高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案，共26页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，例1-1，例2-1，例3-1，例4-2等内容，欢迎下载使用。

1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
【知识点二】直线与平面所成的角
【知识点三】二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)画法：

(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
【例1-1】(求异面直线所成的角)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
【变式1】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
【变式2】如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例2-1】（直线与平面所成的角）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式1】 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
【变式2】 如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝eq \r(2)，求OA与平面α所成的角的大小．
【例3-1】（概念的理解）有下列结论：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
【例4-2】如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．
【变式1】如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式2】长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（ ）
A．B．C．D．
课后练习题
1．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
4．如图，在四棱锥中，，E是的中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值．
5．已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，.且为中点，与相交于点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与底面所成角的大小.
6.如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的大小.
7．如图，四棱锥中，，底面为矩形，平面平面，O､E分别是棱､的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
8．如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
8.6.2 空间直线、平面的垂直
【知识点一】异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
【知识点二】直线与平面所成的角
【知识点三】二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)画法：

(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
【例1-1】(求异面直线所成的角)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
【解析】如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝eq \f(1,2)AB，
GF∥CD且GF＝eq \f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
【变式1】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连，相交于点，连、，
因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，
由平面，可得，
则，，
因为，为的中点，所以，．
故选：D.
【变式2】如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】连接AC，D1C.
由P，Q分别为AD1，BD的中点，得PQ∥CD1.
又BC1∥AD1，∴∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角．
∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°.即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
【例2-1】（直线与平面所成的角）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，
∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，
故选：A．
【变式1】 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．
【解析】取AC的中点E，连接BE，DE.由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，
∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE.
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝eq \r(2)，
又AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，∴BE⊥平面ACD，
∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又BD＝eq \r(2)BC＝2eq \r(2)，
∴sin∠BDE＝eq \f(BE,BD)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.
【变式2】 如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝eq \r(2)，求OA与平面α所成的角的大小．
【解析】∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△AOB，△AOC为正三角形，
∴AB＝AC＝1，又BC＝eq \r(2)，
∴△BAC为直角三角形，
同理△BOC为直角三角形，
取BC中点H，连接AH，则AH⊥BC，
易得△AHB≌△AOH，∴AH⊥OH，∴AH⊥平面α，
∠AOH为OA与α所成的角，
在Rt△AOH中，AH＝eq \f(\r(2),2)，
∴sin∠AOH＝eq \f(AH,AO)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角为45°.
【例3-1】（概念的理解）有下列结论：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
【答案】 B
【解析】由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.
∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小为60°.
【例4-2】如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．
【解析】如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.
∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.
又AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD⊂平面AOD，∴BC⊥AD，
∴∠ADO即为二面角A－BC－O的平面角，
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，得AO⊥OB，AO⊥OC，
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴AO＝a，则AC＝eq \r(2)a，AB＝2a，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝eq \r(AC2＋AB2)＝eq \r(6)a，
∴AD＝eq \f(AB·AC,BC)＝eq \f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq \f(2\r(3),3)a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq \f(AO,AD)＝eq \f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小为60°.
【变式1】如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】三棱台中，，且，
则，又，且,
所以平面，
所以为的二面角，
因为为等边三角形，
所以.
故选：C
【变式2】）长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
取中点，连接、，因为，，
所以，，所以即为二面角的平面角，连接，
，，所以，又因为，
在中，，
所以二面角的余弦值为，
故选：B
课后练习题
1．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.
2．如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】作如图所示的辅助线，由于，为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，所以即为异面直线与所成的角（或补角），易得，所以.
故选：C．
3．如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）过P作PE⊥CD，交CD于点E，连接BE
∵，
所以CE=2，又因为,且
所以
∴BE⊥BC
∴AD⊥BE
又因为平面平面且PE⊥BC
∴AD⊥PE
∴AD⊥面PEB
∴
（2）∵
∴与平面所成角即为EC与平面所成角
过E作EF⊥PB，交PB于F点，连接CF，易知EF⊥平面PBC
所以∠ECF为与平面所成角，
因为PE=2，
根据等面积法得到
所以与平面所成角的正弦值为.
4．如图，在四棱锥中，，E是的中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由已知可得在直角梯形中，
，，，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）得平面，∵平面，∴平面平面，
过点在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，，平面，平面，
∴即为直线与平面所成角，
中，，，，
所以，，且，
∴，∴，
∴直线与平面所成的角的正弦值为.
5．已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，.且为中点，与相交于点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与底面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连，则
又面，面，平面；
（2）连，取中点，连，则
由面与底面垂直，且面，可得面
则为直线与底面所成角
设，则；，则；
，即
则直线与底面所成角的大小为
6.如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）证明：设，连接，则是中点，又是中点，
∴，又平面，平面，
∴平面．
（2）平面，平面，∴，同理，又正方形中，
，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面；
（3）∵平面，平面，∴，
∴是二面角的平面角，
由已知，而，分别是中点，
∴，∴．
即二面角的大小为．
7．如图，四棱锥中，，底面为矩形，平面平面，O､E分别是棱､的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连接，
因为是中点，∴，且，
又是矩形，，是中点，
∴，∴是平行四边形，∴，
而平面，平面，∴平面．
（2）取中点，连接，
是矩形，是中点，则，
又，∴，
而平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，．
，平面，∴平面，而平面，
∴，∴（或其补角）是二面角的平面角．
设，则，，，
∴，，∴．
∴二面角的大小为．
8．如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】证明：
（1）取的中点，连接，
于是，又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，而面，面，
所以直线平面；
（2）连接，∵ 四边形为菱形，，
为的中点，∴，∵平面平面，
且平面平面，平面平面，
且平面平面，
∴平面，又，∴，
∴就是二面角的平面角，设棱长为2，
则，∴，
∴二面角的大小为.
有关概念
对应图形
斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
有关概念
对应图形
斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°