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高中数学3.3.1几何概型课文ppt课件
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这是一份高中数学3.3.1几何概型课文ppt课件，共50页。PPT课件主要包含了创设情境引入新课，问题1，问题情境，问题2，问题3，理解定义，数学理论，应用与试验，生活应用，课外拓展抛阶砖游戏等内容，欢迎下载使用。
问题：（1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？ （2）若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？
取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?
解：记“剪得两段彩带都不小于3m”为事件A.
把彩带三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于绳子上各点被剪断是等可能的，且中间一段的长度等于彩带的 .
某列岛周围海域面积约为17万平方公里，如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？
解：记“钻出石油”为事件A，则
有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A, 事件A发生的概率
（2）试验的概率是如何求得的？
（1）类比古典概型,说明以上三个试验有什么共同点？
借助几何图形的长度、面积、体积的比值分析事件A发生的概率.
① 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；② 每个基本事件的发生都是等可能的.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）. 每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.
这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状与位置无关. 我们把满足这种条件的概率模型称为几何概型.
在几何概型中，事件A的概率计算公式为
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型．
1、样本空间中样本点个数有限，2、每一个样本点都是等可能发生的．
3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
1、有一个可度量的几何图形S；
2、试验E看成在S中随机地投掷一点；
射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，则
答：射中黄心的概率为0.01
例1 取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：记“豆子落入圆内”为事件A，
例2 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
解：记“取出10mL麦种，其中含有病种子”为事件A，
麦锈病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可视为区域d，所有种子可视为区域D. 则有
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？
在AB上截取AC′=AC.当点M位于线段AC′内，AM
练习：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM
由于射线CM随机地落在∠ACB内部,故可以认为射线CM落在∠ACB内部任一位置都是等可能的.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
练：已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即能乘上车的概率.
解：记“乘客到达站台立即能乘上车”为事件A,
由于乘客随机地到达站台，故可以认为乘客在10min内到达站台是等可能的.
当乘客在地铁停留的1min内到达站台时，可以立即乘上车.
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A发生,所以
练 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即 小时，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，当且仅当— ≤x—y≤ ，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.
【解】 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.
玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问：参加者获奖的概率有多大？
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a ,“金币”直径为d .
若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.
问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1.
若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗？
据此，请你自行设计不同难度的抛阶砖游戏.
虚线部分不适于计算抛阶砖游戏的概率
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中 常考的题型．3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝
生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：(1)要注意实际问题中的可能性的判断；(2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体 积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应 的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率， 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的 坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 坐标系的点，便可构造出度量区域．
(2009·山东高考)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cs 的值介于0到 之间的概率为 ( )
【解析】 在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cs 的值位于[0,1]区间，若使cs 的值位于[0， ]区间，取到的实数x应在区间 内，根据几何概型的计算公式可知P=
1．在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求 弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．
解：记A={弦长超过圆内接正三角形边长}．如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧 上时，|BE|＞|BC|，而 劣弧 长恰为圆周长的由几何概型的概率公式有P(A)＝
已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(3)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
本题第（1）问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第（2）问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及（x—2）2+(y—2) 2≤4的点的个数即可.
【解】 (1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足( x—2)2+(y—2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率P2＝
2．例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋ y2≥4的概率．
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．故所求概率
两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
3．甲、乙两人约定上午7∶00至8∶00之间到某站乘公共汽 车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为 7∶20，7∶40，8∶00，如果他们约定，见车就乘，求甲、 乙同乘一车的概率．
解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，必须满足
即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P=即甲、乙同乘一车的概率为
课堂小结1. 几何概型与古典概型的区别和联系；
问题：（1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中任取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？ （2）若A=(0,9],则从A中任意取出一个数,这个数不大于3的概率是多少？
取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少?
解：记“剪得两段彩带都不小于3m”为事件A.
把彩带三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于绳子上各点被剪断是等可能的，且中间一段的长度等于彩带的 .
某列岛周围海域面积约为17万平方公里，如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？
解：记“钻出石油”为事件A，则
有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A, 事件A发生的概率
（2）试验的概率是如何求得的？
（1）类比古典概型,说明以上三个试验有什么共同点？
借助几何图形的长度、面积、体积的比值分析事件A发生的概率.
① 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；② 每个基本事件的发生都是等可能的.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）. 每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.
这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状与位置无关. 我们把满足这种条件的概率模型称为几何概型.
在几何概型中，事件A的概率计算公式为
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型．
1、样本空间中样本点个数有限，2、每一个样本点都是等可能发生的．
3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
1、有一个可度量的几何图形S；
2、试验E看成在S中随机地投掷一点；
射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，则
答：射中黄心的概率为0.01
例1 取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：记“豆子落入圆内”为事件A，
例2 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
解：记“取出10mL麦种，其中含有病种子”为事件A，
麦锈病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可视为区域d，所有种子可视为区域D. 则有
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概率有多大？
在AB上截取AC′=AC.当点M位于线段AC′内，AM
练习：在上一题构造的直角三角形ABC的基础上,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,那么这时AM
由于射线CM随机地落在∠ACB内部,故可以认为射线CM落在∠ACB内部任一位置都是等可能的.
例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
练：已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即能乘上车的概率.
解：记“乘客到达站台立即能乘上车”为事件A,
由于乘客随机地到达站台，故可以认为乘客在10min内到达站台是等可能的.
当乘客在地铁停留的1min内到达站台时，可以立即乘上车.
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A发生,所以
练 两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即 小时，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，当且仅当— ≤x—y≤ ，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.
【解】 设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.
玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币”来参加游戏. 那么要问：参加者获奖的概率有多大？
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a ,“金币”直径为d .
若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.
问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
由此可见，当d接近a, p接近于0; 而当d接近0， p接近于1.
若d>a, 你还愿意玩这个游戏吗？
据此，请你自行设计不同难度的抛阶砖游戏.
虚线部分不适于计算抛阶砖游戏的概率
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝2．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中 常考的题型．3．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝
生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：(1)要注意实际问题中的可能性的判断；(2)将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体 积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应 的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率， 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的 坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 坐标系的点，便可构造出度量区域．
(2009·山东高考)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cs 的值介于0到 之间的概率为 ( )
【解析】 在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cs 的值位于[0,1]区间，若使cs 的值位于[0， ]区间，取到的实数x应在区间 内，根据几何概型的计算公式可知P=
1．在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求 弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．
解：记A={弦长超过圆内接正三角形边长}．如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧 上时，|BE|＞|BC|，而 劣弧 长恰为圆周长的由几何概型的概率公式有P(A)＝
已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(3)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
本题第（1）问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第（2）问为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及（x—2）2+(y—2) 2≤4的点的个数即可.
【解】 (1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足( x—2)2+(y—2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率P2＝
2．例2的条件不变，求当x，y∈R时，点P(x，y)满足x2＋ y2≥4的概率．
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外部(含边界)．故所求概率
两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．
3．甲、乙两人约定上午7∶00至8∶00之间到某站乘公共汽 车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为 7∶20，7∶40，8∶00，如果他们约定，见车就乘，求甲、 乙同乘一车的概率．
解：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，必须满足
即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的计算公式得，P=即甲、乙同乘一车的概率为
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