人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和巩固练习

这是一份人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和巩固练习，共5页。

1．2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
解析：选C 设2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项为G，则G2＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝1，∴G＝±1.
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B ∵an＝(n＋8)d，又∵aeq \\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq \\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵eq \f(a3,a1)＝q2，∴q2＝eq \f(－8,－2)＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
解析：依题意设原来的三个数依次为eq \f(a,q)，a，aq.∵eq \f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq \f(1,2)，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.
答案：28
9．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为eq \f(b,q)，b，bq，则有
eq \f(b,q)·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
∴这四个数分别为m,16,20，n，
∴m＝2×16－20＝12，n＝eq \f(202,16)＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，
∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴eq \f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)(舍去)．
又a1＝eq \f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.
层级二 应试能力达标
1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则eq \f(2a1＋a2,2a3＋a4)的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,8)D．1
解析：选A 原式＝eq \f(2a1＋a2,q22a1＋a2)＝eq \f(1,q2)＝eq \f(1,4).
2．在等比数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a5＝3，则a3＝( )
A．1 B．3
C．±1 D．±3
解析：选A 由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝eq \f(1,3)×3＝1.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5 B．608
C．607 D．159
解析：选C ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝eq \f(5×243－1,2)＝607.
4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)
eq \f(3,4)，eq \f(3,8)，eq \f(3,16)
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(5,16) D.eq \f(5,4)
解析：选C 第一列构成首项为eq \f(1,4)，公差为eq \f(1,4)的等差数列，所以a51＝eq \f(1,4)＋(5－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为eq \f(5,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列，所以a53＝eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(5,16).
5．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，
a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得eq \f(1＋q,1－q2)＝eq \f(1,3)，解得q＝－2，a1＝1，
所以a4＝a1q3＝－8.
答案：－8
6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，eq \f(an,an－1)＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝eq \f(1,2)an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
∴数列{an}是等比数列．
8．已知数列{an}满足a1＝eq \f(7,3)，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×eq \f(7,3)－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝eq \f(7,3)－2＝eq \f(1,3)，
∴an－2n≠0，n∈N*.∴eq \f(an＋1－2n＋1,an－2n)＝3，
∴数列{an－2n}是首项为eq \f(1,3)，公比为3的等比数列．
∴an－2n＝eq \f(1,3)×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.