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2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 【KS5U 高考】
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这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 【KS5U 高考】，共17页。PPT课件主要包含了方法技巧等内容，欢迎下载使用。
2.平面向量的线性运算
考向 向量的线性运算
例 已知平行四边形ABCD中,点E,F满足 =2 , =3 ,则 ( )A. = - B. =- + C. = - D. =- +
考点二 向量共线问题
考向基础 向量共线的判断:若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实数λ, 使得① b=λa ;若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的 实数λ、μ,使② λa+μb=0 .
拓展延伸1.若 + =2 ,则D为BC的中点,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条 件是 =α +β ,且α+β=1,α,β∈R.特别地,当α=β= 时,C为线段AB的中点.
考向 向量共线的判定与性质
例 已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则 + 的最小值是 ( )A.24 B.8 C. D.
考点三 平面向量基本定理
考向基础 平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个① 不共线 向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,② 有且只有 一对实数λ1,λ2,使 a=③ λ1e1+λ2e2 .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组④ 基底 .温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
考向 平面向量基本定理的应用
例 如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与 BN相交于点P,则 = .
解析 设 =a, =b,∵A、P、M,B、P、N分别共线,∴存在唯一实数λ、 μ,使得 =λ , =μ .又M为BC的中点,∴ = λ(a+b).又 = + = +μ = +μ( - )= +μ =(1-μ)a+ μb.根据平面向量基本定理得解得λ= ,μ= .∴ = , = .
∴| |∶| |=4∶1,即 =4.
考点四 平面向量的坐标运算
考向基础1.加法、减法、数乘运算
2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔④ x1y2-x2y1=0 .
考向 平面向量的坐标表示与运算
例 已知点C(1,-1)、D(2,x),若向量a=(x,2)与 的方向相反,则|a|= ( )A.1 B.2 C.2 D.
方法1 平面向量的线性运算技巧1.解题的关键在于弄清构成三角形三个向量间的相互关系,能熟练地找 出图形中的相等向量,能熟练地运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位 置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.3.适当选择基底是解题关键.
例1 在△ABC中, = ,若P是直线BN上的一点,且满足 =m + ,则实数m的值为 ( )A.-4 B.-1 C.1 D.4
方法2 向量共线问题的解决方法1.两非零向量共线是指存在实数λ使两向量可以互相表示.2.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才 能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.
例2 已知向量i,j不共线,且 =i+mj, =ni+j,m≠1,若A,B,D三点共线,则实数m,n应满足的条件是 ( )A.m+n=1 B.m+n=-1 C.mn=1 D.mn=-1解题导引
解析 因为A、B、D三点共线,所以 ∥ ,即存在非零实数λ,使得 =λ ,即i+mj=λ(ni+j),所以(1-λn)i+(m-λ)j=0,又因为i与j不共线,所以 则mn=1,故选C.
方法3 平面向量的坐标运算的解题策略1.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标 来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化 为数量运算问题.2.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐 标,解题过程中注意方程思想的应用.
2.平面向量的线性运算
考向 向量的线性运算
例 已知平行四边形ABCD中,点E,F满足 =2 , =3 ,则 ( )A. = - B. =- + C. = - D. =- +
考点二 向量共线问题
考向基础 向量共线的判断:若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实数λ, 使得① b=λa ;若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的 实数λ、μ,使② λa+μb=0 .
拓展延伸1.若 + =2 ,则D为BC的中点,反之也成立.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条 件是 =α +β ,且α+β=1,α,β∈R.特别地,当α=β= 时,C为线段AB的中点.
考向 向量共线的判定与性质
例 已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则 + 的最小值是 ( )A.24 B.8 C. D.
考点三 平面向量基本定理
考向基础 平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个① 不共线 向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,② 有且只有 一对实数λ1,λ2,使 a=③ λ1e1+λ2e2 .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组④ 基底 .温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
考向 平面向量基本定理的应用
例 如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与 BN相交于点P,则 = .
解析 设 =a, =b,∵A、P、M,B、P、N分别共线,∴存在唯一实数λ、 μ,使得 =λ , =μ .又M为BC的中点,∴ = λ(a+b).又 = + = +μ = +μ( - )= +μ =(1-μ)a+ μb.根据平面向量基本定理得解得λ= ,μ= .∴ = , = .
∴| |∶| |=4∶1,即 =4.
考点四 平面向量的坐标运算
考向基础1.加法、减法、数乘运算
2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔④ x1y2-x2y1=0 .
考向 平面向量的坐标表示与运算
例 已知点C(1,-1)、D(2,x),若向量a=(x,2)与 的方向相反,则|a|= ( )A.1 B.2 C.2 D.
方法1 平面向量的线性运算技巧1.解题的关键在于弄清构成三角形三个向量间的相互关系,能熟练地找 出图形中的相等向量,能熟练地运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位 置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.3.适当选择基底是解题关键.
例1 在△ABC中, = ,若P是直线BN上的一点,且满足 =m + ,则实数m的值为 ( )A.-4 B.-1 C.1 D.4
方法2 向量共线问题的解决方法1.两非零向量共线是指存在实数λ使两向量可以互相表示.2.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才 能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.
例2 已知向量i,j不共线,且 =i+mj, =ni+j,m≠1,若A,B,D三点共线,则实数m,n应满足的条件是 ( )A.m+n=1 B.m+n=-1 C.mn=1 D.mn=-1解题导引
解析 因为A、B、D三点共线,所以 ∥ ,即存在非零实数λ,使得 =λ ,即i+mj=λ(ni+j),所以(1-λn)i+(m-λ)j=0,又因为i与j不共线,所以 则mn=1,故选C.
方法3 平面向量的坐标运算的解题策略1.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标 来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化 为数量运算问题.2.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐 标,解题过程中注意方程思想的应用.
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