华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试教案

这是一份华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试教案，共4页。教案主要包含了知识结构，精典例题讲解，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1、通过总结和归纳，对本章知识进行梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。
2、能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
＆.教学重点、难点、关键：
重点：二次根式的相关概念，二次根式的基本性质及化简，二次根式的运算法则及运算。
难点：比较复杂的二次根式的化简问题和处理综合问题的策略。
＆.教学过程：
一、知识结构
1、知识网络：教材《知识结构》
二次根式
二次根式的化简
二次根式的运算
2、概括：
1、理解符号的意义是研究二次根式的关键．表示非负数的算术平方根，即有：
（1）(）；（2）（）．
要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数。
2、二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面：
（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。
（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。
在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的性质“（）”起着举足轻重的作用。
3、二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减。
（1）二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：
（，）；（，）．
（2）二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式。通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并。
二次根式运算的结果应尽可能化简。
二、精典例题讲解
题型一：利用二次根式的概念解决问题
§.例1、当为何值时，下列各式有意义。
（1） （2）
解析：对于二次根式有意义，必须满足被开方数为非负数，对于分式，必须满足分母不为零。
解：（1）根据题意，得：，即.当时，有意义.
（2）根据二次根式和分式有意义条件，得：，解得：
当时，有意义.
§.例2、已知，求的值。
解析：此题主要是从二次根式的被开方数是非负数入手，从而确定出的值。
解：根据题意，得：，即
把代入，解得：
故.
同步练习：若、为实数，且，求.
题型二：利用二次根式的双重非负性解题
§.例3、已知的三边长分别为、、，且满足，求的取值范围。
解：根据题意，得：
即，则
解得：，
故的范围为.
同步练习：已知与互为相反数，求的值。
题型三：利用分类思想化简二次根式
§.例4、已知、的值如数轴所示，化简：
1
a
-2
-1
0
2
b
解析：由公式，所以在化简时必须对进行讨论，由图可知，，，.
解：由图可知：，.
.
§.例5、当时，化简：
解析：由给定的条件，确定中的性质，从而进行化简。
解：∵
∴，
故.
同步练习：化简:.
§.例6、把二次根式化简。
解析：此题有两种解决方案，一种是把根号外的因式移到根号内，这时要注意讨论移入的因式的性质，应把符号留在外面（不改变二次根式的性质），另一种方案是把根号内的分母移到根号外，此时要注意加绝对值。
解：由题意，得：，
.
同步练习：将根号外面的因式或因数移入根号内。
（1） （2）
题型四：二次根式的混合运算
§.例7、计算：
（1）； （2）；
（3） （4）
答案：（1）；（2）；（3）；（4）.
点评：二次根式的混合运算是本章的重点内容，也是中考的热点，在运算时，要注意运算顺序，合理运用运算法则，熟练掌握二次根式的性质和灵活运用加减乘除法则是解决此类问题的关键。在（2）中要注意按顺序计算，而不是先将后两项相乘，避免出现错误运算。
题型五：比较实数大小
§.例8、比较大小。
（1）与；（2）和；（3）与.
解析：比较两个实数的大小通常有（1）被开方数比较法；（2）平方法比较法；（3）倒数比较法；（4）分母有理化比较法；（5）作差比法；（6）作商比法。
（1）题可用被开方数比较法，把根号外面的因数移入根号内有，，直接可以得出；
（2）可用平方比较法：，，可以得到，当被开方数和相同时常用此法；
（3）可用倒数比较法，，，所以.当两个无理数中的两个被开方数的差相等时，常用此法。
答案：（1）；（2）；（3）.
题型六：二次根式在实际问题中的应用
§.例9、某地有一矩形花园，已知矩形的长是宽的倍，它的面积为，求花园的长和宽。
解：设宽为，则长为，由题意，得：
解得：
答：矩形长为，宽为.
点评：二次根式在解决实际问题中常有应用，同学们要注意将结果化成最简。
三、课堂小结
本节课总结了二次根式这章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见题型，同学们要从实际出发，找到自己的薄弱点并认真加强，提高自己综合应用知识和分析解决问题的能力。