2021年浙江中考数学真题精编精练——专题7圆

这是一份2021年浙江中考数学真题精编精练——专题7圆，共24页。

2021年浙江中考数学真题汇编——专题7圆
一．选择题〔共7小题〕
1．〔2021•衢州〕扇形的半径为6，圆心角为150°，那么它的面积是〔　　〕
A．32π B．3π C．5π D．15π
2．〔2021•金华〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，那么S1S2的值是〔　　〕

A．5π2 B．3π C．5π D．11π2
3．〔2021•绍兴〕如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，那么∠BPC的度数为〔　　〕

A．30° B．45° C．60° D．90°
4．〔2021•嘉兴〕平面内有⊙O和点A，B，假设⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为〔　　〕
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
5．〔2021•丽水〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．假设⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，那么以下结论一定成立的是〔　　〕

A．OE＝m•tanα B．CD＝2m•sinα
C．AE＝m•cosα D．S△COD=12m2•sinα
6．〔2021•湖州〕如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=3，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．假设点P从点A运动到点D，那么线段CC1扫过的区域的面积是〔　　〕

A．π B．π+334 C．332 D．2π
7．〔2021•湖州〕如图，点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，那么∠BOC的度数是〔　　〕

A．60° B．70° C．80° D．90°
二．填空题〔共5小题〕
8．〔2021•杭州〕如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．假设PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，那么PT＝　 　．

9．〔2021•宁波〕抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．假设∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，那么图中CD的长为 　 　cm．〔结果保存π〕

10．〔2021•台州〕如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．假设AB＝12，那么点B经过的路径BC长度为 　 　．〔结果保存π〕

11．〔2021•温州〕假设扇形的圆心角为30°，半径为17，那么扇形的弧长为 　 　．
12．〔2021•温州〕如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．假设∠A′＝25°，那么∠OCB＝　 　度．

三．解答题〔共8小题〕
13．〔2021•衢州〕如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．
〔1〕求证：BF是⊙A的切线．
〔2〕假设BE＝5，AC＝20，求EF的长．

14．〔2021•衢州〕如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点〔不包括端点〕，AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…








…
y1
…








…
y2
…








…
〔1〕当x＝3时，y1＝　 　．
〔2〕在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
〔3〕由〔2〕知“AC取某值时，有EC＝EB〞．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

15．〔2021•宁波〕如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
〔1〕假设∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
〔2〕如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连结CG，AD＝2．
①假设tan∠ADB=32，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．

16．〔2021•台州〕如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝42，点A是⊙O上的一个动点〔不与点B，D重合〕，以A，B，D为顶点作▱ABCD．
〔1〕如图2，假设点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
〔2〕假设点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．

17．〔2021•温州〕如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A〔2，0〕，B〔0，8〕，连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E〔点D在左侧〕，交x轴于点C〔17，0〕，连结AE．
〔1〕求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
〔2〕求点D，E的坐标；
〔3〕点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

18．〔2021•金华〕在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
〔1〕如图1，假设∠O＝75°，且BO′与AB所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
〔2〕如图2，BO′与AB相交于点D，假设点D为AB的中点，且PD∥OB，求AB的长．

19．〔2021•丽水〕如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．
〔1〕求证：∠ACB＝2∠ADE；
〔2〕假设DE＝3，AE=3，求CD的长．

20．〔2021•湖州〕如图，AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．
〔1〕求∠DAB的度数；
〔2〕过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．假设AB＝4，求DF的长．


2021年浙江中考数学真题汇编——专题7圆
参考答案与试题解析
一．选择题〔共7小题〕
1．【解答】解：扇形面积=150π×62360=15π，
应选：D．
2．【解答】解：如图，

设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
那么a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
连接OG，OE，那么OG，OE为半径，
由勾股定理得：
r2=(a+b2)2+(a2)2=c2+(c2)2，②
由①②得a＝b，
∴a2=c22，
∴S1=54πc2，
∴S2=12ab=c24，
∴S1S2=54πc2÷c24=5π，
应选：C．
3．【解答】解：连接OB、OC，如图，

∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴BC弧所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC=12∠BOC＝45°．
应选：B．
4．【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
应选：D．
5．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD＝2DE，
∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，
∴CD＝2DE＝2m•sinα，
应选：B．
6．【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，那么线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC=3，CD＝1，
∴tan∠DBC=13=33，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″=120×π×(3)2360=π，

作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF=12BC=32，
∴C''F＝tan60°×32=32，
∴S△BCC''=12×3×32=334，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+334．
应选：B．
7．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A=12∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
应选：C．
二．填空题〔共5小题〕
8．【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，OP═2，
∴PT═OP2-OT2═22-12═3，
故：PT═3．
9．【解答】解：如下图，连接OC，OD，OP，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
故∠OCP＝∠ODP＝90°，
又OC＝OD，OP＝OP，
那么Rt△OCP≌Rt△ODP〔HL〕．
∵∠CPD＝120°，
∴∠OPC＝∠OPD＝60°，
∴∠COP＝∠DOP＝30°，
∴∠COD＝60°．
∴CD的长为lCD=nπr180=60°×π×6180=2π．
故答案为：2π．

10．【解答】解：BC长度=30π⋅12180=2π，
故答案为：2π．
11．【解答】解：根据弧长公式可得：
l=nπr180=30⋅π⋅17180=176π．
故答案为：176π．
12．【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．

三．解答题〔共8小题〕
13．【解答】解：〔1〕证明：连接AD，如图，

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵AE⊥AC，
∴∠CAB+∠EAB＝90°．
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE＝∠BAD．
在△ABF和△ABD中，
AB=AB∠BAE=∠BADAF=AD，
∴△ABF≌△ABD〔SAS〕．
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴BF是⊙A的切线．
〔2〕由〔1〕得：BF⊥AE，
∵AC⊥AE，
∴BF∥AC．
∴△EFB∽△EAC．
∴BECE=BFCA，
∵BE＝5，CB＝AC＝20，
∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，
∴525=BF20．
∴BF＝4．
在Rt△BEF中，
EF=BE2-BF2=52-42=3．
14．【解答】解：〔1〕当x＝3时，点C和圆心O重合，此时CE为半圆O的半径，

∵AB＝6，
∴EC＝y1cm＝3cm，
∴y1＝3，
故答案为：3；
〔2〕函数y的图象如图：

由图象得：
当0＜x＜2时，y1＜y2，
当x＝2时，y1＝y2，
当2＜x＜6时，y1＞y2；
〔3〕〕连接OD，作EH⊥AB于H，

由〔2〕知时，有EC＝EB，
∵AC＝2，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，
∵CD⊥AB，
∴CD=OD2-OC2=22，
设OH＝m，那么CH＝1+m，
∵EH⊥AB，
∴EH=32-m2=9-m2，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴CDAC=EHCH，即222=9-m21+m，
∴m1＝1，m2=-73〔不合题意，舍去〕，
∴HB＝3﹣1＝2，EH=OE2-OH2=22，
∴EC=EH2+CH2=8+4=23，EB=EH2+HB2=8+4=23，
∴EC＝EB．
15．【解答】解：〔1〕∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AE=CD，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
〔2〕∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF＝DG；
〔3〕①如图，连接DE，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=32，AD＝2，
∴AB=32,AD=3，
∵AE=CD，
∴AE+DE=CD+DE，
即AD=CE，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB=ABBG=32,
∴∠AGB＝60°，AG=12BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG=12DG=12，DE=32DG=32,
在Rt△FED中，DF=EF2+DE2=72,
∴FG+DG+EF=5+72，
∴△FGD的周长为5+72；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，

∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF(AAS)，
∴FH＝AD，
∵AD＝BG,
∴FH＝BG,
∵∠BCF＝90°,
∴∠BCH+∠HCF＝90°,
∵∠BCH+∠HBC＝90°,
∴∠HCF＝∠HBC,
∵∠BHC＝∠CHF＝90°,
∴△BHC∽△CHF,
∴BHCH=CHFH,
设GH＝x,
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2(2﹣x)，
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2,
∴CG2＝x2+2(2﹣x)＝(x﹣1)2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为3．
16．【解答】〔1〕①证明：∵AD=AB,
∴AD＝AB,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

②解：连接OA交BD于J,连接OC．

∵AD=AB,
∴OA⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴A,O,C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝22,OD＝3,
∴OJ=OD2-DJ2=32-(22)2=1,
∴AJ＝OA＝OJ＝3﹣1＝2,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2,
∴S菱形ABCD=12•AC•BD=12×4×42=82．

〔2〕①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H,连接OH,OD,延长DO交AB于P,过点A作AJ⊥BD于J．

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD,
∵CD∥AB,
∴DP⊥AB,
∴PA＝PB,
∴DB＝AD＝42,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝22,
∴OH⊥BD,
∴∠DHO＝∠DPB＝90°,
∵∠ODH＝∠BDP,
∴△DHO∽△DPB,
∴DHDP=DODB=OHPB,
∴22DP=342=1PB,
∴DP=163,PB=423,
∴AB＝2PB=823,
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝42．

综上所述，AB的长为42或823．
②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵12•AB•DP=12•BD•AJ,
∴AJ=329,
∴BJ=AB2-AJ2=(823)2-(329)2=829,
∴JH＝BH＝BJ＝22-829=1029,
∴tan∠AHJ=AJHJ=3291029=825,
如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为825，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为825，
17．【解答】解：〔1〕∵点M是AB的中点，那么点M〔1,4〕，
那么圆的半径为AM=(2-1)2+42=17，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，那么17k+b=0k+b=4，解得k=-14b=174，
故直线CM的表达式为y=-14x+174；

〔2〕设点D的坐标为〔x，-14x+174〕，
由AM=17得：〔x﹣1〕2+〔-14x+174-4〕2＝〔17〕2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为〔﹣3,5〕、〔5,3〕；

〔3〕过点D作DH⊥OB于点H，那么DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE=(5-2)2+(0-3)2=32，
同理可得：BD＝32，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
那么△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为〔5,0〕，
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴AEBD=APBO，即3232=APBO=AP8，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴AEOB=APBD，即328=AP32，解得AP=94，
那么PO＝2+94=174，
综上，OP为5或10或174．
18．【解答】解：〔1〕①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．

②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,那么HF=3m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(3m+2m)2,
∴m=36-322或-36-322〔舍弃〕，
∴OH=36-322,BH=32+362,
在Rt△PBH中，PH=BHtan60°=6+322,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6-36-322-6+322=6﹣26．

(2)如图2中，连接AD,OD．
∵AD=BD,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,
∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,
∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,
∴∠AOB＝72°，
∴AB的长=72π⋅6180=12π5。


19．【解答】〔1〕证明：连接OD，CD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODC+∠EDC＝90°，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠ODC，
∵AC＝BC，
∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ACB＝2∠ADE；
〔2〕解：由〔1〕知，∠ADE+∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，
∴∠AED＝90°，
∵DE＝3，AE=3，
∴AD=32+(3)2=23，tanA=3，
∴∠A＝60°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝43，
∴∠COD=2∠B=120°，OC=23，
∴CD 的长为nπr180=120⋅π×23180=43π3．

20．【解答】解：〔1〕如图，连接BD，

∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
〔2〕∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD=12AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°=3，
∴DF＝2DE＝23．