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2021全国中考数学真题分类汇编--矩形、菱形、正方形
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这是一份2021全国中考数学真题分类汇编--矩形、菱形、正方形，共71页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（四边形）
----矩形、菱形、正方形
一、选择题
1. (2021·安徽省)如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. B. C. D.
2.（2021•海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. （2021•重庆市A）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. （2021•四川省成都市）．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
5. （2021•四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）
A． B．2 C．+1 D．2﹣1
6.（2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c则正确的是：（ ）
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
7. （2021•浙江省宁波市） 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A B. C. D.
8. （2021•浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
9. （2021•重庆市B）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
10．（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11.(2021•内蒙古包头市)如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
12.（2021•深圳）在矩形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
1. （2021•湖南省衡阳市）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 厘米．
2. （2021•长沙市）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．
3. （2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．
4.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=__________．
5. （2021•江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
6. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM = 15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为 ▲ .（结果保留根号）
7. （2021•上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
8. （2021•山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，AC=6，OE//AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为
9. （2021•四川省凉山州）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
10. （2021•泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
11. （2021•四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 ．
12.（2021•青海省）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 ．
13.（2021•浙江省绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）．
14.（2021•浙江省台州）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
15.（2021•湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
16.（2021•北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
17.（2021•广西贺州市）如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，．若，则________．
18. （2021•呼和浩特市）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为最__________，最大值为__________．
19. (2021•内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．
20. （2021•襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
21. （2021•贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 ．
22. （2021•绥化市）在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______．
23.（2021•四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
三、解答题
1. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
2. （2021•株洲市）如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长度．
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
5. （2021•江苏省连云港）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
6. （2021•江苏省扬州）如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
7. （2021•山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
8. （2021•遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
9. (2021•四川省自贡市) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
10. （2021•湖北省恩施州））如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．
11. （2021•浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．
12. （2021•江苏省盐城市）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
13. （2021•湖北省十堰市）如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，求的长．
14. （2021•湖南省张家界市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角（），所得的直线分别交，于点，.
（1）求证：≌；
（2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由.
15. （2021•福建省）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
16. （2021•襄阳市） 如图，为的对角线．
（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．
17.（2021•吉林省长春市）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度.
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度.
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P.求证：.
（2）若，则线段AP的长为 .
18. （2021•贵州省贵阳市）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
19.（2021•呼和浩特市）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．
（1）求证：；
（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状（无需说明理由）
答案
一、选择题
1. (2021·安徽省)如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
2.（2021•海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. （2021•重庆市A）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
4. （2021•四川省成都市）．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【分析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C
5. （2021•四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）
A． B．2 C．+1 D．2﹣1
【分析】连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE＝，设AH＝x,则HE＝2﹣x，DH＝x,在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD＝2x的值．
【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，
∴DE＝,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD,DH⊥AB,
∴∠ADH＝∠ADB＝30°,
∴AD＝2x,DH＝x，
在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,
∴（x）²+(2﹣x)²＝()²,
解得：x＝(负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
故选：C．
6. （2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c则正确的是：（ ）
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
【答案】C
7. （2021•浙江省宁波市） 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可
【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴，
∵
∵
∴，即
而，
所以，，故选项A符合题意，
∴，故选项B不符合题意，
而于都不一定成立，故都不符合题意，
故选：A
8. （2021•浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,想办法求出BH,CG,可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a,
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°,∠NFE＝∠DFG＝45°,
∵GT⊥TF,DF⊥DG,
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°,
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a,
∴CT＝3a,CG＝＝a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG,
∴CM:CT＝MH:TG＝7,
∴MH＝a,
∴BH＝5a+a＝a,
∴＝＝,
故选：C．
9. （2021•重庆市B）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．
【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为MN的中点，
∴OP＝，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠DPM＝150°，
在四边形ADPM中，
∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，
∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM
＝360°﹣90°﹣45°﹣150°
＝75°．
故选：C．
10.（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，
，
和中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即结论①正确；
，
，
，即结论③正确；
，
，
，
，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，
的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，
故选：C．
11.(2021•内蒙古包头市)如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
12.（2021•深圳）在矩形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】①，①正确；
②∵，，
∴，
∵，，，
∴（），∴，∴，
∵，，，
∴（），∴，故②正确；
③∵，，∴，
∵在和中：，，
∴（），∴，
∵，∴，
又∵，
∴，∴，∴，
∵，，
∴，故③错误；
④由上述可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确．
故选B．
二．填空题
1. （2021•湖南省衡阳市）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 (2+3) 厘米．
【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC＝2cm，同理求出BD＝2cm，利用菱形性质即可求出AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，再由题意易知当点P在A﹣D段上运动，P、Q两点的最短时P、Q分别位于AD、BC的中点时，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可．
【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，
当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，
∴AC＝2cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，
当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，
∴OD＝OB＝BD＝1cm，
在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，
如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，
此时，OE＝OF＝＝，
AE＝AF＝＝＝,
∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：
（cm）
故答案为：(2+3)．
2. （2021•长沙市）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．
【答案】12
3. （2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．
【答案】21
4.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=__________．
【答案】4
5. （2021•江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
故答案为： ．
6. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM = 15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为 ▲ .（结果保留根号）
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质的∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
7. （2021•上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．
【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，
最小，等于1，最大，等于．
∵，
∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
8. （2021•山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，AC=6，OE//AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为
【分析】
根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，O为AC中点，
∴，
故答案为：．
9. （2021•四川省凉山州）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案为：．
10. （2021•泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
【答案】．
【解析】
【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可．
【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴，
∵，
∴，
S△AFG=S△AFB-S△AGB=，
故答案为．
11. （2021•四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 3 ．
【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE＝2AF＝6，再利用三角形中位线定理可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝3，
故答案为3．
12.（2021•青海省）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 10 ．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN+MN＝BN+MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
13.（2021•浙江省绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）．
【分析】根据题意即可求得∠FOD＝2∠DOE，即可求得∠DOE＝30°，由矩形的性质结合平行线的性质可求得∠DBC＝30°，利用含30° 角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，F，
由题意知∠FOD＝2∠DOE，
∵∠FOD+∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠DBC＝∠DOE＝30°，
∴BC＝CD＝，
故答案为．
14.（2021•浙江省台州）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，得到，进而即可求解．
【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴，
∴，即：，
∴BF=．
故答案是：．
15.（2021•湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
【答案】20．
【解析】
【详解】∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线
∴BO＝6.5
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线
∴OM＝2.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
16.（2021•北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
17.（2021•广西贺州市）如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形及等腰三角形的性质先求出，再利用中点定义及矩形性质可得，则可求出，，即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵，分别为，的中点，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∴．
故答案为：．
18. （2021•呼和浩特市）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为最__________，最大值为__________．，
19. (2021•内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．
【答案】
20. （2021•襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
【答案】
21. （2021•贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 （2，0） ．
【分析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
22. （2021•绥化市）在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______．
【答案】1或或
【解析】
【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可．
【详解】解：∵PB=3PC，
∴P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论：
情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示：
∵PB=3PC，
∴PC=BC=1；
情况二：当P位于正方形边CD上时，如下图2所示：
设PC=x，则BP=3PC=3x，在Rt△BPC中，由勾股定理可知：
4²+x²=(3x)²，解得x=(负值舍去)，
∴PC=；
情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示：
设AP=x，则DP=4-x，
Rt△ABP中，BP²=AP²+AB²=x²+16，
Rt△CPD中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32，
∵BP=3PC，
∴x²+16=9(x²-8x+32)，
整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解，
故P点不可能位于边AD上；
情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：
设PC=x，则BP=3PC=3x，
∵∠DBC=45°，∴△BPH为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴BH=PH=，CH=BC-BH=，
在Rt△PHC中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²，
∴，
整理得：，此方程无解，
故P点不可能在对角线BD上；
情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：
设PC=，则BP=3PC=，
∵∠PCB=45°，∴△PCH为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴PH=CH=，BH=BC-CH=4-x，
在Rt△PHB中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²，
∴，
整理得：，
解得：(负值舍去)，
∴；
综上所述，或或
23.（2021•四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE＝PB，则MP+PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝PB，
∴MP+PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，
∴MC＝7，
∵sin∠ACB＝＝，
∴ME＝，
∴MP+PB的最小值为，
故答案为．
三、解答题
1. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
2. （2021•株洲市）如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；
（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．
【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE＝∠BCF＝45°，再由SAS可证△ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD＝AC＝8，DO＝BO＝4．再证明四边形BEDF为菱形，因为AE＝CF＝2，所以可得OE＝2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE＝2，进而四边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案．
【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝
故四边形BEDF的周长为8．
5. （2021•江苏省连云港）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
6. （2021•江苏省扬州）如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=，
∴AF=DF=DE=AE==2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
7. （2021•山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
【分析】（1)先根据四边形ABCD为矩形，CB⊥AE,AC＝EC得出AB＝BE即可；
（2）由AB＝AD得出矩形ABCD是正方形，得出∠E＝∠GAE＝45°，然后证明△EGF≌△AGD，再得出∠DGF＝90°，GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,从而得出结论．
【解答】证明：（1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD,AB＝CD,CB⊥AE,
又∵AC＝EC,
∴AB＝BE,
∴BE＝CD,BE∥CD,
∴四边形BECD为平行四边形；
(2)∵AB＝AD,
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC,
∴∠E＝∠GAE＝45°,
∴GE＝GA,
又∵AF＝BE,
∴AB＝FE,
∴FE＝AD,
在△EGF和△AGD中，
,
∴△EGF≌△AGD(SAS),
∴GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°,
∴△DGF是等腰直角三角形．
8. （2021•遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；
（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形
9. (2021•四川省自贡市) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【答案】证明见试题解析．
【解析】
【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
10. （2021•湖北省恩施州））如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．
【分析】利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO＝OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
11. （2021•浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．
【分析】（1）根据矩形的性质求出AC＝2AO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；
（2）根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解直角三角形求得tanα的值．
【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵OA＝OD,OE⊥AD于点E，
∴AE＝DE＝AD＝,
∴tanα＝＝．
12. （2021•江苏省盐城市）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 ② 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；
（2）若选②AE平分∠BAC：则在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF；若选③AB＝AC：根据三角形中位线定理即可证明．
【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，且DE＝＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）证明：选②AE平分∠BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC，
∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
13. （2021•湖北省十堰市）如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）点A作，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）∵AECF是菱形，
∴，
∴，
∴，
过点A作，
∴，
∴．
14. （2021•湖南省张家界市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角（），所得的直线分别交，于点，.
（1）求证：≌；
（2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由.
（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∴
又∵
∴
（2）当90°时四边形为菱形
理由：∵
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
又∵90°
∴四边形为菱形
15. （2021•福建省）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）设直线与相交于点T，证明是的中位线即可；
（2）连接，取的中点O，连接，证明点，F，B，G四点共圆即可；
（3）设，则，设，则，根据勾股定理找到k与a的关系，根据列比例求解即可．
【详解】解：（1）设直线与相交于点T，
∵点A与关于对称，
∴垂直平分，即．
∵E，F为边上的两个三等分点，
∴，
∴是的中位线，
∴，即．
（2）连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
∴，
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
取的中点O，连接，
在和中，
，
∴，
∴点，F，B，G都在以为直径的上，
∴．
（3）设，则．
由（2）得，
∴，即，∴．
设，则，在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（2）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16. （2021•襄阳市） 如图，为的对角线．
（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．
【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，再证明△ODE≌△OB得到DE＝BF，则BE＝DE＝BF＝DF，然后根据菱形的判定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
17.（2021•吉林省长春市）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 45 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝ 60 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝，则线段AP的长为 2﹣2 ．
【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；
操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝AB＝1，AE＝2BE＝2，AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．
【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；
（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴a+a＝2，
解得：a＝﹣1，
∴AP＝2a＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18. （2021•贵州省贵阳市）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD＝BN＝2，AN＝4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD求得答案即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD和△ABN中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
19.（2021•呼和浩特市）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．
（1）求证：；
（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状（无需说明理由）
（1）证明：∵
∴
∴
又∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
（2）四边形分别是平行四边形与菱形
2021全国中考真题分类汇编（四边形）
----矩形、菱形、正方形
一、选择题
1. (2021·安徽省)如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. B. C. D.
2.（2021•海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. （2021•重庆市A）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. （2021•四川省成都市）．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
5. （2021•四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）
A． B．2 C．+1 D．2﹣1
6.（2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c则正确的是：（ ）
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
7. （2021•浙江省宁波市） 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A B. C. D.
8. （2021•浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
9. （2021•重庆市B）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
10．（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11.(2021•内蒙古包头市)如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
12.（2021•深圳）在矩形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
1. （2021•湖南省衡阳市）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 厘米．
2. （2021•长沙市）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．
3. （2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．
4.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=__________．
5. （2021•江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
6. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM = 15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为 ▲ .（结果保留根号）
7. （2021•上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
8. （2021•山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，AC=6，OE//AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为
9. （2021•四川省凉山州）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
10. （2021•泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
11. （2021•四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 ．
12.（2021•青海省）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 ．
13.（2021•浙江省绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）．
14.（2021•浙江省台州）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
15.（2021•湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
16.（2021•北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
17.（2021•广西贺州市）如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，．若，则________．
18. （2021•呼和浩特市）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为最__________，最大值为__________．
19. (2021•内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．
20. （2021•襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
21. （2021•贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 ．
22. （2021•绥化市）在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______．
23.（2021•四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
三、解答题
1. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
2. （2021•株洲市）如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长度．
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
5. （2021•江苏省连云港）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
6. （2021•江苏省扬州）如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
7. （2021•山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
8. （2021•遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
9. (2021•四川省自贡市) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
10. （2021•湖北省恩施州））如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．
11. （2021•浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．
12. （2021•江苏省盐城市）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
13. （2021•湖北省十堰市）如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，求的长．
14. （2021•湖南省张家界市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角（），所得的直线分别交，于点，.
（1）求证：≌；
（2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由.
15. （2021•福建省）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
16. （2021•襄阳市） 如图，为的对角线．
（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．
17.（2021•吉林省长春市）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度.
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度.
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P.求证：.
（2）若，则线段AP的长为 .
18. （2021•贵州省贵阳市）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
19.（2021•呼和浩特市）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．
（1）求证：；
（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状（无需说明理由）
答案
一、选择题
1. (2021·安徽省)如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,
故选A．
2.（2021•海南省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3. （2021•重庆市A）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
4. （2021•四川省成都市）．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【分析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C
5. （2021•四川省南充市）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）
A． B．2 C．+1 D．2﹣1
【分析】连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE＝，设AH＝x,则HE＝2﹣x，DH＝x,在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD＝2x的值．
【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，
∴DE＝,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD,DH⊥AB,
∴∠ADH＝∠ADB＝30°,
∴AD＝2x,DH＝x，
在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,
∴（x）²+(2﹣x)²＝()²,
解得：x＝(负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
故选：C．
6. （2021•广西玉林市）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c则正确的是：（ ）
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
【答案】C
7. （2021•浙江省宁波市） 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可
【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴，
∵
∵
∴，即
而，
所以，，故选项A符合题意，
∴，故选项B不符合题意，
而于都不一定成立，故都不符合题意，
故选：A
8. （2021•浙江省温州市）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,想办法求出BH,CG,可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a,
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°,∠NFE＝∠DFG＝45°,
∵GT⊥TF,DF⊥DG,
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°,
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a,
∴CT＝3a,CG＝＝a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG,
∴CM:CT＝MH:TG＝7,
∴MH＝a,
∴BH＝5a+a＝a,
∴＝＝,
故选：C．
9. （2021•重庆市B）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．
【解答】解：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为MN的中点，
∴OP＝，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠DPM＝150°，
在四边形ADPM中，
∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，
∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM
＝360°﹣90°﹣45°﹣150°
＝75°．
故选：C．
10.（2021•湖北省江汉油田）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，
，
和中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即结论①正确；
，
，
，即结论③正确；
，
，
，
，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，
的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，
故选：C．
11.(2021•内蒙古包头市)如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
12.（2021•深圳）在矩形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是（ ）
①； ②； ③； ④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】①，①正确；
②∵，，
∴，
∵，，，
∴（），∴，∴，
∵，，，
∴（），∴，故②正确；
③∵，，∴，
∵在和中：，，
∴（），∴，
∵，∴，
又∵，
∴，∴，∴，
∵，，
∴，故③错误；
④由上述可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确．
故选B．
二．填空题
1. （2021•湖南省衡阳市）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 (2+3) 厘米．
【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC＝2cm，同理求出BD＝2cm，利用菱形性质即可求出AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，再由题意易知当点P在A﹣D段上运动，P、Q两点的最短时P、Q分别位于AD、BC的中点时，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可．
【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，
当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，
∴AC＝2cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，
当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，
∴OD＝OB＝BD＝1cm，
在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)，
∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，
如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，
此时，OE＝OF＝＝，
AE＝AF＝＝＝,
∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：
（cm）
故答案为：(2+3)．
2. （2021•长沙市）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．
【答案】12
3. （2021•株洲市）《蝶几图》是明朝人戈汕所作一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．
【答案】21
4.（2021•株洲市）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=__________．
【答案】4
5. （2021•江苏省连云港）如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
故答案为： ．
6. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC = 70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM = 15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF =，则对角线BD的长为 ▲ .（结果保留根号）
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质的∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
7. （2021•上海市） 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．
【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，
最小，等于1，最大，等于．
∵，
∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
8. （2021•山西）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD=8，AC=6，OE//AB，交 BC 于点 E，则 OE 的长为
【分析】
根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，O为AC中点，
∴，
故答案为：．
9. （2021•四川省凉山州）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案为：．
10. （2021•泸州市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________．
【答案】．
【解析】
【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可．
【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴，
∵，
∴，
S△AFG=S△AFB-S△AGB=，
故答案为．
11. （2021•四川省南充市）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 3 ．
【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE＝2AF＝6，再利用三角形中位线定理可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝3，
故答案为3．
12.（2021•青海省）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 10 ．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN+MN＝BN+MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
13.（2021•浙江省绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，则BC长为 cm（结果保留根号）．
【分析】根据题意即可求得∠FOD＝2∠DOE，即可求得∠DOE＝30°，由矩形的性质结合平行线的性质可求得∠DBC＝30°，利用含30° 角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，F，
由题意知∠FOD＝2∠DOE，
∵∠FOD+∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，
在矩形ABCD中，∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠DBC＝∠DOE＝30°，
∴BC＝CD＝，
故答案为．
14.（2021•浙江省台州）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，得到，进而即可求解．
【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴，
∴，即：，
∴BF=．
故答案是：．
15.（2021•湖北省十堰市）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
【答案】20．
【解析】
【详解】∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线
∴BO＝6.5
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线
∴OM＝2.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
16.（2021•北京市）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
17.（2021•广西贺州市）如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形及等腰三角形的性质先求出，再利用中点定义及矩形性质可得，则可求出，，即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵，分别为，的中点，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∴．
故答案为：．
18. （2021•呼和浩特市）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为最__________，最大值为__________．，
19. (2021•内蒙古包头市) 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．
【答案】
20. （2021•襄阳市）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，，交于点，，，则______．
【答案】
21. （2021•贵州省贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 （2，0） ．
【分析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
22. （2021•绥化市）在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______．
【答案】1或或
【解析】
【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可．
【详解】解：∵PB=3PC，
∴P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论：
情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示：
∵PB=3PC，
∴PC=BC=1；
情况二：当P位于正方形边CD上时，如下图2所示：
设PC=x，则BP=3PC=3x，在Rt△BPC中，由勾股定理可知：
4²+x²=(3x)²，解得x=(负值舍去)，
∴PC=；
情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示：
设AP=x，则DP=4-x，
Rt△ABP中，BP²=AP²+AB²=x²+16，
Rt△CPD中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32，
∵BP=3PC，
∴x²+16=9(x²-8x+32)，
整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解，
故P点不可能位于边AD上；
情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：
设PC=x，则BP=3PC=3x，
∵∠DBC=45°，∴△BPH为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴BH=PH=，CH=BC-BH=，
在Rt△PHC中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²，
∴，
整理得：，此方程无解，
故P点不可能在对角线BD上；
情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：
设PC=，则BP=3PC=，
∵∠PCB=45°，∴△PCH为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴PH=CH=，BH=BC-CH=4-x，
在Rt△PHB中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²，
∴，
整理得：，
解得：(负值舍去)，
∴；
综上所述，或或
23.（2021•四川省眉山市）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE＝PB，则MP+PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝PB，
∴MP+PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，
∴MC＝7，
∵sin∠ACB＝＝，
∴ME＝，
∴MP+PB的最小值为，
故答案为．
三、解答题
1. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
2. （2021•株洲市）如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）
3. （2021•湖南省衡阳市）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；
（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．
【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE＝∠BCF＝45°，再由SAS可证△ADE≌△CBF；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD＝AC＝8，DO＝BO＝4．再证明四边形BEDF为菱形，因为AE＝CF＝2，所以可得OE＝2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE＝2，进而四边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案．
【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF,
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝
故四边形BEDF的周长为8．
5. （2021•江苏省连云港）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
6. （2021•江苏省扬州）如图，在中，的角平分线交于点D，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=，
∴AF=DF=DE=AE==2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
7. （2021•山东省泰安市）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
【分析】（1)先根据四边形ABCD为矩形，CB⊥AE,AC＝EC得出AB＝BE即可；
（2）由AB＝AD得出矩形ABCD是正方形，得出∠E＝∠GAE＝45°，然后证明△EGF≌△AGD，再得出∠DGF＝90°，GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,从而得出结论．
【解答】证明：（1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD,AB＝CD,CB⊥AE,
又∵AC＝EC,
∴AB＝BE,
∴BE＝CD,BE∥CD,
∴四边形BECD为平行四边形；
(2)∵AB＝AD,
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC,
∴∠E＝∠GAE＝45°,
∴GE＝GA,
又∵AF＝BE,
∴AB＝FE,
∴FE＝AD,
在△EGF和△AGD中，
,
∴△EGF≌△AGD(SAS),
∴GF＝GD,∠DGA＝∠FGE,
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°,
∴△DGF是等腰直角三角形．
8. （2021•遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；
（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形
9. (2021•四川省自贡市) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【答案】证明见试题解析．
【解析】
【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
10. （2021•湖北省恩施州））如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．
【分析】利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO＝OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD．
11. （2021•浙江省金华市）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．
【分析】（1）根据矩形的性质求出AC＝2AO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；
（2）根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解直角三角形求得tanα的值．
【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵OA＝OD,OE⊥AD于点E，
∴AE＝DE＝AD＝,
∴tanα＝＝．
12. （2021•江苏省盐城市）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 ② 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；
（2）若选②AE平分∠BAC：则在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF；若选③AB＝AC：根据三角形中位线定理即可证明．
【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，且DE＝＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）证明：选②AE平分∠BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC，
∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
13. （2021•湖北省十堰市）如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）点A作，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）∵AECF是菱形，
∴，
∴，
∴，
过点A作，
∴，
∴．
14. （2021•湖南省张家界市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角（），所得的直线分别交，于点，.
（1）求证：≌；
（2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由.
（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∴
又∵
∴
（2）当90°时四边形为菱形
理由：∵
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
又∵90°
∴四边形为菱形
15. （2021•福建省）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）设直线与相交于点T，证明是的中位线即可；
（2）连接，取的中点O，连接，证明点，F，B，G四点共圆即可；
（3）设，则，设，则，根据勾股定理找到k与a的关系，根据列比例求解即可．
【详解】解：（1）设直线与相交于点T，
∵点A与关于对称，
∴垂直平分，即．
∵E，F为边上的两个三等分点，
∴，
∴是的中位线，
∴，即．
（2）连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
∴，
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
取的中点O，连接，
在和中，
，
∴，
∴点，F，B，G都在以为直径的上，
∴．
（3）设，则．
由（2）得，
∴，即，∴．
设，则，在中，由勾股定理，得，
∴．
在中，由勾股定理，得．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（2）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16. （2021•襄阳市） 如图，为的对角线．
（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．
【分析】（1）利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，再证明△ODE≌△OB得到DE＝BF，则BE＝DE＝BF＝DF，然后根据菱形的判定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF为菱形．
17.（2021•吉林省长春市）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 45 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝ 60 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝，则线段AP的长为 2﹣2 ．
【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；
操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝AB＝1，AE＝2BE＝2，AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．
【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；
（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴a+a＝2，
解得：a＝﹣1，
∴AP＝2a＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18. （2021•贵州省贵阳市）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD＝BN＝2，AN＝4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD求得答案即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD和△ABN中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
19.（2021•呼和浩特市）如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．
（1）求证：；
（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状（无需说明理由）
（1）证明：∵
∴
∴
又∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
（2）四边形分别是平行四边形与菱形
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