2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 【KS5U 高考】

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为离散型随机变量X的概率分布列,简称X的分布列,具有性质:(i)pi≥0,i=1,2,…,n;(ii)p1+p2+…+pi+…+pn=1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值 的概率之和.2.两点分布如果随机变量X的分布列为
其中0为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布.
考向    离散型随机变量的分布列的概念
例    (2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年 后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件 作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理 了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件 数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中 选其一,应选用哪个?
解析　(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换 的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04. (4分)所以X的分布列为
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19. (8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3 ×500)×0.04=4 040. (10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应 选n=19. (12分)思路分析　(1)确定X的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列.
(2)根据(1)中求得的概率可得P(X≤18)以及P(X≤19)的值,由此即可确 定n的最小值.(3)求出n=19,n=20时的期望值,比较大小即可作出决策.
考点二  离散型随机变量的均值与方差
考向基础1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值称EX=①    x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn    为随机变量X的均值或数学期望, 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差称DX=②     (xi-EX)2pi    为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其 均值EX的平均偏离程度,其算术平方根 为随机变量X的标准差,记作σX.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=③    aEX+b    (a,b为实数).(2)D(aX+b)=④    a2DX    (a,b为实数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则EX=p,DX=⑤    p(1-p)    .(2)若X~B(n,p),则EX=np,DX=⑥    np(1-p)    .
知识拓展1.随机变量的本质(1)所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对应关系,这与函数 概念本质上是相同的,只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x, 而在随机变量的概念中,随机变量X的自变量是试验结果.(2)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么 值,即具有随机性;其二,在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值, 即存在统计规律性.2.离散型随机变量的分布列的作用对于随机变量X的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时 的概率,对于离散型随机变量,它的分布列正是指出了随机变量X的取值
范围以及取这些值的概率.
3.对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.(2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的, 而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.(3)公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn直接给出了EX的求法,即随机变量的取值 与相应的概率值分别相乘后相加.由此可知,求随机变量的数学期望的 关键在于写出它的分布列.4.方差的意义DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度.DX越大,表明平均偏离程度越 大,说明X的取值越分散;DX越小,说明X的取值越集中.由方差定义知,方
差是建立在期望这一概念之上的.在EX附近,统计中常用 来描述X的分散程度.
方法1  离散型随机变量分布列的求法1.求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行: 
2.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率, 在求解时,要注意应用计数原理、排列组合及常见概率模型.
例1    (2013北京,16,13分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋 势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200 表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该 市,并停留2天. 
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
解析　设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题 意,P(Ai)= ,且Ai∩Aj=⌀(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.所以P(B)=P (A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= .(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= .
　　故X的期望EX=0× +1× +2× = .(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.思路分析    (1)由此人到达日期的随机性得到每日到达的概率均相等, 找出符合要求的所有可能,利用概率的加法公式求出概率;(2)利用概率 的有关知识,求出X分别取0,1,2时的概率,从而得出分布列和期望;(3)根 据图形的上下波动情况判断方差.
方法2    求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法 
注意:(1)解决实际应用问题时,关键是正确理解随机变量取每一个值时 所表示的具体事件;(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水 平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画 了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较 均值,若均值相同,再用方差来决定.
例2　2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕,中国以1金6银 2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某 班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满 意”和“不满意”两种),按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11 人,具体的调查结果如下表:
(1)若该班女生人数比男生人数多4人,求该班男生人数和女生人数;(2)在该班全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持 满意态度的概率;(3)若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的2人中对 “本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其 数学期望.
解析　(1)不妨设该班女生人数为X,男生人数为Y,则X-Y=4,①又由分层抽样可知, = ,②联立①②可得X=24,Y=20.故该班男生人数为20,女生人数为24.(2)设该生持满意态度为事件A,则基本事件的总数有11种,事件A中包含 的基本事件有6种,所以P(A)= .(3)ξ的可能取值为0,1,2,ξ=0对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人,2人中恰好有0人持满 意态度,基本事件的总数有 =55种,其中包含的基本事件有 =10种,所以P(ξ=0)= = ,