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数学八年级上册1.1 认识三角形巩固练习
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这是一份数学八年级上册1.1 认识三角形巩固练习，共15页。
浙教版八年级上册1.1《认识三角形》 同步练习
一．选择题
1．（2020秋•东阳市期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2.5，3.5 B．4，6，10 C．20，11，8 D．5，8，12
2．（2021•江川区模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020秋•连山区期末）具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
4．（2020春•昌图县期末）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．50° C．70° D．90°
5．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．140°
7．（2020春•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
8．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020春•安吉县期末）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
二．填空题
10．（2020秋•衢州期末）如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC+BC AB（填“＞”“＜”或“＝”）．
11．（2020秋•温岭市期中）人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了 ．
12．（2020秋•椒江区校级月考）一个不等边三角形的两边长分别为3和13，且第三边长为整数，符合条件的三角形有 个．
13．（2020秋•青田县期末）如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
14．（2020秋•西丰县期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为 ．
15．（2020•富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
16．（2020秋•海宁市期中）已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，则∠BAC＝ °．
三．解答题
17．（2019春•内江期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
18．（2019春•新华区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠CAE的度数．
（2）求∠DAE的度数．
（3）探究：小明认为如果只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
19．（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）
20．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝ °，∠3﹣∠1＝ °；
（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）
参考答案
一．选择题
1．（2020秋•东阳市期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2.5，3.5 B．4，6，10 C．20，11，8 D．5，8，12
【解析】解：A、1+2.5＝3.5，不能够组成三角形；
B、4+6＝10，不能组成三角形；
C、11+8＜20，不能组成三角形；
D、5+8＞12，能组成三角形．
故选：D．
2．（2021•江川区模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
3．（2020秋•连山区期末）具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
【解析】解：A、由∠A+∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
B、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
C、由∠A＝2∠B＝3∠C，推出∠A＝（）°，△ABC是钝角三角形，本选项符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：3：4，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意，
故选：C．
4．（2020春•昌图县期末）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．50° C．70° D．90°
【解析】解：由题意，
解得，
故选：A．
5．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
6．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．140°
【解析】解：连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
7．（2020春•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【解析】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
8．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：∵点D是BC的中点，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ABC＝6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积＝△DBE的面积＝△ABC的面积＝3，
△ACE的面积＝△DCE的面积＝△ABC的面积＝3，
∴△BCE的面积＝△ABC的面积＝6，
∵CF＝2EF，
∴△BEF的面积＝×6＝2，
故选：B．
9．（2020春•安吉县期末）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【解析】解：满足条件的C点有6个，平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
故选：C．
二．填空题
10．（2020秋•衢州期末）如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC+BC ＞ AB（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解析】解：如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC+BC＞AB，
故答案为：＞．
11．（2020秋•温岭市期中）人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了 三角形的稳定性 ．
【解析】解：人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
12．（2020秋•椒江区校级月考）一个不等边三角形的两边长分别为3和13，且第三边长为整数，符合条件的三角形有 4 个．
【解析】解：设第三边长为x，
根据题意得13﹣3＜x＜13+3，即10＜x＜16，
又∵三角形为不等边三角形，且第三边长为整数，
∴x为11、12、14、15，符合条件的三角形有4个，
故答案为：4．
13．（2020秋•青田县期末）如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 100° ．
【解析】解：∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝20°+50°＝70°，
∵∠ADB是△DEB的一个外角，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+30°＝100°，
故答案为：100°．
14．（2020秋•西丰县期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为 10 ．
【解析】解：∵点E为AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC．
∵BD：CD＝2：3，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△AOE﹣S△BOD＝1，
∴S△ABC﹣S△ABC＝1，
解得S△ABC＝10．
故答案为：10．
15．（2020•富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 230° ．
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
16．（2020秋•海宁市期中）已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，则∠BAC＝ 60或100 °．
【解析】解：如图1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠ADE＝80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
如图2，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠ADE＝80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，
综上所述，∠BAC＝60°或100°，
故答案为：60或100．
三．解答题
17．（2019春•内江期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
【解析】解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠MAC＝126°，
∵AE是∠BAC外角的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC＝63°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．
18．（2019春•新华区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠CAE的度数．
（2）求∠DAE的度数．
（3）探究：小明认为如果只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°.
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠C＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°．
（3）能，设∠B＝x，则∠C＝20°+x，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣20°﹣x＝160°﹣2x．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝（160°﹣2x）＝80°﹣x．
在Rt△ADC，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣（20°+x）＝70°﹣x，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（80°﹣x）﹣（70°﹣x）＝10°，
故若只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得到∠DAE＝10°．
19．（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）
【解析】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB，同理可得：∴∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴（∠ACB+∠ABC）＝90°﹣∠A，
∵180°﹣∠BPC＝∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°﹣∠BPC＝∠A+∠ACB+∠ABC，180°﹣∠BPC＝∠A+90°﹣∠A，
∴∠BPC＝90°﹣∠A＝70°；
（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCF＝∠ACF，
∵∠PCF＝∠P+∠PBC，∠ACF＝∠A+∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
∴∠P＝∠A＝20°；
（4）若∠A＝β，在（1）中，∠P＝180°﹣（180°﹣β）＝90°+β；
在（2）中，同理得：∠P＝90°﹣β；
在（3）中同理得：∠P＝∠A＝β．
20．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝ 20 °，∠3﹣∠1＝ 55 °；
（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）
解：（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是： ∠3﹣∠1＝∠A ．
（3）∠3﹣∠1＝ ﹣30° ．
【解析】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A
＝130°﹣110°
＝20°，
∵CE平分∠ACE，
∴∠2＝∠ACE＝20°，
∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠ABC＝×30°＝15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，
∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，
故答案为：20，55；
（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1＝∠A．
证明：在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∵MN⊥BC于点N，
∴∠MNC＝90°，
在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，
∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，
＝90°﹣∠ACB﹣∠ABC，
＝90°﹣（∠ACB+∠ABC），
∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠3﹣∠1＝90°﹣（180°﹣∠A）＝∠A；
故答案为：∠3﹣∠1＝∠A；
（3）∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β＝180°，
∠2+2∠1+α＝180°，
∴∠1+∠2＝120°﹣，
∵∠1+∠2＝（∠ACB+∠ABC）＝（180°﹣∠A），
∴120°﹣＝（180°﹣∠A），
整理得，∠A＝﹣30°，
∴∠3﹣∠1＝﹣30°．
故答案为：﹣30°．
浙教版八年级上册1.1《认识三角形》 同步练习
一．选择题
1．（2020秋•东阳市期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2.5，3.5 B．4，6，10 C．20，11，8 D．5，8，12
2．（2021•江川区模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020秋•连山区期末）具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
4．（2020春•昌图县期末）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．50° C．70° D．90°
5．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．140°
7．（2020春•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
8．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020春•安吉县期末）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
二．填空题
10．（2020秋•衢州期末）如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC+BC AB（填“＞”“＜”或“＝”）．
11．（2020秋•温岭市期中）人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了 ．
12．（2020秋•椒江区校级月考）一个不等边三角形的两边长分别为3和13，且第三边长为整数，符合条件的三角形有 个．
13．（2020秋•青田县期末）如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
14．（2020秋•西丰县期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为 ．
15．（2020•富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
16．（2020秋•海宁市期中）已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，则∠BAC＝ °．
三．解答题
17．（2019春•内江期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
18．（2019春•新华区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠CAE的度数．
（2）求∠DAE的度数．
（3）探究：小明认为如果只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
19．（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）
20．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝ °，∠3﹣∠1＝ °；
（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）
参考答案
一．选择题
1．（2020秋•东阳市期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2.5，3.5 B．4，6，10 C．20，11，8 D．5，8，12
【解析】解：A、1+2.5＝3.5，不能够组成三角形；
B、4+6＝10，不能组成三角形；
C、11+8＜20，不能组成三角形；
D、5+8＞12，能组成三角形．
故选：D．
2．（2021•江川区模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
3．（2020秋•连山区期末）具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：3：4
【解析】解：A、由∠A+∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
B、由∠A＝∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
C、由∠A＝2∠B＝3∠C，推出∠A＝（）°，△ABC是钝角三角形，本选项符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：3：4，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意，
故选：C．
4．（2020春•昌图县期末）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．50° C．70° D．90°
【解析】解：由题意，
解得，
故选：A．
5．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
6．（2020春•常州期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．140°
【解析】解：连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
7．（2020春•义乌市期末）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（ ）
A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°
【解析】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180° ①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
8．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：∵点D是BC的中点，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ABC＝6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积＝△DBE的面积＝△ABC的面积＝3，
△ACE的面积＝△DCE的面积＝△ABC的面积＝3，
∴△BCE的面积＝△ABC的面积＝6，
∵CF＝2EF，
∴△BEF的面积＝×6＝2，
故选：B．
9．（2020春•安吉县期末）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【解析】解：满足条件的C点有6个，平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
故选：C．
二．填空题
10．（2020秋•衢州期末）如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC+BC ＞ AB（填“＞”“＜”或“＝”）．
【解析】解：如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC+BC＞AB，
故答案为：＞．
11．（2020秋•温岭市期中）人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了 三角形的稳定性 ．
【解析】解：人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
12．（2020秋•椒江区校级月考）一个不等边三角形的两边长分别为3和13，且第三边长为整数，符合条件的三角形有 4 个．
【解析】解：设第三边长为x，
根据题意得13﹣3＜x＜13+3，即10＜x＜16，
又∵三角形为不等边三角形，且第三边长为整数，
∴x为11、12、14、15，符合条件的三角形有4个，
故答案为：4．
13．（2020秋•青田县期末）如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 100° ．
【解析】解：∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝20°+50°＝70°，
∵∠ADB是△DEB的一个外角，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+30°＝100°，
故答案为：100°．
14．（2020秋•西丰县期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为 10 ．
【解析】解：∵点E为AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC．
∵BD：CD＝2：3，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△AOE﹣S△BOD＝1，
∴S△ABC﹣S△ABC＝1，
解得S△ABC＝10．
故答案为：10．
15．（2020•富阳区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 230° ．
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
16．（2020秋•海宁市期中）已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，则∠BAC＝ 60或100 °．
【解析】解：如图1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠ADE＝80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
如图2，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠ADE＝80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，
综上所述，∠BAC＝60°或100°，
故答案为：60或100．
三．解答题
17．（2019春•内江期末）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
【解析】解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠MAC＝126°，
∵AE是∠BAC外角的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC＝63°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．
18．（2019春•新华区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠CAE的度数．
（2）求∠DAE的度数．
（3）探究：小明认为如果只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°.
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠C＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°．
（3）能，设∠B＝x，则∠C＝20°+x，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣20°﹣x＝160°﹣2x．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝（160°﹣2x）＝80°﹣x．
在Rt△ADC，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣（20°+x）＝70°﹣x，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（80°﹣x）﹣（70°﹣x）＝10°，
故若只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得到∠DAE＝10°．
19．（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）
【解析】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB，同理可得：∴∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴（∠ACB+∠ABC）＝90°﹣∠A，
∵180°﹣∠BPC＝∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°﹣∠BPC＝∠A+∠ACB+∠ABC，180°﹣∠BPC＝∠A+90°﹣∠A，
∴∠BPC＝90°﹣∠A＝70°；
（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCF＝∠ACF，
∵∠PCF＝∠P+∠PBC，∠ACF＝∠A+∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
∴∠P＝∠A＝20°；
（4）若∠A＝β，在（1）中，∠P＝180°﹣（180°﹣β）＝90°+β；
在（2）中，同理得：∠P＝90°﹣β；
在（3）中同理得：∠P＝∠A＝β．
20．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝ 20 °，∠3﹣∠1＝ 55 °；
（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）
解：（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是： ∠3﹣∠1＝∠A ．
（3）∠3﹣∠1＝ ﹣30° ．
【解析】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A
＝130°﹣110°
＝20°，
∵CE平分∠ACE，
∴∠2＝∠ACE＝20°，
∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠ABC＝×30°＝15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，
∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，
故答案为：20，55；
（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1＝∠A．
证明：在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∵MN⊥BC于点N，
∴∠MNC＝90°，
在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，
∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，
＝90°﹣∠ACB﹣∠ABC，
＝90°﹣（∠ACB+∠ABC），
∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠3﹣∠1＝90°﹣（180°﹣∠A）＝∠A；
故答案为：∠3﹣∠1＝∠A；
（3）∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β＝180°，
∠2+2∠1+α＝180°，
∴∠1+∠2＝120°﹣，
∵∠1+∠2＝（∠ACB+∠ABC）＝（180°﹣∠A），
∴120°﹣＝（180°﹣∠A），
整理得，∠A＝﹣30°，
∴∠3﹣∠1＝﹣30°．
故答案为：﹣30°．
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