2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：8.2　空间点、线、面的位置关系 【KS5U 高考】

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过该点的公共直线.符号表示:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.作用:(i)可用来确定两个平面的交线;(ii)判断三点共线、三线共点.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类 (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:设a,b,c是三条直线,a∥b,c∥b,则③    a∥c    .公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间中这个性质都适用.
作用:判断空间两条直线平行.(3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别 ,那么这两个角④　相等或互补    .(4)异面直线(i)定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义 是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.符号表示:不存在平面α, 使得a⊂α且b⊂α.当然也可以这样理解:a∩b=⌀且a∥\ b.(ii)性质:两条异面直线既不相交又不平行.(5)异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的锐(或直)角叫做这两条异面直线所成的角.若记这个角为θ,则θ的
范围是⑤         .3.直线和平面的位置关系
4.两个平面的位置关系
方法1  点、线、面位置关系的判断方法1.判断点、线、面的位置关系的常用方法①根据公理和定理证明位置关系;②通过构造特例否定其位置关系;③利用原命题和逆否命题等价判断命题的真伪;④反证法.2.点共线问题的证明方法证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再依 据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.
3.线共点问题的证明方法证明空间三线共点,先证两条直线交于一点,再证第三条直线经过这点, 将问题转化为证明点在直线上.4.点线共面问题的证明方法(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β, 最后证明平面α,β重合.
例1　已知m,n是两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,有下列四个 命题:①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;②若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确命题的序号是　　　    .解题导引     
解析　对于①,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条 直线未必垂直,因此①不正确.对于②,依据结论“由空间一点向一个二 面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线,这两条垂线的夹角与这 个二面角的平面角相等或互补”可知②正确.对于③,分别与两条平行 直线平行的两个平面未必平行,因此③不正确.对于④,由n∥β得在平面β 内必存在直线n1平行于直线n;由m⊥α,α∥β得m⊥β,则m⊥n1;又n1∥n,因 此有m⊥n,④正确.综上所述,所有正确命题的序号是②④.
答案　②④方法点拨　在解决此类问题时,可借助特殊几何体,如正方体、正三棱 锥等来帮助思考.
例2　如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直 线G1G2与BC的位置关系是 (　　) A.相交　    B.平行　    C.异面　    D.以上都有可能   
方法2  异面直线所成角的求法1.几何法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤:2.向量法求异面直线所成角建立空间直角坐标系后,确定两异面直线各自的方向向量a,b,则两异面
直线所成角θ满足cs θ= .
例3　已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M、N分 别是BC、AD的中点,则异面直线AB与MN所成角的大小为　　　    .解题导引