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2020-2021学年第14章 全等三角形综合与测试教学设计及反思
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这是一份2020-2021学年第14章 全等三角形综合与测试教学设计及反思，共22页。
专训一：四种常见的几何关系的探究
名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．
位置关系
1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.
(第1题)
相等关系
2．(2015·珠海)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”，“＜”或“＝”号)
(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF.
(第2题)
和差关系
3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．
(第3题)
倍数关系
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.
当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时，如图①，易证S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．
(第4题)
专训二：构造全等三角形的六种常用方法
名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平行线法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．
翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
(第1题)
构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
(第2题)
旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
(第3题)
平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
(第4题)
倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(第5题)
截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
(第6题)
专训三：全等三角形的四种常见实际应用
名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；
(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．
利用三角形全等测量池塘两端的距离
1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？
(第1题)
利用三角形全等测量物体的内径
2．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
(第2题)
利用三角形全等判断三点是否共线
3．如图，公园里有一条“Z”形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路路旁各有一个石凳E，M，F，且BE＝CF，石凳M在BC的中点处，试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？
(第3题)
利用三角形全等解决工程中的问题
4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？
(第4题)
专训四：几类常见的热门考点
名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定，其考查形式有利用全等三角形证明线段或角的数量关系，求线段的长度或角的度数，判断位置关系，以及利用全等三角形解决实际问题等．
全等三角形的性质
1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列等式中不正确的是( )
(第1题)
A．AB＝AC
B．∠BAE＝∠CAD
C．BD＝CE
D．AD＝DE
2．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝∠B′＝60°，AB＝15 cm，则∠C′的度数为________，A′B′的长度为________．
3．如图，已知△ABC≌△ADE，BC边的延长线交AD于点F，交AE的延长线于点G，∠ACB＝105°，∠CAD＝15°，∠ADE＝25°，求∠DFB和∠G的度数．
(第3题)
全等三角形的判定
4．在△ABC和△A′B′C′中，下列各组条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )
①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′；⑥∠C＝∠C′.
A．具备①②③ B．具备①②④
C．具备③④⑤ D．具备②③⑥
(第5题)
5．如图，已知BC＝EC，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为________(只需填一个)．
6．(中考·宁德)如图所示，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，∠B＝∠D.
求证：△ABC≌△CDE.
(第6题)
全等三角形的性质与判定的综合应用
7．如图，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，下列结论错误的是( )
(第7题)
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠DAE＝40°
D．∠C＝30°
8．(2014·黄冈)如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：DE＝DF.
(第8题)
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(第9题)
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
全等三角形在实际问题中的应用
10．某校七(3)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案：
方案一：如图①，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，延长BC到点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B之间的距离．
(第10题)
方案二：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为A，B之间的距离．
阅读后回答下列问题：
(1)方案一是否切实可行？________，理由是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(2)方案二是否切实可行？________，理由是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(3)方案二中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是__________________________；若∠ABD＝∠BDE，但不一定垂直，方案二是否成立？__________________．
数学思想方法的应用
a．转化思想
11．如图，AB＝DC，∠A＝∠D.求证：∠ABC＝∠DCB.
(第11题)
b．分类讨论思想
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．
(第12题)
c．类比思想
13．在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，E点和F点分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，如图①，则可以得到以下两个结论：①∠AED＋∠AFD＝180°；②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
(1)若∠AED＋∠AFD＝180°，如图②，则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请说明理由．
(2)若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°是否成立？(只写出结论，不证明)
(第13题)
答案
专训一
1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.
∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.
(第1题)
(第2题)
2．(1)＝
(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，
∵MN∥BC，RC∥EH，
∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，
易得∠GRC＝∠RGC，过点C作CZ⊥GR，∴∠CZR＝∠CZG＝90°，
又∵CZ＝CZ，∴△CZR≌△CZG，
∴CR＝CG.
又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.
由平移的性质得BC＝EF，
∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.
易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，
∴BH＝FG.
3．解：猜想：EF＝BE＋AF.
证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，
∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，
∠BCA＝α＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠ACF.
又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，
∴△BEC≌△CFA(AAS)．
∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.
(第4题)
4．解：在题图(2)中结论仍成立；在题图(3)中不成立．
对于题图(2)证明如下：
如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.
又∵∠A＝∠ABC，∠AMD＝∠BND＝90°，
且易知DA＝DB，
∴△ADM≌△BDN，∴DM＝DN.
∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF.
∴△DME≌△DNF.
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF＋S△CEF.由题图(1)可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.
在题图(3)中，S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的关系是S△DEF－S△CEF＝S△ABC.
专训二
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
(第1题)
(第2题)
2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，
(第3题)
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠HAF＝45°.
点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，
∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.
易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.
∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.
又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.
∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.
∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，
∴∠BNO＝∠BNP＝90°，
又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.
∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.
(2)解：∵AB－BE
6．证明：方法一：如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC(AAS)，
∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
(第6题)
方法二：如图②，分别延长BA，CE交于点F.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠BCD.
∴∠2＋∠3＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°.
∴∠BEC＝90°.∴∠BEF＝∠BEC＝90°.
在△BEC和△BEF中，
∴△BEC≌△BEF(ASA)．∴BC＝BF，EC＝EF.
∵AB∥CD，∴∠7＝∠D，∠F＝∠4.
在△EAF和△EDC中，
∴△EAF≌△EDC(AAS)．∴FA＝CD.
∴BC＝BF＝BA＋AF＝AB＋CD.
点拨：本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段．
专训三
1．解：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SAS)．
所以AB＝AD.
(第2题)
2．解：可设计如图所示的工具，其中AC＝BD，O为AC，BD的中点．
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS)．
所以AB＝CD，即CD的长就是A，B间的距离．测出CD的长为b.
因为AB＝a－2x，所以x＝＝.
3．解：三个石凳E，M，F恰好在一条直线上．
理由：分别连接EM，MF.
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，
∵M是BC的中点，∴BM＝CM，
在△BEM和△CFM中，
∴△BEM≌△CFM(SAS)．
∴∠BME＝∠CMF.
又∵∠BMF＋∠CMF＝180°，
∴∠BMF＋∠BME＝180°.
∴三个石凳E，M，F恰好在一条直线上．
4．解：在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS)．
所以∠AOB＝∠COD.
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＋∠COD＝180°，
即∠BOD＝180°.所以D，O，B三点在同一条直线上．
所以钻头沿着DO的方向打孔，一定从点B处打出．
专训四
1．D
2．70°；15 cm
3．解：∵∠CAD＝15°，∠ACB＝105°，
∴∠AFC＝∠ACB－∠CAD＝105°－15°＝90°.
∴∠DFB＝180°－∠AFC＝180°－90°＝90°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝25°.
∴∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(25°＋105°)＝50°.
∴∠DAE＝∠CAB＝50°.
∴∠G＝180°－90°－50°＝40°.
4．B
5．∠ACB＝∠DCE或∠BCE＝∠ACD或∠B＝∠E
6．证明：∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠DCE.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(ASA)．
7．C
8．证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DCF＝∠DBE.
又∵∠DFC＝∠DEB＝90°，DC＝DB.
∴△DFC≌△DEB，∴DF＝DE.
9．(1)证明：∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.
在△BCD和△FCE中.
∴△BCD≌△FCE.
(2)解：由△BCD≌△FCE，得∠BDC＝∠E.
∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°.
∴∠BDC＝90°.
10．解：(1)可行；满足边角边判定法可判定△ABC≌△DEC，因而AB＝DE
(2)可行；满足角边角判定法，可判定△ABC≌△EDC，因而AB＝DE
(3)使∠ABC＝∠EDC；成立．
(第11题)
11．证明：如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.
在△ABN和△DCN中，
∴△ABN≌△DCN(SAS)．
∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.
在△NBM和△NCM中，
∴△NBM≌△NCM(SSS)．
∴∠NBC＝∠NCB.
∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，
即∠ABC＝∠DCB.
点拨：添加辅助线构造全等三角形是常用的解题方法，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，构造全等三角形，将证明角相等，转化为证明三角形全等，分散证明，体现了转化思想的运用．
12．解：∵D为AB的中点，AB＝10 cm，∴BD＝AD＝5 cm.设点P运动的时间是x s，则BP＝CQ＝3x cm，CP＝(8－3x)cm.若BD与CQ是对应边，则BD＝CQ，∴5＝3x，解得x＝，此时BP＝3×＝5(cm)，CP＝8－5＝3(cm)，BP≠CP，故舍去；若BD与CP是对应边，则BD＝CP，∴5＝8－3x，解得x＝1，符合题意．综上，点P运动的时间是1 s.
点拨：由∠B＝∠C可知DP与PQ是对应边，而其他两组对应边的对应关系不确定，因此要分BD与CQ是对应边、BD与CP是对应边两种情况考虑，体现了分类讨论思想的运用．
(第13题)
13．解：(1)相等．证明：如图，作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，H.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAG＝∠DAH，∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴∠AGD＝∠AHD＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AHD，
∴DG＝DH.
∵∠AED＋∠AFD＝180°，
∠DFH＋∠AFD＝180°，
∴∠AED＝∠DFH.
在△GDE和△HDF中，
∴△GDE≌△HDF.∴DE＝DF.
(2)成立．
点拨：本题运用了类比思想，由题图(1)联想到题图(2)辅助线的作法．探究中的两个小题只是交换了已知和结论，考虑(2)题时要在(1)题的基础上逆向思考．
专训一：四种常见的几何关系的探究
名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．
位置关系
1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.
(第1题)
相等关系
2．(2015·珠海)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①，连接BD，AF，则BD________AF.(填“＞”，“＜”或“＝”号)
(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF.求证：BH＝GF.
(第2题)
和差关系
3．如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．
(第3题)
倍数关系
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F.
当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时，如图①，易证S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．
(第4题)
专训二：构造全等三角形的六种常用方法
名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平行线法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．
翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
(第1题)
构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
(第2题)
旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
(第3题)
平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
(第4题)
倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(第5题)
截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
(第6题)
专训三：全等三角形的四种常见实际应用
名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；
(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．
利用三角形全等测量池塘两端的距离
1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗？
(第1题)
利用三角形全等测量物体的内径
2．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
(第2题)
利用三角形全等判断三点是否共线
3．如图，公园里有一条“Z”形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路路旁各有一个石凳E，M，F，且BE＝CF，石凳M在BC的中点处，试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？
(第3题)
利用三角形全等解决工程中的问题
4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？
(第4题)
专训四：几类常见的热门考点
名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定，其考查形式有利用全等三角形证明线段或角的数量关系，求线段的长度或角的度数，判断位置关系，以及利用全等三角形解决实际问题等．
全等三角形的性质
1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列等式中不正确的是( )
(第1题)
A．AB＝AC
B．∠BAE＝∠CAD
C．BD＝CE
D．AD＝DE
2．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝∠B′＝60°，AB＝15 cm，则∠C′的度数为________，A′B′的长度为________．
3．如图，已知△ABC≌△ADE，BC边的延长线交AD于点F，交AE的延长线于点G，∠ACB＝105°，∠CAD＝15°，∠ADE＝25°，求∠DFB和∠G的度数．
(第3题)
全等三角形的判定
4．在△ABC和△A′B′C′中，下列各组条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是( )
①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′；⑥∠C＝∠C′.
A．具备①②③ B．具备①②④
C．具备③④⑤ D．具备②③⑥
(第5题)
5．如图，已知BC＝EC，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为________(只需填一个)．
6．(中考·宁德)如图所示，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，∠B＝∠D.
求证：△ABC≌△CDE.
(第6题)
全等三角形的性质与判定的综合应用
7．如图，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，下列结论错误的是( )
(第7题)
A．△ABE≌△ACD
B．△ABD≌△ACE
C．∠DAE＝40°
D．∠C＝30°
8．(2014·黄冈)如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：DE＝DF.
(第8题)
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(第9题)
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
全等三角形在实际问题中的应用
10．某校七(3)班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案：
方案一：如图①，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，延长BC到点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B之间的距离．
(第10题)
方案二：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为A，B之间的距离．
阅读后回答下列问题：
(1)方案一是否切实可行？________，理由是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(2)方案二是否切实可行？________，理由是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(3)方案二中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是__________________________；若∠ABD＝∠BDE，但不一定垂直，方案二是否成立？__________________．
数学思想方法的应用
a．转化思想
11．如图，AB＝DC，∠A＝∠D.求证：∠ABC＝∠DCB.
(第11题)
b．分类讨论思想
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．
(第12题)
c．类比思想
13．在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，E点和F点分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，如图①，则可以得到以下两个结论：①∠AED＋∠AFD＝180°；②DE＝DF.那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E和点F分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
(1)若∠AED＋∠AFD＝180°，如图②，则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请说明理由．
(2)若DE＝DF，则∠AED＋∠AFD＝180°是否成立？(只写出结论，不证明)
(第13题)
答案
专训一
1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA.∴∠3＝∠N.
∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.
(第1题)
(第2题)
2．(1)＝
(2)证明：将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R，如图，
∵MN∥BC，RC∥EH，
∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB，
易得∠GRC＝∠RGC，过点C作CZ⊥GR，∴∠CZR＝∠CZG＝90°，
又∵CZ＝CZ，∴△CZR≌△CZG，
∴CR＝CG.
又∵MN∥BF，CR∥EH，∴四边形RCEH为平行四边形，∴CR＝EH.∴CG＝HE.
由平移的性质得BC＝EF，
∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.
易得∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，
∴BH＝FG.
3．解：猜想：EF＝BE＋AF.
证明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，
∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，
∠BCA＝α＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠ACF.
又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，
∴△BEC≌△CFA(AAS)．
∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.
(第4题)
4．解：在题图(2)中结论仍成立；在题图(3)中不成立．
对于题图(2)证明如下：
如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.
又∵∠A＝∠ABC，∠AMD＝∠BND＝90°，
且易知DA＝DB，
∴△ADM≌△BDN，∴DM＝DN.
∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°，∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF.
∴△DME≌△DNF.
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF＋S△CEF.由题图(1)可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.
在题图(3)中，S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的关系是S△DEF－S△CEF＝S△ABC.
专训二
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
(第1题)
(第2题)
2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，
(第3题)
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠HAF＝45°.
点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，
∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.
易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.
∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.
又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.
∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.
∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，
∴∠BNO＝∠BNP＝90°，
又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.
∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.
(2)解：∵AB－BE
6．证明：方法一：如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC(AAS)，
∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
(第6题)
方法二：如图②，分别延长BA，CE交于点F.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠BCD.
∴∠2＋∠3＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°.
∴∠BEC＝90°.∴∠BEF＝∠BEC＝90°.
在△BEC和△BEF中，
∴△BEC≌△BEF(ASA)．∴BC＝BF，EC＝EF.
∵AB∥CD，∴∠7＝∠D，∠F＝∠4.
在△EAF和△EDC中，
∴△EAF≌△EDC(AAS)．∴FA＝CD.
∴BC＝BF＝BA＋AF＝AB＋CD.
点拨：本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段．
专训三
1．解：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SAS)．
所以AB＝AD.
(第2题)
2．解：可设计如图所示的工具，其中AC＝BD，O为AC，BD的中点．
在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS)．
所以AB＝CD，即CD的长就是A，B间的距离．测出CD的长为b.
因为AB＝a－2x，所以x＝＝.
3．解：三个石凳E，M，F恰好在一条直线上．
理由：分别连接EM，MF.
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，
∵M是BC的中点，∴BM＝CM，
在△BEM和△CFM中，
∴△BEM≌△CFM(SAS)．
∴∠BME＝∠CMF.
又∵∠BMF＋∠CMF＝180°，
∴∠BMF＋∠BME＝180°.
∴三个石凳E，M，F恰好在一条直线上．
4．解：在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD(SAS)．
所以∠AOB＝∠COD.
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＋∠COD＝180°，
即∠BOD＝180°.所以D，O，B三点在同一条直线上．
所以钻头沿着DO的方向打孔，一定从点B处打出．
专训四
1．D
2．70°；15 cm
3．解：∵∠CAD＝15°，∠ACB＝105°，
∴∠AFC＝∠ACB－∠CAD＝105°－15°＝90°.
∴∠DFB＝180°－∠AFC＝180°－90°＝90°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE＝25°.
∴∠CAB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(25°＋105°)＝50°.
∴∠DAE＝∠CAB＝50°.
∴∠G＝180°－90°－50°＝40°.
4．B
5．∠ACB＝∠DCE或∠BCE＝∠ACD或∠B＝∠E
6．证明：∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠DCE.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(ASA)．
7．C
8．证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DCF＝∠DBE.
又∵∠DFC＝∠DEB＝90°，DC＝DB.
∴△DFC≌△DEB，∴DF＝DE.
9．(1)证明：∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.
在△BCD和△FCE中.
∴△BCD≌△FCE.
(2)解：由△BCD≌△FCE，得∠BDC＝∠E.
∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°.
∴∠BDC＝90°.
10．解：(1)可行；满足边角边判定法可判定△ABC≌△DEC，因而AB＝DE
(2)可行；满足角边角判定法，可判定△ABC≌△EDC，因而AB＝DE
(3)使∠ABC＝∠EDC；成立．
(第11题)
11．证明：如图，分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.
在△ABN和△DCN中，
∴△ABN≌△DCN(SAS)．
∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.
在△NBM和△NCM中，
∴△NBM≌△NCM(SSS)．
∴∠NBC＝∠NCB.
∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，
即∠ABC＝∠DCB.
点拨：添加辅助线构造全等三角形是常用的解题方法，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为已知条件，构造全等三角形，将证明角相等，转化为证明三角形全等，分散证明，体现了转化思想的运用．
12．解：∵D为AB的中点，AB＝10 cm，∴BD＝AD＝5 cm.设点P运动的时间是x s，则BP＝CQ＝3x cm，CP＝(8－3x)cm.若BD与CQ是对应边，则BD＝CQ，∴5＝3x，解得x＝，此时BP＝3×＝5(cm)，CP＝8－5＝3(cm)，BP≠CP，故舍去；若BD与CP是对应边，则BD＝CP，∴5＝8－3x，解得x＝1，符合题意．综上，点P运动的时间是1 s.
点拨：由∠B＝∠C可知DP与PQ是对应边，而其他两组对应边的对应关系不确定，因此要分BD与CQ是对应边、BD与CP是对应边两种情况考虑，体现了分类讨论思想的运用．
(第13题)
13．解：(1)相等．证明：如图，作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，H.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAG＝∠DAH，∵DG⊥AB，DH⊥AC，
∴∠AGD＝∠AHD＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AHD，
∴DG＝DH.
∵∠AED＋∠AFD＝180°，
∠DFH＋∠AFD＝180°，
∴∠AED＝∠DFH.
在△GDE和△HDF中，
∴△GDE≌△HDF.∴DE＝DF.
(2)成立．
点拨：本题运用了类比思想，由题图(1)联想到题图(2)辅助线的作法．探究中的两个小题只是交换了已知和结论，考虑(2)题时要在(1)题的基础上逆向思考．
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