高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步训练题，共5页。试卷主要包含了已知函数p＝f的图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
2．如果feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1)
C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1
解析：选B 令t＝eq \f(1,x)，得x＝eq \f(1,t)，所以f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq \f(1,t－1)，所以f(x)＝eq \f(1,x－1).
3．已知f(x)＝x2＋px＋q，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：选D 由题意可知，1,2是方程f(x)＝0的两根．所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝－p，,1×2＝q，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝－3，,q＝2，))所以f(x)＝x2－3x＋2.所以f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
4．若f(1－2x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，那么f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：选C 令1－2x＝t，
则x＝eq \f(1－t,2)(t≠1)，
∴f(t)＝eq \f(4,t－12)－1(t≠1)，
即f(x)＝eq \f(4,x－12)－1(x≠1)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝16－1＝15.
5．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)x(x>0) B．y＝eq \f(\r(2),4)x(x>0)
C．y＝eq \f(\r(2),8)x(x>0) D．y＝eq \f(\r(2),16)x(x>0)
解析：选C 正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为eq \f(x,4)，由勾股定理得(2y)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2，∴y2＝eq \f(x2,32)，即y＝eq \f(\r(2),8)x(x>0)．
6．已知函数f(x)＝x－eq \f(m,x)，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－eq \f(m,x)，得m＝5.
答案：5
7．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝6，,3a＋3b＝4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(2,3)，))
则f(x)＝2x－eq \f(2,3).
答案：2x－eq \f(2,3)
8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,2ab＋4a＝10，,b2＋4b＋3＝24，))解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
答案：2
9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，故定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
10．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋3.
B级——高考水平高分练
1．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8.
答案：8
2．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝eq \f(3,2)(2x＋1)＋eq \f(1,2)，所以f(a)＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2).又f(a)＝4，所以eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)＝4，a＝eq \f(7,3).
答案：eq \f(7,3)
3．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2eq \r(2)，求f(x)的解析式．
解：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0.①
又因为|x1－x2|＝eq \f(\r(b2－4ac),|a|)＝2eq \r(2)，
所以b2－4ac＝8a2.②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝eq \f(1,2)，c＝1，
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋1.
法二：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，
又|x1－x2|＝2eq \r(2)，
所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－eq \r(2)，0)，
(－2＋eq \r(2)，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋eq \r(2))(x＋2－eq \r(2))．
因为f(0)＝1，所以a＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)[(x＋2)2－2]＝eq \f(1,2)x2＋2x＋1.
4．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
描点，连线，得函数图象如图所示．
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)＜f(0)＜f(1)．
(2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)．
(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
5．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式．
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0)．
由题意，得16＝4k＋b,10＝7k＋b，
解得k＝－2，b＝24，
所以y＝－2x＋24.
(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，
则由(1)知S＝xy，
所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，
则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.
所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
－5
0
3
4
3
0
－5