD＝5＋4＝9.②如图2，同理得CD＝4，BD＝5，∴BC＝BD－CD＝5－4＝1.综上所述，BC的长为9或1.

图1

图2

13．①②③　14.15

三、15.解：(1)在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，所以AB＝25.　(2)因为CD⊥AB，所以S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，所以AC·BC＝AB·CD，所以20×15＝25CD，所以CD＝12.

16．解：在Rt△AOB中，因为AB＝25 m，OB＝7 m，OA2＝AB2－OB2，所以OA＝24 m．因为AA′＝4 m，所以OA′＝OA－AA′＝20 m．在Rt△A′OB′中，因为OB′2＝A′B′2－OA′2，所以OB′＝15 m，所以BB′＝OB′－OB＝8 m．故这个梯子的顶端距地面24 m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4 m，而是滑动了8 m.

17．解：连接AC.在△ADC中，因为∠D＝90°，AD＝12，CD＝9，所以AC＝15，S△ADC＝AD·CD＝×12×9＝54.在△ABC中，因为AC＝15，AB＝25，BC＝20，所以BC2＋AC2＝AB2，所以△ACB是直角三角形，所以S△ACB＝AC·BC＝×15×20＝150，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝150＋54＝204.

18．解：连接AC.因为CD⊥AD，AD＝4 m，CD＝3 m，所以AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝25，所以AC＝5 m．又因为BC＝12 m，AB＝13 m，所以AC2＋BC2＝52＋122＝169＝AB2，所以∠ACB＝90°，所以S四边形ABCD＝S△ABC－S△ADC＝BC·AC－AD·CD＝30－6＝24(m2)，即这块地的面积是24 m2.

19．证明：(1)在Rt△ABE中，因为∠A＝60°，∠AEB＝90°，所以∠ABE＝30°.因为AB＝4，所以AE＝AB＝2，BE2＝AB2－AE2＝12.又因为BC2＝12，所以BE＝BC.又因为∠CBE＝60°，所以△BEC为等边三角形．

(2)因为△BEC为等边三角形，所以EC2＝BC2＝12.又因为DE2＝9，CD2＝3，所以DE2＋CD2＝12＝EC2，即△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，所以ED⊥CD.

20．解：在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2＝100，所以AB＝10 cm.由折叠可知CD＝DE，∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝6 cm，所以∠BED＝90°，BE＝AB－AE＝4 cm.设CD＝x cm，则DE＝x cm，BD＝(8－x)cm.在Rt△BDE中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为3 cm.

21．解：①当点P运动到PA与腰AC垂直时，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝4 cm.在Rt△ABD中，易知AD＝3 cm.设PD＝x cm，在Rt△APD中，PA2＝x2＋9；在Rt△PAC中，PC2＝PA2＋AC2，即(x＋4)2＝x2＋9＋25，所以x＝，所以BP＝BD－PD＝4－＝(cm)，所以此时点P运动的时间为÷0.25＝7(s)．②当点P运动到PA与腰AB垂直时，同理可得BP′＝ cm，此时点P运动的时间为÷0.25＝25(s)．故当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为7 s或25 s.

22．解：(1)存在三个连续偶数能组成勾股数，如6,8,10.

(2)不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．设这三个正整数分别为n－1、n、n＋1，则(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，解得n1＝4，n2＝0(舍去)．当n＝4时，n－1＝3，n＋1＝5，所以三个连续正整数仍然是3,4,5，所以不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．

23．解：(1)该城市会受到台风影响．理由如下：过点A作AD⊥BF于点D.在Rt△ABD中，因为∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，AB＝240千米，所以AD＝AB＝120千米．因为受到台风影响的最大距离为25×(12－4)＝200(千米)，且120<200，所以该城市会受到台风影响．

(2)设当台风移到点E处时，该城市开始受台风影响，当台风移至点C处时，该城市脱离台风影响，则AE＝AC＝200千米．在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝AE2－DA2＝1602，所以DE＝160千米．同理可得，CD＝160千米．所以CE＝CD＋DE＝320千米，所以该城市受台风影响的持续时间为＝16(时)．