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湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末联考暨新高三适应性联合考试数学试题+答案【Word版】
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这是一份湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末联考暨新高三适应性联合考试数学试题+答案【Word版】，共15页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，则，的展开式中项的系数为等内容，欢迎下载使用。
数学
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．集合，，则的子集个数为（ ）
A．3B．2C．4D．8
2．在中，，点是边上的中点，，，则的值为（ ）
A．B．C．14D．
3．一盒子中有5个球，其中红球3个，白球2个，现从中任取两个球，则恰好一个白球一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
5．偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
7．的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．24D．
8．动漫作品《火影忍者》描述配合忍术结印的手势有12种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在5秒内完成未-巳-寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要个手势，则（ ）
A．当时，共有种不同的忍术
B．当时，共有种忍术
C．当时，共有1452种不同忍术
D．当时的忍术种类是的忍术种类的12倍
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．随着经济的不断发展，全国居民人均消费支出也逐步增加，已知2015年全国居民人均消费支出为22000元，通过查阅国家统计局数据发现2020年全国居民人均消费支出约为2015年的1.5倍，下图分别为2015年和2020年全国居民的人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（ ）
A．2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额比2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额多
B．2015年和2020年全国人均衣食行支出金额无明显变化
C．2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和比2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和多
D．随着人均消费支出的增加，人们在居住方面投入越来越多
10．已知，为正数，且，那么下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值是2B．
C．D．
11．已知在正方体中，点，分别为棱，上的中点，过，的平面与底面所成的锐二面角为60°，则正方体被平面所截的截面形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
12．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则______．
14．已知函数在上的最大值为1，则函数在处的切线方程为______．
15．某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可）
16．已知圆与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点，若直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，切点在劣弧上，当直线的斜率为0时，______；当直线的斜率不确定时，的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知数列满足，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，，且满足，记，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点、分别是，上的动点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展．截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种．如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和中位数；（保留三位有效数字）
（2）以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，规定：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过第（1）问所求中位数的稻种则检验结束．设检验结束时，检验的次数为，求随机变量的分布列和期望．
21．（本小题满分12分）
设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
22．（本小题满分12分）
设函数．
（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求的最大值．
名校联考联合体2021年春季高二期末联考
暨新高三适应性联合考试
数学参考答案
一、二、选择题
1．考点：两集合的交并补运算，子集个数求法
【解析】，，则，
∴的子集个数为个．
2．考点：平面向量数量积运算
【解析】，，则．
3．考点：古典概型求概率
【解析】由题意可得恰好一个白球一个红球的概率为．
4．考点：椭圆的离心率与、的关系
【解析】，得，得，即．
5．考点：抽象函数的单调性与奇偶性应用
【解析】∵函数是偶函数，∴时，是减函数，∴，故选D．
6．考点：数列文化题，等比数列的通项公式和求和问题
【解析】设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为．则，则，从而相距尺．
7．考点：二项式定理的应用
【解析】由二项式展开公式知的第项为，令得，令得，∴在的展开式中项的系数为：．
8．考点：计数原理的应用
【解析】当时，第一个手势有12种，第二个手势有11种，第三个手势有11，共计种；
当时，共计种；当时，共计种；当时，共计种；当时，共计种．
9．考点：饼图中的数据分析
【解析】由题意，不妨设2015年全国居民人均消费支出为，则2020年全国居民人均消费支出为，而，故A正确；由图可知2020年全国人均衣食行支出为，而2015年全国人均衣食行支出为，故B错误；2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和为，而2015年除衣食行外的全国人均其他支出金额总和为，故C正确：D显然正确．
10．考点：基本不等式的应用
【解析】对于A，若（当且仅当取“”），又由，故A错；由且，∴，故B正确；C由，当且仅当时取“”，故C正确；D由，且、为正数，∴，即，故D正确．
11．考点：截面问题
【解析】如图所示：
12．考点：复数新概念、对数运算、平面向量的数量积运算、两角差的余弦公式
【解析】∵，∴，
∵，∴．
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，∴，即，又，，∴，或．
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．
三、填空题
13．考点：诱导公式、同角三角函数的关系、正弦二倍角公式
【解析】由，得，又，所以，
所以．
14．考点：利用导数求函数的最值及切线方程
【解析】因为，当时，所以在上单调递增，所以，又，所以切线方程为．
15．考点：函数的奇偶性及单调性
【解析】答案不唯 ．
16．考点：直线与圆锥曲线的位置关系
， 【解析】依题意得直线方程为，设点，，；设直线的方程为，
带入抛物线方程得，则，则，
∵直线与该圆相切，∴，即，又，，∴， ∵，，∴分别过，的圆的切线的斜率为，，∴，∴，∴，∵，∴，所以的取值范围为．
四、解答题
17．考点：正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
又，则，即，
又，所以，．
（2）由余弦定理得，
所以，当时，
所以．
18．考点：等差等比数列的定义、求数列的通项及前项和
【解析】（1）因为，，所以为等差数列，
又，，所以．
所以．
（2）因为，则，
两式相减得，即，
又，，所以，所以．
所以为以1为首项4为公比的等比数列，所以．
所以，
所以．
19．【解析】（1）证明；由，得，即．
∵底面，∴，又，且，，平面，
∴平面，即平面．
（2）由底面，得与底面所成角即为，∴，不妨设，则，，，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，
∴，．
设平面的一个法向量为，
则令，则，
∴．
又平面，而，
∴平面的一个法向量，，
由图可知该二面角为锐二面角，则二面角的余弦值为．
20．考点：统计图表与随机变量分布列问题
【解析】（1）平均值，
∵且，
∴设中位数为，则，解得；所以中位数约为145．
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件，则，
依据题意得，的可能取值为3，4，5，
，
，
．
随机变量的分布列为：
．
21．【解析】（1）
则，，．
所以双曲线的标准方程为：．
（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，
方程分别为，，
联立方程：，得同理可得：
得
又渐近线方程为，则，
，
又点在双曲线上，则，
所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．
22．考点：利用导数求恒成立问题
【解析】由题意可知，的定义域为，．
令，可得．
令，则由题意可知与函数的图象有两个不同的交点．
，令得，
可知在上单调递增，在上单调递减．
所以，
又当时，，当时，，
所以，．
（2）当时，.
由得，
因为，所以．
设，则．
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
所以，又，
所以，又，所以的最大值为2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
D
A
B
C
ACD
BCD
AD
ABD
3
4
5
数学
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．集合，，则的子集个数为（ ）
A．3B．2C．4D．8
2．在中，，点是边上的中点，，，则的值为（ ）
A．B．C．14D．
3．一盒子中有5个球，其中红球3个，白球2个，现从中任取两个球，则恰好一个白球一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
5．偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
7．的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．24D．
8．动漫作品《火影忍者》描述配合忍术结印的手势有12种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在5秒内完成未-巳-寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要个手势，则（ ）
A．当时，共有种不同的忍术
B．当时，共有种忍术
C．当时，共有1452种不同忍术
D．当时的忍术种类是的忍术种类的12倍
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．随着经济的不断发展，全国居民人均消费支出也逐步增加，已知2015年全国居民人均消费支出为22000元，通过查阅国家统计局数据发现2020年全国居民人均消费支出约为2015年的1.5倍，下图分别为2015年和2020年全国居民的人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（ ）
A．2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额比2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额多
B．2015年和2020年全国人均衣食行支出金额无明显变化
C．2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和比2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和多
D．随着人均消费支出的增加，人们在居住方面投入越来越多
10．已知，为正数，且，那么下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值是2B．
C．D．
11．已知在正方体中，点，分别为棱，上的中点，过，的平面与底面所成的锐二面角为60°，则正方体被平面所截的截面形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
12．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则______．
14．已知函数在上的最大值为1，则函数在处的切线方程为______．
15．某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可）
16．已知圆与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点，若直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，切点在劣弧上，当直线的斜率为0时，______；当直线的斜率不确定时，的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知数列满足，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，，且满足，记，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点、分别是，上的动点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展．截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种．如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和中位数；（保留三位有效数字）
（2）以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，规定：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过第（1）问所求中位数的稻种则检验结束．设检验结束时，检验的次数为，求随机变量的分布列和期望．
21．（本小题满分12分）
设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
22．（本小题满分12分）
设函数．
（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求的最大值．
名校联考联合体2021年春季高二期末联考
暨新高三适应性联合考试
数学参考答案
一、二、选择题
1．考点：两集合的交并补运算，子集个数求法
【解析】，，则，
∴的子集个数为个．
2．考点：平面向量数量积运算
【解析】，，则．
3．考点：古典概型求概率
【解析】由题意可得恰好一个白球一个红球的概率为．
4．考点：椭圆的离心率与、的关系
【解析】，得，得，即．
5．考点：抽象函数的单调性与奇偶性应用
【解析】∵函数是偶函数，∴时，是减函数，∴，故选D．
6．考点：数列文化题，等比数列的通项公式和求和问题
【解析】设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为．则，则，从而相距尺．
7．考点：二项式定理的应用
【解析】由二项式展开公式知的第项为，令得，令得，∴在的展开式中项的系数为：．
8．考点：计数原理的应用
【解析】当时，第一个手势有12种，第二个手势有11种，第三个手势有11，共计种；
当时，共计种；当时，共计种；当时，共计种；当时，共计种．
9．考点：饼图中的数据分析
【解析】由题意，不妨设2015年全国居民人均消费支出为，则2020年全国居民人均消费支出为，而，故A正确；由图可知2020年全国人均衣食行支出为，而2015年全国人均衣食行支出为，故B错误；2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和为，而2015年除衣食行外的全国人均其他支出金额总和为，故C正确：D显然正确．
10．考点：基本不等式的应用
【解析】对于A，若（当且仅当取“”），又由，故A错；由且，∴，故B正确；C由，当且仅当时取“”，故C正确；D由，且、为正数，∴，即，故D正确．
11．考点：截面问题
【解析】如图所示：
12．考点：复数新概念、对数运算、平面向量的数量积运算、两角差的余弦公式
【解析】∵，∴，
∵，∴．
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，∴，即，又，，∴，或．
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．
三、填空题
13．考点：诱导公式、同角三角函数的关系、正弦二倍角公式
【解析】由，得，又，所以，
所以．
14．考点：利用导数求函数的最值及切线方程
【解析】因为，当时，所以在上单调递增，所以，又，所以切线方程为．
15．考点：函数的奇偶性及单调性
【解析】答案不唯 ．
16．考点：直线与圆锥曲线的位置关系
， 【解析】依题意得直线方程为，设点，，；设直线的方程为，
带入抛物线方程得，则，则，
∵直线与该圆相切，∴，即，又，，∴， ∵，，∴分别过，的圆的切线的斜率为，，∴，∴，∴，∵，∴，所以的取值范围为．
四、解答题
17．考点：正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
又，则，即，
又，所以，．
（2）由余弦定理得，
所以，当时，
所以．
18．考点：等差等比数列的定义、求数列的通项及前项和
【解析】（1）因为，，所以为等差数列，
又，，所以．
所以．
（2）因为，则，
两式相减得，即，
又，，所以，所以．
所以为以1为首项4为公比的等比数列，所以．
所以，
所以．
19．【解析】（1）证明；由，得，即．
∵底面，∴，又，且，，平面，
∴平面，即平面．
（2）由底面，得与底面所成角即为，∴，不妨设，则，，，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
有，，，，
∴，．
设平面的一个法向量为，
则令，则，
∴．
又平面，而，
∴平面的一个法向量，，
由图可知该二面角为锐二面角，则二面角的余弦值为．
20．考点：统计图表与随机变量分布列问题
【解析】（1）平均值，
∵且，
∴设中位数为，则，解得；所以中位数约为145．
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件，则，
依据题意得，的可能取值为3，4，5，
，
，
．
随机变量的分布列为：
．
21．【解析】（1）
则，，．
所以双曲线的标准方程为：．
（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，
方程分别为，，
联立方程：，得同理可得：
得
又渐近线方程为，则，
，
又点在双曲线上，则，
所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．
22．考点：利用导数求恒成立问题
【解析】由题意可知，的定义域为，．
令，可得．
令，则由题意可知与函数的图象有两个不同的交点．
，令得，
可知在上单调递增，在上单调递减．
所以，
又当时，，当时，，
所以，．
（2）当时，.
由得，
因为，所以．
设，则．
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
所以，又，
所以，又，所以的最大值为2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
D
A
B
C
ACD
BCD
AD
ABD
3
4
5
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