2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：4.3　三角函数的图象与性质 Word版含解析【KS5U 高考】

这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：4.3　三角函数的图象与性质 Word版含解析【KS5U 高考】，共16页。
【考情探究】
分析解读 通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数化为一个角的函数形式,再利用整体换元的思想通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点.本节重点考查三角恒等变换及数形结合能力,在高考备考复习中应给予重视.
破考点
【考点集训】
考点一 三角函数的性质及其应用
1.函数y=3sin2x+π4的图象相邻的两条对称轴之间的距离是( )
A.2π B.π C.π2 D.π4
答案 C
2.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cs x-34x∈0,π2的最大值是 .
答案 1
3.已知函数f(x)=2cs x(sin x+cs x)-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.
解析 (1)f(x)=2sin xcs x+2cs2x-1=sin 2x+cs 2x
=2sin2x+π4.
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),
得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z).
当x∈[0,π]时,单调递增区间为0,π8和5π8,π.
思路分析 (1)根据二倍角公式、两角和的正弦公式将原式化简,得到f(x)=2sin2x+π4,根据周期公式得到T=2π2=π;(2)由题意得到-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),从而得到单调增区间,再与[0,π]取交集.
考点二 三角函数的图象及其变换
4.将函数y=3sin2x+π3的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间π12,7π12上单调递减
B.在区间π12,7π12上单调递增 C.在区间-π6,π3上单调递减
D.在区间-π6,π3上单调递增
答案 B
5.如图,已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,-π0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为( )
A.π2 B.2π3 C.π D.2π
答案 C
4.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sin ωx+cs ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
答案 π2
5.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsinπ2-xcsx-π3-3.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.
解析 (1)f(x)的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z.
f(x)=4tan xcs xcsx-π3-3
=4sin xcsx-π3-3
=4sin x12csx+32sinx-3
=2sin xcs x+23sin2x-3
=sin 2x+3(1-cs 2x)-3
=sin 2x-3cs 2x=2sin2x-π3.
所以, f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)令z=2x-π3,易知函数y=2sin z的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.
由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.
设A=-π4,π4,B=x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.
所以,当x∈-π4,π4时, f(x)在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减.
考点二 三角函数的图象及其变换
(2018天津,6,5分)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间3π4,5π4上单调递增
B.在区间3π4,π上单调递减 C.在区间5π4,3π2上单调递增
D.在区间3π2,2π上单调递减
答案 A
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 三角函数的性质及其应用
1.(2017课标Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=csx+π3,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π6
D.f(x)在π2,π单调递减
答案 D
2.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
答案 B
3.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2) C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)
答案 A
4.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)-π20可知,当k=1时,θ取得最小值π6.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.(2019届天津一中1月月考,3)若由函数y=sin2x+π2的图象变换得到y=sinx2+π3的图象,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin2x+π2图象上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,可以把所得图象沿x轴( )
A.向右平移π3个单位长度
B.向右平移5π12个单位长度 C.向左平移π3个单位长度
D.向左平移5π12个单位长度
答案 A
2.(2019届天津耀华中学统练(2),5)将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移π6个单位长度后得到图象F',若图象F'的一个对称中心为π4,0,则φ的一个可能取值是( )
A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π12
答案 D
3.(2019届天津新华中学期中,7)已知函数f(x)=sinπ3-ωx(ω>0)的图象向左平移半个周期后得到g(x)的图象,若g(x)在[0,π]上的值域为-32,1,则ω的取值范围是( )
A.16,1 B.23,32 C.13,76 D.56,53
答案 D
4.(2018天津和平三模,6)将函数f(x)=3cs 2x-sin 2x(x∈R)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
答案 A
5.(2018天津九校联考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|0,函数y=2csωx+π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y=2sinωx+π5的图象重合,则ω的最小值是( )
A.12 B.32 C.52 D.72
答案 C
7.(2018天津南开一模,5)若函数y=cs 2x与函数y=sin(2x+φ)在0,π4上的单调性相同,则φ的一个值为( )
A.π6 B.π4 C.3π4 D.3π2
答案 C
8.(2018天津河西二模,7)已知函数f(x)=3sin ωx+cs ωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,关于函数g(x),现有如下命题:
①在π4,π2上是增函数;②其图象关于点-π4,0对称;③函数g(x)是奇函数;④当x∈π6,2π3时,函数g(x)的值域是[-2,1].
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
9.(2018天津红桥二模,6)设函数f(x)=sin ωx+cs ωx(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移π8个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则( )
A.g(x)在0,π2上单调递增
B.g(x)在π4,34π上单调递减 C.g(x)在0,π2上单调递减
D.g(x)在π4,34π上单调递增
答案 C
10.(2018天津耀华中学第二次月考,7)已知函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0),若在区间(0,π)上有三个不同的x使得f(x)=1,则ω的取值范围是( )
A.52,236 B.52,236 C.32,196 D.32,196
答案 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
11.(2019届天津耀华中学月考,12)若将函数f(x)=sin 2x+cs 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 .
答案 3π8
12.(2017天津河东二模,13)已知ω>0,在函数y=sin ωx与y=cs ωx的图象的交点中,距离最近的两个交点间的距离为3,则ω的值为 .
答案 π
三、解答题(共35分)
13.(2019届天津南开中学开学考试,14)已知函数f(x)=23sinax-π4csax-π4+2cs2ax-π4(a>0),且函数的最小正周期为π2.
(1)求a的值;
(2)求f(x)在0,π4上的最大值和最小值.
解析 (1)因为f(x)=23sinax-π4csax-π4+2cs2ax-π4=3sin2ax-π2+cs2ax-π2+1
=2sin2ax-π2+π6+1=2sin2ax-π3+1,
又f(x)的最小正周期为π2,
所以T=2π2a=π2,
解得a=2.
(2)由(1)可知f(x)=2sin4x-π3+1,
令-π2+2kπ≤4x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2,k∈Z,所以当-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2,k∈Z时, f(x)单调递增,
设A=0,π4,B=x-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2,k∈Z,易知A∩B=0,5π24,当x∈0,π4时, f(x)在区间0,5π24上单调递增,在区间5π24,π4上单调递减,
且f(0)=-3+1, f5π24=3, fπ4=3+1,所以,在0,π4上, f(x)的最大值是3,最小值是-3+1.
思路分析 本题主要考查两角和与差公式和倍角公式与半角公式.
(1)根据正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式及正弦函数的和差公式将f(x)化简为f(x)=2sin2ax-π3+1,由于f(x)的最小正周期为π2,根据周期公式T=2πω,即可解出a.
(2)首先求出函数f(x)的单调区间,进而计算闭区间端点处函数值及极值,即可求解函数最值.
14.(2018天津一中4月月考,15)已知函数f(x)=sin x·csx+π6,x∈R.
(1)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间;
(2)若f(α)=-512,且0