初中华师大版2. 在复杂情况下列举所有机会均等的结果第三课时教案设计

这是一份初中华师大版2. 在复杂情况下列举所有机会均等的结果第三课时教案设计，共10页。教案主要包含了情景导入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

＆.教学目标：
1、会用树状图和列表的方法列举随机事件的所有等可能结果，从而得到事件发生的概率。
2、能利用概率解释游戏的公平性问题等等，培养用所学知识解决实际问题的能力。
＆.教学重点、难点：
重点：用树状图和列表的方法列举随机事件的所有等可能结果，从而得到事件发生的概率。
难点：事件发生经过多个步骤的概率计算。
＆.教学过程：
一、情景导入
问题：现在小华和小红玩一个游戏，掷两个六面体骰子，依据骰子的点数之和为奇数、偶数来决定胜负。小红说：这个游戏不公平，点数之和为偶数的概率大；小华说：这个游戏公平，和为奇数、偶数的概率相同.你同意谁的说法？利用以前的方法你能计算概率吗？
二、探究新知
在现实生活中经常遇到多种可能结果的随机事件，可以列举出所有的实验结果，为了做到不重不漏，我们常采用树状图法或列表法求解。
§.探究利用树状图或列表求复杂情况下所有机会均等的结果：
问题1：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的概率是一样的。你同意吗？
（1）请问“先两个正面再一个反面”就是“两个正面一反面”吗？（不同）
（2）你猜一猜机会一样吗？（机会一样）
（3）你如何陈述理由？把你的陈述在小组内交流.
解析：对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2次抛掷来说也是这样．而且每次硬币出现正面或反面的机会都相等．由此，我们可以画出图1．
图 1
正
反
第1次
第2次
第3次
正
正
正
正
正
正
反
反
反
反
反
反
在图1中，从上至下每一条路径就是一种可能的结果，而且每种结果发生的机会相等.
解：抛掷一枚普通的硬币3次，共有以下8种机会均等的结果：
正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.
（正正正）（正正反），
所以，这一说法正确．
＆.树状图的定义：
在分析这一问题的过程中，我们采用了画图的方法．这幅图好像一棵倒立的树，因此我们常把它称为树状图（tree diagram），也称树形图、树图。它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明。
思考：有的同学认为：抛三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4种情况：（1）全是正面；（2）两正一反；（3）两反一正；（4）全是反面．因此这四个事件出现的概率相等．你同意这种说法吗？为什么？
教学思路：让学生先独立思考，教师根据学生情况适当点拨。
解：可以画出如下树状图：（如图2）
图 2
正
反
硬币1
硬币2
硬币3
正
正
正
正
正
正
反
反
反
反
反
反
开始
根据树状图可以看出共有8种等可能的结果，其中全是正面出现1次，两正一反出现了3次，两反一正出现了3次，全是反面出现了1次.因此（1）和（4）出现的概率相等，（2）和（3）出现的概率相等，但（1）、（4）出现的概率比（2）、（3）出现的概率小。
问题2：口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，会出现哪些可能的结果？
有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和摸出白球这两个事件是等可能的。
也有人说，如果给小球编号，就可以说：摸出红球，摸出白1球，摸出白2球，这三个事件是等可能的。
你认为哪种说法比较有理呢？
如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果：（1）都是红球；（2）都是白球；（3）一红一白。
这三个事件发生的概率相等吗？
解析：先用画树状图的方法看看有哪些等可能的结果：
图 3
第1次摸出球
红
白1
白2
红
白1
白2
红
白1
白2
红
白1
白2
第2次摸出球
从图3可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出现的概率相等．在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这三个事件中，“摸出________”的概率最小，等于________，“摸出一红一白”和“摸出________”的概率相等，都是________．
答案：“摸出两红”概率最小，等于，“摸出一红一白”和“摸出两白”的概率相等，都是.
思考：在分析问题2时，一位同学画出如图4所示的树状图．从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大．他的分析有道理吗？为什么？
图 4
第1次摸出球
红
白
红
白
红
白
第2次摸出球
问题3：掷两枚普通的正六面体骰子，所得点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其数值是多少？
我们可以用表4来列举所有可能得到的点数之积。
表 4
表中每个格子里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为_______的概率最大，其数值等于__________．
答案：积为6和积为12的概率最大，都是.
思考：
（1）若问题改为积为偶数的概率大还是积为奇数的概率大呢？
（2）若问题改为和为偶数的概率大还是和为奇数的概率大呢？
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、将5个完全相同的小球分别装在甲、乙两个不透明的口袋中.甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4.从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球。
（1）用列表法或画树状图法，求摸出两个球上数字之和为5的概率。
（2）摸出的两个球上数字之和为多少时概率最大？
解：（1）画树状图（如图5）：
图 5
甲袋
乙袋
和
2
2
4
4
6
3
2
4
5
7
4
2
4
6
8
或列表：
摸出的两个球上数字之和为5的概率为.
（2）摸出的两个球上数字之和为6的概率最大。
§.例2、“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负需继续比赛.假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人同时做同种手势（即不分胜负）的概率是多少？请用树状图的方法解决，再用重复实验的方法，计算平均多少次有一次会出现不分胜负的情况，比较以上两个结果，看能否互相验证。
解：树状图（如图6）
图 6
石头
石头
剪刀
布
甲
乙
剪刀
石头
剪刀
布
布
石头
剪刀
布
所有机会均等的结果有9个，其中的3个——（石头、石头）、（剪刀、剪刀）、（布、布）是我们关注的结果，所以.
同步练习：从壹角、伍角、壹圆3枚硬币中任取2枚，其面值和大于壹圆，这个事件发生的概率是多少？请画出树状图。
答案：（大于壹圆）.
§.例3、某商场搞摸奖促销活动：商场在一只不透明的箱子里放了三个相同的小球，球上分别写有“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本商场同一日内，每消费满100元，就可以在这只箱子里摸出一个小球（顾客每次摸出小球看过后仍然放回箱内搅匀），商场根据顾客摸出小球上所标金额就送上一份相应的奖品.现有一顾客在该商场一次性消费了235元，按规定，该顾客可以摸奖两次，求该顾客两次摸奖所获奖品的价格之和超过40元的概率。
解：列树状图（如图7）
图 7
第1次摸得奖品价格
10
10
20
30
20
30
40
20
10
20
30
30
40
50
30
10
20
30
40
50
60
第2次摸得奖品价格
两次奖品价格之和
两次摸奖结果共有9种，其中两次奖品价格之和超过40元的有3种情况，故所求概率为.
§.例4、将、、、四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人。
（1）在甲组的概率是多少？
（2）、都在甲组的概率是多少？
解：所有可能出现的结果如下：
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同。
（1）所有结果中，满足在甲组的结果有3种，所以在甲组的概率是.
（2）所有结果中，满足、都在甲组的结果有1种，所以、都在甲组的概率是.
§.例5、口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1和2；口袋中装有3个小球，分别标有数字3，4和5.每个小球除数字外都相同.甲、乙两人玩游戏，从、两个口袋中随机地各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢.这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由。
解：画树状图（如图8）
图 8
A口袋
B口袋
和
1
3
4
5
4
5
6
2
3
4
5
5
6
7
或列表：
数字之和共有6种，其中和为偶数的情况有3种，和为奇数的情况有3种。
故（和为偶数），（和为奇数），游戏对甲、乙双方是公平的。
同步练习：将四张扑克牌分别为方块2，黑桃4，黑桃5和梅花5洗匀后背面朝上放置在桌面上。
（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面上的数字恰好为5的概率是多少？
（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的数字之和是偶数为胜；反之则为负.你认为这个游戏公平吗？请说明理由。
§.例6、一枚质量均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次。
（1）用列表法或树状图表示出朝上的面上的数字所有可能出现的结果；
（2）记两次朝上的面上的数字分别为，，若把，分别作为点的横坐标和纵坐标，求点（，）在函数的概率。
解：（1）列表法
（2）因为有四点（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）在函数的图象上，故所概率为.
§.例7、有两个自由转动的均匀转盘、，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图9，规则如下:①分别转动转盘、；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内数字相乘（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
图 9
2
1
3
A
6
4
5
B
（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平。
解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
表格中共有9种等可能的结果，则
数字之积为3的倍数的有五种可能，其概率为；
数字之积为5的倍数的有三种可能，其概率为.
（2）这个游戏不公平.
∵小亮平均每次得分为（分）；小芸平均每次得分为（分）
∴
∴游戏对双方不公平。
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数知，小芸得5分即可。
归纳：当事件发生只经过两个步骤时，一般用列表法就能将所有可能的结果列举出来，当经过多个步骤时，一般用树状图求解，层次清楚，一目了然.用列举法求概率时各情况出现的可能性务必相同，并且要做到不重不漏。
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握利用列表法或树状图列举复杂情况下机会均等事件概率的计算方法，进而求出所关注事件的概率。
2、对于判断游戏公平性问题中，不但要判断还要学会给不公平问题设计合理的方案使其公平。
六、课外作业
1、教材 习题 、
2、补充例题：
题1：（2006年.安徽）田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次赢得两局者为胜.看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……
（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，而田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
解析：正确理解题意，将齐王和田忌的马正确排列而后恰当列表。
解：（1）田忌的马应按下表出阵，才能获胜，如表：
（2）双方对阵的所有情况如下表：
双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌胜的概率.
题2：将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率。
（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明。
答案：（1）
（2）树状图（如图10）
开始
1
3
4
2
2
3
4
（12）
（13）
（14）
1
3
4
（21）
（23）
（24）
1
2
4
（31）
（32）
（34）
1
2
3
（41）
（42）
（43）
图 10
或列表法为：
故.
题3：（2006年锦州）甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队人用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同再决胜负。请你说明裁判员的这种说法对甲、乙双方是否公平，为什么？（用树状图或列表法解答）
解析：借助画树状图解答。
解：如图11.
图 11
石头
石头
剪刀
布
甲
乙
剪刀
石头
剪刀
布
布
石头
剪刀
布
由图可知：甲胜的概率，乙胜的概率为.
故这种做法对甲、乙双方是公平的.
题4：甲、乙两人要去某风景区游玩，每天某一事段开往该风景区有三辆汽车（票价不同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序。两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车.而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的舒适程度比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆车好，他就是上第三辆车。如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
（2）你认为甲、乙采用的方案，哪一种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？
解析：用树状图或列表法表示出所有等可能的结果，并观察所关注事件出现的次数。
解：三辆车开来的先后顺序有6种可能：上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中.（2）由于不知道任何信息，所以只能假设6种顺序出现的可能性相同，我们来研究在各种可能的顺序之下，甲、乙两人分别会上哪一辆车：
于是，不难得出：甲乘上、中、下三辆车的概率都是；乙乘上等车的概率是，乘中等车的概率是，乘下等车的概率是.所以乙采取的方案乘坐上等车的可能性大。
第
1
枚
积
第
2
枚
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
甲
袋
和
乙
袋
2
3
4
2
4
5
6
4
6
7
7
甲组
乙组
结果
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
A
袋
B
袋
3
4
5
1
（1，3）和为4
（1，4）和为5
（1，5）和为6
2
（2，3）和为5
（2，4）和为6
（2，5）和为7
第
一
次
第
二
次
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
转
盘
B
数
字
转
盘
A
数
字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）
齐王
上
中
下
田忌
下
上
中
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
第
一
次
第
二
次
1
2
3
4
1
（21）
（31）
（41）
2
（12）
（32）
（42）
3
（13）
（23）
（43）
4
（14）
（24）
（34）
顺序
甲
乙
上、中、下
上
下
上、下、中
上
中
中、上、下
中
上
中、下、上
中
上
下、上、中
下
上
下、中、上
下
中