2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：7.1　不等式及其解法 Word版含解析【KS5U 高考】

专题七　不等式

【真题典例】

7.1　不等式及其解法

挖命题

【考情探究】

分析解读　　不等式的性质是高考常考内容,单独命题较少,常与其他知识综合在一起考查,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件是正确应用性质的前提.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.

不等式的解法是每年的必考内容,特别是求函数定义域的问题,其实质就是求解不等式(组).应特别注意以下三类问题:1.分式不等式常转化为整式不等式(组),利用一元二次不等式的解法或函数的单调性求解;2.以不等式恒成立为背景求参数的取值范围,一般是将参数分离出来转化为函数的最值问题来求解;3.与三角函数、解析几何、数列等知识结合起来,可以类比函数的单调性或转化为函数的单调性问题来求解.

本节内容在高考中分值为5分左右,属中档偏易题.

破考点

【考点集训】

考点一　不等式的概念和性质

1.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.a+b>0　　　　B.>　　　　C.ab<b2　　　　D.a3-b3<0

答案　D　

2.(2013北京,2,5分)设a,b,c∈R,且a>b,则(　　)

A.ac>bc　　　　B.<　　　　C.a2>b2　　　　D.a3>b3

答案　D　

考点二　不等式的解法

3.若集合A={x|-3<x<3},B={x|(x+4)(x-2)>0},则A∩B=(　　)

A.{x|-3<x<2}　　　　B.{x|2<x<3}　　　　C.{x|-3<x<-2}　　　　D.{x|x<-4或x>-3}

答案　B　

4.已知集合A={x|2x-1>1},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=　　　　　　　　. 

答案　{x|1<x<2}

炼技法

【方法集训】

方法1　不等式性质的应用问题及其解法

1.若<<0,则下列结论正确的是(　　)

A.a2>b2　　　　B.1>>　　　　C.+<2　　　　D.aeb>bea

答案　D　

2.已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.a2-b2>0　　　　B.cos a-cos b>0　　　　C.-<0　　　　D.e-a-e-b<0

答案　D　

方法2　比较实数大小的常用方法

3.(2017山东,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(　　)

A.a+<<log2(a+b)　　　　B.<log2(a+b)<a+

C.a+<log2(a+b)<　　　　D.log2(a+b)<a+<

答案　B　

4.已知x>y>0,则(　　)

A.>　　　　B.>　　　　C.cos x>cos y　　　　D.ln(x+1)>ln(y+1)

答案　D　

方法3　一元二次不等式恒成立问题的解法

5.不等式ax2-x+a>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案　

6.已知不等式mx2-2x-m+1<0.

(1)是否存在实数m对所有的实数x,不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由;

(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.

解析　(1)不存在.理由如下:

不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,

即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.

当m=0时,原不等式可化为1-2x<0,则x>,不满足题意;

当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,

需满足其图象开口向下且与x轴无交点,

即易知无解.

综上可知,不存在满足题意的实数m.

(2)从形式上看,原不等式是一个关于x的一元二次不等式,可以换个角度,把它看成关于m的一元一次不等式,并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围.

设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),

要满足题意,只需

即

解①得x<或x>,解②得<x<.

∴<x<.

∴x的取值范围为.

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

考点一　不等式的概念和性质

　(2014天津,7,5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分又不必要条件

答案　C　

考点二　不等式的解法

　(2015天津,4,5分)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件　　　　

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A　

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　不等式的概念和性质

1.(2018课标Ⅲ,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)

A.a+b<ab<0　　　　B.ab<a+b<0　　　　C.a+b<0<ab　　　　D.ab<0<a+b

答案　B　

2.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有(　　)

A.>　　　　B.<　　　　C.>　　　　D.<

答案　D　

3.(2014山东,5,5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(　　)

A.>　　　　B.ln(x2+1)>ln(y2+1)　　　　C.sin x>sin y　　　　D.x3>y3

答案　D　

考点二　不等式的解法

1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是(　　)

A.(-∞,4)　　　　B.(-∞,1)　　　　C.(1,4)　　　　D.(1,5)

答案　A　

2.(2015广东文,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.(用区间表示) 

答案　(-4,1)

C组　教师专用题组

考点一　不等式的概念和性质

1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.(　　)

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100　　　　C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100

答案　D　

2.(2014课标Ⅰ,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:

p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,

p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,

p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.

其中的真命题是(　　)

A.p2,p3　　　　B.p1,p2　　　　C.p1,p4　　　　D.p1,p3

答案　B　

3.(2013陕西,10,5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(　　)

A.[-x]=-[x]　　　　B.[2x]=2[x]　　　　C.[x+y]≤[x]+[y]　　　　D.[x-y]≤[x]-[y]

答案　D　

考点二　不等式的解法

1.(2013广东,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为　　　　. 

答案　{x|-2<x<1}

2.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时, f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为　　　　　　　　. 

答案　(-5,0)∪(5,+∞)

3.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时, f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是　　　　. 

答案　(-7,3)

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共50分)

1.(2018天津和平一模,5)设x∈R,则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-2≤x≤3”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　D　

2.(2018天津河东二模,4)设x∈R,则“|x|-1>2x”是“≤0”的(　　)

A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　A　

3.(2019届天津新华中学期中,4)对于实数a>0,“<a”是“x>”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　B　

4.(2018天津实验中学热身训练,4)命题p:|x+2|>2,命题q:>1,则¬q是¬p成立的(　　)

A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　B　

5.(2018天津一中3月月考,1)已知集合A=,B=,则A∩(∁RB)=(　　)

A.⌀　　　　B.　　　　C.　　　　D.(-1,1]

答案　B　

6.(2018天津南开三模,3)命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A.a≥4　　　　B.a≤4　　　　C.a≥5　　　　D.a≤5

答案　C　

7.(2017天津河北二模,5)已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且¬p是¬q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)

A.a≤1　　　　B.a≤-3　　　　C.a≥-1　　　　D.a≥1

答案　D　

8.(2017天津和平三模,5)若不等式|x-1|+|x+m|≤4的解集非空,则实数m的取值范围是(　　)

A.[-5,-3]　　　　B.[-3,5]　　　　C.[-5,3]　　　　D.[3,5]

答案　C　

9.(2017天津河西三模,6)若存在实数x,使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-2,1]　　　　B.[-2,2]　　　　C.[-2,3]　　　　D.[-2,4]

答案　D　

10.(2017天津耀华中学二模,7)设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为(　　)

A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16

答案　C　

二、填空题(每小题5分,共25分)

11.(2019届天津耀华中学第一次月考,9)若集合A={x|2x-1|<3},B=,则A∩B=　　　　. 

答案　

12.(2018天津河西三模,13)已知函数f(x)=(a∈R)的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

答案　(-∞,-2]∪[8,+∞)

13.(2017天津一中3月月考,14)若关于x的不等式|x|+|x-1|>|x-a|对∀x∈R恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

答案　(0,1)

14.(2018天津河东一模,13)设函数f(x)=x-对任意x∈[1,+∞), f(ax)+af(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案　(-∞,-1)

15.(2017天津一中5月月考,13)若不等式x2-2y2≤cx(y-x)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立,则实数c的最大值为　　　　. 

答案　2-4