2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：4.3　三角函数的图象与性质 【KS5U 高考】

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2.求三角函数最值的常见函数形式(1)y=asin x+bcs x=      sin(x+φ)    ,其中cs φ= ,sin φ .(2)y=asin2x+bsin xcs x+cs2x+c y=Asin 2x+Bcs 2x+C=      ·sin(2x+φ)    ,其中tan φ= ,再利用有界性处理.(3)y=asin2x+bcs x+c可转化为关于     cs x    的二次函数式.(4)y=asin x+ (a,b,c>0),令sin x=t,则转化为求     y=at+     (-1≤t≤1,且t≠0)的最值,一般可结合图象求解.
(5)y=a(sin x+cs x)+bsin x·cs x+c型常用换元法,令t=     sin x+cs x    ,|t|≤ ,则sin xcs x= ,把三角问题转化为代数问题求解.
考向    三角函数性质的应用
例　已知函数f(x)=sin (ω>0)的最小正周期为4π,则 (　　)A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x= 对称C.函数f(x)图象上的所有点向右平移 个单位长度后,所得的图象关于原点对称D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增
解析　∵T= =4π,∴ω= ,∴f(x)=sin .A选项,令 + =kπ,k∈Z,则x=- +2kπ,k∈Z,故函数f(x)=sin 的对称中心为 ,k∈Z,不包括原点,所以A错.B选项,令 + = +kπ,k∈Z,则x= +2kπ,k∈Z,故函数f(x)的对称轴为x= +2kπ,k∈Z,不包括直线x= ,所以B错.C选项,平移后所得函数g(x)=sin =sin 的图象关于原点对称,所以C正确.
所以函数f(x)=sin 的单调递增区间为 (k∈Z),不包括(0,π),所以D错误.
D选项,令- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z,则- +4kπ≤x≤ +4kπ,k∈Z,
考点二  三角函数的图象及其变换
考向基础1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)一个周期内的简图
 上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ| 个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω>0)个单
2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.
考向一    根据图象求三角函数解析式
例1　函数f(x)=2sin(ωx+φ) 的图象如图所示,则ω=　　        ,φ=　　　    . 
解析　由题图可知T=3,∵T= ,∴|ω|= .又∵ω>0,∴ω= .又∵f(0)=1,∴1=2sin ,∴sin φ= ,∴φ=2kπ+ 或φ=2kπ+ (k∈Z),∵|φ|< ,∴φ= .
例2　将函数f(x)=sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=sin(ωx+φ)的图象,则ω=　　　    ,φ=　　        .
考向二    三角函数图象的变换
方法1  根据函数图象确定函数解析式求函数y=Asin(ωx+φ)+B解析式的方法与步骤:(1)求A、B,确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,B= .(2)ω由周期得到,ω= ,确定周期时可利用以下结论:①函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为函数的半个周期;②函数图象的相邻两个对称中心间的距离也为函数的半个周期;③一条对称轴和与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 个周期
(借助图象很好理解、记忆).(3)利用峰点、谷点或零点列出关于φ的方程,结合φ的范围解得φ的值, 所列方程如下:峰点:ωx+φ= +2kπ;谷点:ωx+φ=- +2kπ.利用零点时,要区分该零点是升零点,还是降零点.升零点(图象上升时与x轴的交点):ωx+φ=2kπ;降零点(图象下降时与x轴的交点):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1    (2016课标Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　　) A.y=2sin 　    B.y=2sin C.y=2sin 　    D.y=2sin 
方法2  三角函数性质问题的求解方法1.周期性:求三角函数的最小正周期时,一般地,先经过恒等变换把三角 函数化为“y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acs(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)” 的形式,再利用周期公式求解即可.2.奇偶性:判断函数的奇偶性,应先判断函数定义域的对称性,注意偶函 数的和、差、积、商仍是偶函数;复合函数在复合过程中,对每个函数 (为奇函数或偶函数)而言,只要有一个是偶函数,则复合函数就是偶函 数,若都是奇函数,则复合函数为奇函数.3.单调性:三角函数单调区间的确定,一般先将三角函数式化为基本三角 函数的标准式,然后通过变形或利用数形结合的方法求解.对于复合函 数单调性的确定,应明确,由两个函数复合而成时,同增或同减则为增,一
增一减则为减,即“同增异减”.4.图象的对称性:判断函数f(x)=Asin(ωx+φ)(或g(x)=Acs(ωx+φ))(A>0,ω> 0)的图象对称性的方法,当x=x0时, f(x)(或g(x))取到最值,则f(x)(或g(x))的 图象关于直线x=x0轴对称;若f(x0)=0(或g(x0)=0),则f(x)(或g(x))的图象关于 点(x0,0)中心对称.
例2　若函数f(x)=sin 的图象向左平移 个单位后,得到y=g(x)的图象,则下列说法错误的是 (　　)A.y=g(x)的最小正周期为πB.y=g(x)的图象关于直线x= 对称C.y=g(x)在 上单调递增D.y=g(x)的图象关于点 对称