华师大版九年级上册23.4 中位线第一课时教案

这是一份华师大版九年级上册23.4 中位线第一课时教案，共5页。教案主要包含了知识回顾，探究新知，讲解例题，巩固新知，课堂小结，课外作业，参考资料等内容，欢迎下载使用。

＆.教学目标：
1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现猜想、验证的学习过程，体会转化的思想方法。
3、通过对问题的探索研究，培养学生分析和解决问题的能力以及思维的灵活性。
＆.教学重点、难点：
重点：探索并运用三角形中位线的性质。
难点：用同一法证明三角形的三条中线交于一点及运用转化思想解决有关问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、判定三角形相似有哪些方法？请你说一说？
图 1
A
B
C
D
图 2
A
E
B
C
F
2、什么是三角形的中线？三角形的中线有哪些性质？
二、探究新知
（一）探究三角形中位线的概念
问题1：如果将“连结三角形顶点和对边中点”改为“连结三角形两边中点”呢？得到的是一条什么线，这条线段的两个端点是三角形边的什么？（如图2）
教学思路：由此引出课题及三角形中位线的概念。
§.三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
注意：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，中线是连结三角形顶点与对边中点的线段，都是三角形中的重要线段，三角形有三条中位线，三条中线。
（一）探究三角形中位线的性质
图 2
A
E
B
C
F
问题2：如图2，在中，点E、F分别是、的中点。根据画出的图形，请你观察EF和BC有什么关系？
猜想：且.
验证：如图，中，点E、F分别是、的中点。
∴
∵
∴∽（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
∴，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例）
∴且
§.三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。（一线两用）
几何语言叙述：∵E、F分别是、的中点（或，）
∴且
注意：该定理既得到了线段的位置关系，同时也得到了线段之间的数量关系，因此出现了三角形的中点，常常做辅助线：连结三角形的中点，构造三角形的中位线，利用中位线定理来证明平行问题或解决线段之间的倍数关系。
三、讲解例题，巩固新知
思考：如果将上述图1、图2合并，即三角形的一条中位线与第三边的中线相交，此时它们之间有什么关系呢？（如图3）
§.例1、已知：如图所示，在中，，，．
图 3
A
E
F
B
D
C
求证：AD、EF互相平分．
证明：连结、DF．
∵，
∴（三角形的中位线定理）
同理
∴四边形是平行四边形
因此AD、EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
得到结论：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
知识延伸：
1、请你思考与有什么关系？（相似）
2、研究了中线与中位线的关系，那么三角形两条中线之间有什么关系呢？（如图4）
§.例2、如图，中，、分别是边、的中点，、相交于．
求证：．
图 4
A
E
D
G
B
C
G′
A
B
D
C
FA
图 5
证明：连结.
∵、分别是边、的中点
∴，（三角形的中位线定理）
∴∽
∴
∴．
拓展：如果在图中，取的中点，假设与交于，如图，那么我们同理有，所以有，即两图中的点与是重合的．
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
A
图 7
E
F
G
C
B
D
同步练习：如图7，D、E、F分别是三边的中点，如果的面积为1，求的面积。
四、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握三角形中位线是三角形中一条重要的线段，它与三角形中线不同。
2、理解三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况，选用其中一个关系或两个关系。在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线，用来证明平行或证明线段的倍数问题。
3、生活处处皆数学，要学好数学用于解决实际问题。
五、课外作业
如果将变为四边形ABCD，E、F、G、H分别是四边形中点，那么所得的四边形EFGH是什么四边形呢？
1、如图4：四边形中，、、、分别为各边的中点，顺次连结、、、.
（1）请你判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
（2）探索、与四边形的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明。
（3）如果四边形的面积为，那么四边形的面积是多少？
解：（1）四边形EFGH是平行四边形。
理由：连结BD，在中
A
图 8
B
E
H
D
F
G
C
∵、分别为AB、AD的中点
∴，
同理可得：，
∴
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）
证明：在中，
∴∽
∴，即.
同理可证：
∴
（3）由（2）的结论可知

2、《导学探究》课后演练
六、参考资料
1、如图：四边形中，、、、分别为各边的中点，顺次连结、、、，把四边形称为中点四边形.连结、，容易证明：中点四边形一定是平行四边形。
（1）如果改变原四边形的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形的对角线满足时，四边形为菱形；
当四边形的对角线满足________ _______时，四边形为矩形；
当四边形的对角线满足________________时，四边形为正方形。
（2）探索三角形、三角形与四边形的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明。
（3）如果四边形的面积为，那么中点四边形的面积是多少？
解：（1）；且………………………分（每空各2分）
A
图 9
B
E
H
D
F
G
C
（2）……………………………………分
证明：在中，
∴∽
∴，即.
同理可证：
∴………………分
（3）由（2）的结论可知
………………………………………分