华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试单元测试练习

华东师大版八年级上册第14章勾股定理单元测试题

考试时间：90分钟；总分：120分

一、选择题(将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每小题3分，共30分)

1．下列几组数中，是勾股数的有（　　）

①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、.

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2．下列各组数不能作为直角三角形的三边长的为（　　）

A．8，15，17 B．7，12，15 C．12，16，20 D．7，24，25

3．用反证法证明命题“已知：a∥b，b∥c．求证：a∥c．”，应先假设（     ）

A．a不平行于b B．b不平行于c

C．a不平行于c D．a垂直c

4．如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（   ）．

A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上

C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上

        4题图                           5题图

5．如图，25和169分别是两个正方形的面积，字母B所代表的正方形的面积是（    ）

A．12 B．13 C．144 D．194

6．下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A． B．

C． D．

7．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（    ）

A．，， B．

C． D．

8．如图所示，圆柱高8cm，底面半径为2cm， 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（取3）是（    ）

A．20cm    B．14cm     C．10cm      D．无法确定

               
     8题图                   9题图                  10题图

9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（     ）

A． B．3- C．-1 D．3-

10．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（   ）

A．18 B．48 C．120 D．72

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是-1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是_________________．

     11题图                                   12题图

12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的格点上，连接AB、BC，则∠ABC=________°．

13．用反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设                ．

14．如图的楼梯上铺地毯，则需要地毯的总长是               米．

14题图                           15题图

15．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是            米．

16．如图，图①是棱长为4cm的立方体，沿其相邻三个面的对角线(虚线)裁掉一个角，得到如图②的几何体，则一只蚂蚁沿着图②几何体的表面，从顶点A爬到顶点B的最短距离为             cm.

                                    16题图

三、解答题(本题共有8小题，共72分)

17．(本题10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上.

(1)直接写出 AB、AC、BC 的长．

(2)判断△ABC 的形状，并说明理由．

17题图

18．(本题8分)如图，一棵大树在离地面5米处断裂，大树顶部落在离大树底部12米处，求大树断裂之前有多高？

18题图 

19．(本题8分)数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

由表可知，当n=2时，a=3，b=4，c=5；

当n=3时，a=8，b=6，c=10；

………

（1）当n=6时，a=________，b=_________，c=________.

（2）请你分别观察a，b，c与n(n＞1)之间的关系，并分别用含有n的代数式表示a，b，c.   a=________，b=_________，c=________.

（3）猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

20．(本题8分)用反证法证明：△ABC的三个内角中至少有两个锐角．

21．(本题8分)如图，每个小正方形的边长是1

（1）在图①中画出一个面积为2的直角三角形；

（2）在图②中画出一个面积是2的正方形．

22．(本题10分)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东40°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里（即RQ=30）.解答下列问题：

（1）求PR、PQ的值；

（2）求“海天”号航行的方向.(即求北偏西多少度？)

22题图  

23．(本题10分)如图，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为

(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m>0)，点D(m，1)在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.

(1)当m＝3时，点B的坐标为________，点E的坐标为________；

(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

23题图          

24．(本题10分)数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=，其中p=（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．

数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB=9，AC=8，BC=7．

（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；

（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；

（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．

24题图

华师大版八年级上册第14章勾股定理单元测试题参考答案

1．B. 解析：∵满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，

∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．

故选：B．

2．B. 解析：A. 82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意；

B. 72+122≠152，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；

C. 162+122＝202，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意；

D. 72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故此选项不符合题意．

故选：B．

3．C. 解析：命题：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”的反面是：“a不平行c”，
故用反证法证明：“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”，应假设“a不平行c”，
故选：C．

4．B. 解析：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，

根据勾股定理的逆定理可知AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，

∵∠DAB=70°，AD∥BE，∴∠ABE=110°，

则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．

故选B.

4题图

5．C. 解析：根据勾股定理和正方形的面积公式可得：字母B所代表的正方形的面积是169－25=144, 故选C．

6．A. 解析：A.AC2+BC2=AB2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，符合题意；

B. ∠A=∠B，不能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；

C. ∠A+∠B+∠C=180°，不能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；

D. ，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，不符合题意．

故选：A．

7．D. 解析：A. ，，，∵，

∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；

B. ∵，∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；

C. ∵，而，计算得∠A=90，

∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

D. ∵，计算得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，

∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．

8．C. 解析：如图所示：
 

8题图
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC=(cm)，矩形的宽AC=8 cm，
在直角三角形ABC中，AC=8 cm，BC=6 cm，
根据勾股定理得：AB=(cm)．

所以蚂蚁要爬行的最短距离为10cm．
故选：C．

9．D. 解析：如图设AB交CD于点O，连接BD，

作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．

9题图

, ,

,

,  ，

在Rt△ADB中，，

∴AC=BC=2，，

∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，

∴OM=ON，

∵,

.

故选D．

10．D. 解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，

点A，C的最短距离为线段AC的长.

∵已知圆柱的底面直径BC=，

∴AD=·÷2=3，

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，

∴AC2=AD2+CD2=18，

∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，

则小虫爬行的最短路程的平方为：(2AC)2=4AC2=72.

故选D.

11．. 解析：∵AD=2,CD=AB=1,∠CDA=90°.

∴AC=．∴AE=AC=．

∴OE=AE－AO=．∴E表示的实数是：．

故答案为:．

12．45. 解析：如图，连接AC 由勾股定理得：

∴△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,

∴∠ABC=45°. 

故答案为：45°.

13．“内错角相等，两直线不平行” . 解析：反证法证明“内错角相等，两直线平行”时，首先要假设“内错角相等，两直线不平行”，

故答案为：“内错角相等，两直线不平行”．

14．7. 解析：∵AB=5，BC=3，∠C=90°，∴AC==4，

∵平移不改变线段的长度，∴地毯的长=楼梯的水平宽度+垂直高度=AC+BC=7，

故答案为：7

15．2.5．. 解析：将台阶展开，如图，

三级台阶平面展开图为长方形，长即AC为2米，

宽即BC为(0.2+0.3)×3米，即1.5米，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，

即Rt△ABC的斜边AB的长，

在Rt△ABC中，AC=2米，BC=1.5米，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是2.5米．

16．2＋2. 解析：

如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD=， 则BE=
在Rt△ACE中，AE==
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为

故答案为

17．解：(1)AB＝，AC＝=，BC＝；

(2)△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：

∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，

又∵AB＝AC，∴△ABC 是等腰直角三角形．

18．解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5m，AC＝12m，

∴BC＝＝＝13（m），

∴AB+BC＝5+13＝18（m）

答：大树断裂之前的高度为18m．

19．解：（1）由表格中的数据得到：a=n2-1，b=2n，c=n2+1，

∴当n=6时，a=35，b=12，c=37；

（2）观察表中的数据得到：a与c正好是n2加减1，b=2n，

∴a，b，c与n(n＞1)之间的关系，分别用含有n的代数式表示为：

      a= n2-1，b=2n，c= n2+1；

（3）猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形，

理由：∵ ，

，∴ ，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

20．解：假设同一三角形中最多有一个锐角，则另两个角为直角或钝角，

故此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理相矛盾，

故假设不成立，原命题正确，即△ABC中至少有两个角是锐角．

21．解：（1）面积为2的直角三角形，其两直角边的乘积应为4，取其两直角边都为2即可（方法不止一种）；

（2）面积为2的正方形，其边长应为，而在方格纸中，每个小正方形的对角线长刚好为，所以以小正方形的对角线为边长作正方形即可；

所画图形如图所示：

22．解：（1）PR的长度为：12×1.5=18海里，

PQ的长度为：16×1.5=24海里；

（2）∵RQ2=PR2+PQ2， ∴∠RPQ=90°，

∵“远航”号向北偏东40°方向航行，即∠1=40°，

∴∠2=∠RPQ-∠1=90°-40°=50°，

即 “海天”号向北偏西50°方向航行．

23．解：(1)点B的坐标是（3,4）

∵ AB=BD=3，∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°，则∠DAE=∠BAD=45°，则E在y轴上。

AE=AB=BD=3，∴四边形ABDE是正方形，OE=1，

则点E的坐标为(0,1)；故答案为(3,4),(0,1)；

 (2)点E能恰好落在x轴上．理由如下：

∵四边形OABC为长方形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°，

由折叠的性质可得DE＝BD＝BC－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.

如图，假设点E恰好落在x轴上．在Rt△CDE中，

由勾股定理可得EC＝＝＝2，

则有OE＝OC－CE＝m－2.

在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2，即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.

故答案为(1)  (3，4)；(0，1)；

(2) 点E能恰好落在x轴上，m的值是3.

17题图

24．解：（1） =12

△ABC面积是 .

（2）等面积法求出，，  

（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，

   24题图

∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，∴IF=IH=IG，

∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI， 

∴（9•IF+8•IF+7•IF）=，解得IF=

故S△ABI =AB•FI=．