数学必修 第四册9.1.2 余弦定理授课ppt课件

这是一份数学必修 第四册9.1.2 余弦定理授课ppt课件，共48页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，答案C，答案A，微练习2，答案D，答案120°，探究一，探究二，探究三等内容，欢迎下载使用。

千岛湖水为国家一级水体,不经任何处理即达饮用水标准,被誉为“天下第一秀水”.如图,小王同学打算测量千岛湖中的岛屿A与岛屿C之间的距离,他在岛屿B处测得与岛屿A的距离为6 km,与岛屿C的距离为3.4 km,且它们之间的夹角为120度,请问小王的目的能实现吗?
知识点一:余弦定理余弦定理的表示及其推论
名师点析 1.余弦定理表述了任意一个三角形中的三边长与三个内角的余弦之间的数量关系.2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,都可以知三求一.4.运用余弦定理时注意边角关系的对应.5.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理涉及的是边长的平方,求得的结果常有两个,因此,解题时需特别注意三角形的三边长所满足的条件.6.在已知三角形内角的余弦值求角时,由于余弦函数y=cs x在区间(0,π)上单调递减,所以角的余弦值与角一一对应,故不存在多解的情况.
微判断(1)余弦定理只适用于锐角三角形.(　　)(2)余弦定理不适用于钝角三角形.(　　)(3)已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了.(　　)(4)已知三边,则这个三角形就确定了.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√解析:余弦定理适用于任意三角形,故(1)(2)均不正确;根据余弦定理,已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形就确定了,故(3)(4)正确.
微练习1在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(　　)　
微练习2(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则角A的大小为(　　)
知识点二:用余弦定理解三角形的问题1.已知两边及夹角解三角形;2.已知三边解三角形.
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定理或余弦定理求出另一个锐角,最后由三角形的内角和定理求出第三个角.2.已知两边一角,此种情况的基本步骤是:首先根据余弦定理求出第三边,再根据余弦定理的推论求出第二个角,最后由三角形的内角和定理求出第三个角.特别注意:准确记忆特殊角的三角函数值,防止出现不对应情况,同时对于两边一角问题,若角不为夹角,则常用正弦定理解决,余弦定理虽也可解决,但运算一般较为繁琐.
微思考已知三角形的两边a,b及一边a的对角A解三角形,有几种方法?
提示:不妨设已知a,b,A,方法一:由正弦定理 可求得sin B,进而求得B,再利用三角形内角和定理求得C,最后求得边c.方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A得边c,而后由余弦或正弦定理求得B,C.
微练习1在△ABC中,已知A=30°,3a= b=12,则c的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.4B.8C.4或8D.无解
微练习3在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是　　　　　. 
解析:设第三个角为θ,由于8>7>5,故θ的对边长为7,由余弦定理,得cs θ= .所以θ=60°,故另外两角和为180°-60°=120°.
已知两边和一角解三角形
反思感悟 已知两边及一角解三角形的方法(1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解.(2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论.利用余弦定理求解相对简便.
变式训练 1(1)已知△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则边c=　　　　　. 
反思感悟 已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.(2)利用余弦定理求三角的余弦,进而求得三个角.
判定三角形的形状例3在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccs Bcs C,试判断△ABC的形状.
解:(方法一)因为b2sin2C+c2sin2B=2bccs Bcs C,所以利用正弦定理可得sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccs Bcs C,因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cs Bcs C,所以cs(B+C)=0,所以cs A=0,因为0(方法二)已知等式可化为b2-b2cs2C+c2-c2cs2B=2bccs Bcs C,由余弦定理可得
所以b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形.(方法三)已知等式变形为b2(1-cs2C)+c2(1-cs2B)=2bccs Bcs C,所以b2+c2=b2cs2C+c2cs2B+2bccs Bcs C,因为b2cs2C+c2cs2B+2bccs Bcs C=(bcs C+ccs B)2=a2,所以b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形.
反思感悟 判断三角形形状的方法已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状,可先观察条件式的特点,再依据此特点选取变形方法,当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形,当等式两边含有角的正弦的同次幂时,常用正弦定理变形,当含有边的积式及边的平方和与差的形式时,常考虑用余弦定理变形,可以化边为角,通过三角变换求解,也可以化角为边,通过因式分解、配方等方法得出边的关系等.
变式训练 3(2020天津高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解:(1)由已知,根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,整理得a2=b2+c2+bc.
证明:在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,b2=a2+c2-2accs B,所以a2-b2=b2-a2-2bccs A+2accs B,所以2(a2-b2)=2accs B-2bccs A,即a2-b2=accs B-bccs A,
反思感悟 证明三角恒等式的方法(1)证明三角恒等式,关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有:左⇒右,右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦定理、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种:一是把角的关系通过正弦定理、余弦定理转化为边的关系;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理转化.
证明:由已知得a(1+cs C)+c(1+cs A)=3b,即
求三角形(或四边形)的面积例5△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcs C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcs C+sin Csin B.①又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C.②由①②得sin Csin B=cs Bsin C.又0正弦定理、余弦定理的综合应用
(1)a和c的值;(2)cs(B-C)的值.
利用正弦定理、余弦定理求解平面图形中的线段长典例如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求出BC的长.
解:设BD=x.在△ABD中,根据余弦定理,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠BDA,所以142=102+x2-2×10×xcs 60°,即x2-10x-96=0.(将四边形ABCD分解为△ABD和△BCD,利用余弦定理列出关于x的一元二次方程,化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准确性.)解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.因为AD⊥CD,∠BDA=60°,所以∠CDB=30°.
解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,即3=1+c2-2×1×c× , 整理得c2-c-2=0.因为c>0,解得c=2.故选B.
2.(多选题)(2020辽宁大连普兰店区第一中学高一月考)下列关于△ABC的结论中,正确的是(　　)A.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形B.若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形C.若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3D.若A>B,则sin A>sin B
4.在△ABC中,已知A=60°,最大边长和最小边长恰好是方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为　　 　.