2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：5.2　平面向量数量积与应用 【KS5U 高考】

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 3.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=⑤　|a|·cs θ    .(2)当a与b同向时,⑥    a·b=|a||b|    ;当a与b反向时,⑦    a·b=-|a||b|    .
特别地,a·a=⑧　|a|2    .(3)|a·b|≤|a|·|b|.
考向    平面向量数量积的运算
例　如图,在正方形ABCD中,AD=4,E为DC上一点,且 =3 ,则 · =　　　    . 
考点二  平面向量数量积的应用
考向基础1.向量数量积的应用已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)求解夹角问题,常利用夹角公式:cs θ= = (其中 θ为a与b的夹角).(3)求线段长度问题,常利用向量的长度公式:|a|= = 或| |=  .
2.向量中常用的结论在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P为△ABC的内心.(2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心.(3) + + =0⇔G为△ABC的重心.(4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心.
考向一    求向量的模
例1    (2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的最大值是　　　    .
 = = ,其中sin φ= ,cs φ= .显然当sin(α+φ)=1时,| + + |取得最大值 = +1.解法二: + + = + + + ,设a= + + =(2, ),则|a|= , + + =a+ ,则| + + |=|a+ |≤|a|+| |= +1,
当a与 同向时,| + + |取得最大值 +1.
考向二    求向量的夹角
例2　(1)(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D.π(2)(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是　　　    .
解析　(1)∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a |·|b|·cs-2|b|2=0.又∵|a|= |b|,∴ |b|2- |b|2·cs-2|b|2=0.∴cs= .∵∈[0,π],∴= .选A.(2)由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 e1-e2=( ,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cs 60°= = = ,所以 -λ= ,解得λ= .
考向三  向量垂直的条件
例3　已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则 等于 (　　)A.- 　    B.1　    C.2　    D. 
方法1  求平面向量的模的方法1.把几何图形放到适当的坐标系中,写出有关向量的坐标,求向量的模. 如若向量a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|= 即可.2.当向量的坐标无法表示时,利用向量的线性运算和向量的数量积公式 进行求解,关键是会把向量a的模进行如下转化:|a|= .
例1　平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于 (　　)A.13+6 　    B.2 　    C. 　    D. 解题导引     
方法2  求平面向量的夹角的方法1.定义法:利用向量数量积的定义知,cs θ= ,其中两个向量的夹角θ∈[0,π],求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系.2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a,b的夹角,则cs θ= .3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定 理和三角形的面积公式等内容进行求解.
例2    (2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与 b的夹角为 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D. 解题导引     
方法3  用向量法解决平面几何问题的方法1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:①建立平面几何与向量的联 系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的 问题;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ③把运算结果转化成几何关系.2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐 标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂 的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.