数学八年级上册6 斜边直角边习题

13.2.6 斜边直角边

知识点：基本事实“斜边直角边”.

重  点：运用“斜边直角边”判定两个直角三角形全等.

难  点：灵活运用“斜边直角边”进行直角三角形全等的判定.

基础巩固

1．在下列条件中不能判定直角三角形全等的是(　　)

A．两条直角边分别相等                 B．斜边和一个锐角分别相等

C．两个锐角分别相等                   D．斜边和一条直角边分别相等

2．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则判定△ABC≌△DCB的依据是(　　)

A．H.L.           B．A.S.A.           C．A.A.S.            D．S.A.S.

3．如图，若要用“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(　　)

A．∠BAC＝∠BAD                  B．AC＝AD或BC＝BD

C．∠ABC＝∠ABD                  D．以上都不正确

   2题图              3题图            4题图              5题图

4．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8 cm，DE＝6 cm，则AC等于( 　)

A．10 cm      B．12 cm            C．14 cm            D．16 cm

5．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②RB＝SC；③PB＝PC.其中正确的有(　　)

A．3个         B．2个            C．1个             D．0个

6.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC的关系是        .

6题图           7题图           8题图               9题图

7.如图，已知AB⊥DB，BC=EB，AC=DE. 由此可判定全等的两个三角形是△      和

△        ，理由是                 .

8.如图，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是          .

9．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是    ___________________．

10．如图所示，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 试说明EB＝FC.

10题图

11．如图，点E、A、D、B在同一条直线上，CA⊥EB、FD⊥EB，CA＝FD，CE＝FB.

求证：BC＝EF.

11题图

12．如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是边AB，A′B′上的高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′. 求证：△ABC ≌△A′B′C′.

12题图

13.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

                                                                 13题图

14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC上一点，E为BC延长线上一点，使AE=BD，若∠E=70°. 试求∠BDC的大小.

  14题图   

强化提高

15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F. 试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．

15题图

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E.

(1)若B、C在DE的同侧(如图1)，且AD＝CE. 求证：AB⊥AC.

(2)若B、C在DE的两侧(如图2)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

图1                   图2

13.2.6 斜边直角边答案

1.  C.   2.  A.

3. B. 解析：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边，根据“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对相等的直角边，即AC＝AD或BC＝BD.故选B.

4. C. 解析：在Rt△DEB和Rt△CEB中，∵BE＝BE，BD＝BC，

∴Rt△DEB≌Rt△CEB，∴DE＝CE，

∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE＝8＋6＝14(cm)．

5. C. 解析：只有①AS＝AR正确，其余不正确.

6.全等.    7.  ABC，DBE，HL.   8. HL. 

9. AB＝DC(或AC＝DB或∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC等) .

10．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠DAF.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.

又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

∵BD＝CD， DE＝DF，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC(H.L.)，

∴EB＝FC.

11．证明：∵CA⊥EB，FD⊥EB，

∴∠CAB＝∠FDE＝90°，

∠CAE＝∠FDB＝90°.

在Rt△ACE和Rt△DFB中，

∵CA＝FD，CE＝FB，

∴Rt△ACE≌Rt△DFB，

∴AE＝DB，∴AE＋AD＝DB＋AD，即DE＝AB.

又∵CA＝FD，∠BAC＝∠EDF，

∴△ACB≌△DFE，∴BC＝EF.

12．证明：在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，

∵AC＝A′C′，CD＝C′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(H.L.)，

∴∠CAD＝∠C′A′D′.

在△ABC和△A′B′C′中，

∵∠BAC＝∠B′A′C′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)．

13. 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中, BD=AC, BC=CB，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（H.L）, ∴AB=CD.

在△ABO和Rt△DCO中,

∠A=∠D,  AB=CD，∠AOB=∠DOC ,

∴△ABO ≌△DCO(A.S.A),  ∴ BO=CO．

14.解：∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACE=90°.

在Rt△BCD和Rt△ACE中，

∵BD=AE ，BC=AC ，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE(H.L).

∴∠BDC=∠E(全等三角形的对应角相等).

∵∠E=70°，∴∠BDC=70°.

15．解： 猜想：BF⊥AE. 

理由：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD＝90°.

又∵BC＝AC，BD＝AE，

∴Rt△BDC≌Rt△AEC(H.L.)，

∴∠CBD＝∠CAE.

又∵∠CAE＋∠E＝90°，

∴∠EBF＋∠E＝90°，

∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.

16．(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°.

在Rt△ABD和Rt△CAE中，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE(H.L.)，

∴∠DBA＝∠CAE.

∵∠DAB＋∠DBA＝90°，

∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°，

∴AB⊥AC.

(2)解：AB⊥AC.理由如下：

同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，

∴∠DAB＝∠ECA.

∵∠CAE＋∠ECA＝90°，

∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC.