初中数学华师大版八年级上册14.2 勾股定理的应用第1课时达标测试

14.2   勾股定理的应用（第1课时）

知识点：勾股定理.

重  点：运用勾股定理解决实际问题.

难  点：把生活中的立体问题，转化为平面直角三角形问题.

基础巩固：

1．如图所示，木工做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在对角的顶点钉一个加固木条，则木条的长为(　　)

A．90厘米       B．100厘米       C．150厘米        D．110厘米

                   1题图                          3题图

2.丽丽想知道学校旗杆的高,她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2m,当她把绳子的下端拉开6m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为(　　)

A.8 m     B.10 m             C.12 m            D.14 m

3.如图，在△ABC中,∠C=90°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，则AE2－BE2等于（    ）

A.AC2      B.BD2            C.BC2          D.DE2    

4．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行60海里后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(　　)

A．60海里       B．45海里          C.海里         D.海里

                           4题图           5题图

5．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的长方形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(　　)

A．9 m           B．7 m            C．5 m             D．3 m

6．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需           米．

  6题图                         7题图               8题图

7. 如图，长方体的底面长和宽分别为3 cm和1 cm，高为6 cm，如果用一根细绳从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要       cm.

8．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为        cm（杯壁厚度不计）．        

9.小明同学想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度.他设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端，然后将绳子向外拉.当把绳子接上1m时，此时一端到达离旗杆底端5m处，如图所示，小明算出旗杆高度是　 　m.

9题图                        11题图

10.若在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是　　　　.

11.如图,在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,则∠BAC+∠CDE=　　　　°.

12．如图，某大楼工地发生火灾，消防车立即赶到，因为火势太大，消防车无法靠近，所以只能在距大楼9米处升起云梯到火灾窗口实施灭火，已知云梯AB长41米，云梯底部距地面的高AC＝2米，问：实施灭火窗口距离地面的高度是多少？

12题图

13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？

13题图 

14.如图,四边形ABCD是一个四边形的草坪，通过测量获得如下数据：AB=4m, BC=7m，

AD=3m, CD=2m，请你测算这块草坪的面积.

14题图 

15.如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少cm?

15题图

16.如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的取值为3)

16题图

17.如图，棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程是多少？

17题图

18.如图,圆柱底面半径为2cm,高为9πcm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A,B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线的最短长度.

18题图

强化提高：

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形．要求：在两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．

2．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B到点C的距离为5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

2题图 

14.2   勾股定理的应用（第1课时）答案

基础巩固：

1. B. 解析：长方形木框的两边与加固木条构成直角三角形，两直角边为80厘米、60厘米，那么木条长度为100厘米. 故选B.

2.A.点拨：设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m.

根据题意得:x2+62=(x+2)2,解得x=8, ∴旗杆的高为8m.故选A.

3.A.点拨：连结AD,∵D为BC的中点,

∴CD=BD, ∵DE⊥AB, ∴∠AED=∠BED,由勾股定理得

AE2=AD2－DE2,BE2=BD2－DE2,

AE2－BE2=AD2－BD2=AD2－CD2=AC2.

3题图            

4．D. 解析：由题意可得∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，AB＝60海里，

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝＝海里．

故选D.

5．D. 解析：连结OA，在直角三角形OAB中，OB=6, AB=8, 则OA=10, 10-6=4m,

   所以选：D.

6. 7.    7. 10.

8. 20. 解析：如图：

   8题图

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B===20（cm）．

故答案为20．

9. 12. 解析：设旗杆的高为xm,则绳子长为(x+1)m,

由勾股定理得,(x+1)2=x2+52,解得,x=12.

答:旗杆的高度是12m.

答案:12

10. 90°. 解析：∵AB=5cm,BC=6cm,AD=4cm,又∵AD为BC边上的中线,∴BD=6×=3(cm),∴AB2=AD2+BD2,∴△ABD为直角三角形,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴∠ADC的度数是90°. 答案:90°

11. 45. 解析：如图,∵BF=CF,CK=EK,  ∴∠FBC=∠CEK=45°,

∴∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°.

连结AD,BE,

∵BC2=22+22=8,CE2=12+12=2,BE2=32+12=10,

∴BC2+CE2=BE2,∴∠BCE=90°.

∵AD2=32+12=10,CD2=32+12=10,

AC2=42+22=20,

∴AD2+CD2=AC2,AD=CD,∴∠ADC=90°,

∴∠ACD=45°,∴∠1+∠2=45°,

∴∠BAC+∠CDE=45°.

答案:45

    11题图

12. 解：设失火的窗口距地面的高度为h米，

由题意得(h－2)2＋92＝412，解得h＝42，

∴实施灭火窗口距地面的高度为42米.

13. 解：设水池的水深AC为x尺，

则这根芦苇长AD＝AB＝(x＋1)尺，

在Rt△ABC中，BC＝5尺，

由勾股定理得BC2＋AC2＝AB2，

即52＋x2＝(x＋1)2，25＋x2＝x2＋2x＋1，2x＝24，

∴x＝12，x＋1＝13.

答：水池的水深是12尺，这根芦苇长是13尺

14. 解：连结BD,如图所示:

    14题图

在Rt△ABD中,AB=4m,AD=3m,

根据勾股定理得:BD==5m,

又BC=7m,CD=2m,

∴BC2=49,BD2+CD2=25+24=49,

∴BD2+CD2=BC2,∴△BDC为直角三角形,

则草坪的面积为S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC

=AB·AD+BD·DC=×4×3+×5×2=6+5(m2).

15. 解：在砖的侧面展开图上, 连结AB,

则AB的长即为A处到B处的最短路程.

在Rt△ABD中,

因为AD=AN+ND=5+10=15(cm), BD=8cm,

所以AB2=AD2+BD2=152+82 =289=172.

所以AB=17cm.

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.

   15题图

16.解：根据题意过点A沿母线展开，作出圆柱的侧面展开图(如图).过点B作母线BC，

∴BC=12cm，AC=2×3×3×=9，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴AB2=AC2+BC2=122+92=225，

∴AB=15(cm).

答：这只蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm.

16题图                    17题图

17. 解：如图，将正方体展开如下图所示，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程是：==10.

18. 解：圆柱体的展开图如图所示：

用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB,

即在圆柱体的展开图(长方形)中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;

∵圆柱底面半径为2cm,

∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:2π×2=4π(cm).

又∵圆柱高为9πcm,

∴小长方形的一条边长是9π÷3=3π(cm).

根据勾股定理求得AC=CD=DB==5π(cm).

∴AC+CD+DB=15πcm,即棉线的最短长度为15πcm.

18题图 

强化提高：

1. 解析： 要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理的知识．

解：如图，有四种拼接方案可供参考．

1题图 

2. 解：将长方体展开，分别得到如图所示三种情况，连结AB.

在图①中，AB＝＝＝；

在图②中，AB＝＝＝；

在图③中，AB＝＝＝，

∵＞＞，∴AB的最小值为，即25 cm，

答：蚂蚁需要爬行的最短距离是25 cm.