2022年高考数学二轮复习近十年真题汇编专题16 选修4-5不等式选讲原卷+解析卷

专题16   选修4-5不等式选讲

【2021年】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【分析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【分析】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.

【分析】（1）函数的定义域为，

又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为.

（2）因为，故，即，

故，

设，由（1）可知不妨设.

因为时，，时，，

故.

先证：，

若，必成立.

若， 要证：，即证，而，

故即证，即证：，其中.

设，

则，

因为，故，故，

所以，故在为增函数，所以，

故，即成立，所以成立，

综上，成立.

设，则，

结合，可得：，

即：，故，

要证：，即证，即证，

即证：，即证：，

令，

则，

先证明一个不等式：.

设，则，

当时，；当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，故，

故成立

由上述不等式可得当时，，故恒成立，

故在上为减函数，故，

故成立，即成立.

综上所述，.

【2012年——2020年】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）.

【分析】

（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；

（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

【详解】

（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【分析】（1），

.

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，.

当且仅当时，取等号，

，即.

4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）   

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又   

5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.

6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，且.

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或.

【答案】(1) ；(2)见详解.

【分析】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立

所以的最小值为.

(2)

因为，所以.

根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.

所以成立，所以有或.

7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【详解】

分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；

(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.

详解：（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；(2) .

【详解】：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

9．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）

设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析

（2）

【详解】

：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．

（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值

详解：（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】：（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知，，，证明：

(1)；

(2).

【答案】(1) 见解析(2) 见解析

【分析】证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；

（2）∵a3+b3＝2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，

∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，

∴ab，

由均值不等式可得：ab≤

∴（a+b）3﹣2，

∴（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式≥1的解集；

（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x），

当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x1，

∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）1；

当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，

∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；

综上，g（x）max，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．

13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）画出的图象；

（Ⅱ）求不等式的解集．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】：（Ⅰ）的图像如图所示.

（Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或；

当时，可得或，

故的解集为；的解集为，

所以的解集为.

14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b时，.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【详解】（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而

，

因此

15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【详解】：（1）当时；（2）由

等价于

，解之得.

试题解析： （1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标））

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）

【解析】

试题分析：（I）当时，化为，

      当时，不等式化为，无解；

      当时，不等式化为，解得；

      当时，不等式化为，解得．

      所以的解集为．

（II）由题设可得，

       所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．

       由题设得，故．

       所以a的取值范围为

17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））选修4-5不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若，则；

（Ⅱ）是的充要条件．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．

18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若且

（I）求的最小值；

（II）是否存在，使得？并说明理由.

【答案】（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.

【解析】：（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.

试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.

故，且当时等号成立.

所以的最小值为.

（2）由（1）知，.

由于，从而不存在a，b，使得.

19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设函数

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析；（2）．

【详解】

试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.

试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.

（2）因为，所以

，解得：.

20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3．

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

【答案】解：（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0．

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x∈时，f（x）＝1＋a．

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3．所以x≥a－2对x∈都成立．

故≥a－2，即．从而a的取值范围是．

【解析】

试题分析（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．

（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．

21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）ab+bc+ac；

（Ⅱ）.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.

【详解】

（Ⅰ）由，，得：

，

由题设得，

即，

所以，即.

（Ⅱ）因为，，，

所以，

即，

所以.

22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数=.

(Ⅰ)当时，求不等式≥3的解集；

(Ⅱ) 若≤的解集包含，求的取值范围.

（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.

【答案】1．{|≤1或≥4} 2．[－3,0]

【详解】

(Ⅰ)当时，=，

当≤2时，由≥3得，解得≤1；

当2＜＜3时，≥3，无解；

当≥3时，由≥3得≥3，解得≥4，

∴≥3的解集为{|≤1或≥4}；

(Ⅱ)≤，

当∈[1,2]时，==2，

∴，有条件得且，即，

故满足条件的的取值范围为[－3,0]