专题15 过端点向中线作垂线问题（解析版）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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【典例分析】
例1．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.
【详解】
如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【好题演练】
一、解答题
1．（2019·全国九年级专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
【详解】
如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
2．（2019·全国九年级专题练习）如图，是的中线，于.于，
（1）求证：；（2）若，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
先证明DE=DF；
(1)在中，由垂线段最短可得，即，①，在中，同理可得，即，②，①+②整理后即可得结论；
(2)， ，可得，继而可得答案.
【详解】
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
又∠BDE＝CDF
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE=DF；
(1)在中，，即，①
在中，，
即，②
①+②得，，
即；
(2)，①，，②
①+②得，，
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.
3．（2019·全国九年级专题练习）如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．
【答案】证明见解析
【分析】
方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.
【详解】
方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC
方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，
则.
，，
，
.
，，
，，
又，
，
.
【点睛】
本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.