2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 Word版含解析【KS5U 高考】

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11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.离散型随机变量及其分布列
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性
2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用
2018天津,16
2017天津,16
2016天津,16
2015天津,16
离散型随机变量的分布列与数学期望
古典概型、互斥事件的概率加法
★★★
2.离散型随机变量的均值与方差
理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题
2014天津,16
分析解读　　1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布的概念.
2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.
3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题的形式出现,分值约为13分,属于中高档题.
破考点
【考点集训】
考点一　离散型随机变量及其分布列
1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且
P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,
P(X=2)=C22C81C103=115.
综上知,X的分布列为
X
0
1
2
P
715
715
115
故E(X)=0×715+1×715+2×115=35(个).
2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):

除夕18时PM2.5浓度
初一2时PM2.5浓度
北京
75
647
天津
66
400
石家庄
89
375
廊坊
102
399
太原
46
115
上海
16
17
南京
35
44
杭州
131
39
(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;
(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析　(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为75+66+89+102+46+16+35+1318=70微克/立方米.
(2)8个城市中“禁止燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C40C43C83=114,
P(X=1)=C41C42C83=614,
P(X=2)=C42C41C83=614,
P(X=3)=C43C40C83=114.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
114
614
614
114
X的数学期望EX=0×114+1×614+2×614+3×114=2114=32.
考点二　离散型随机变量的均值与方差
3.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
35
310
110
则X的数学期望E(X)=(　　)
A.32　　　　B.2　　　　C.52　　　　D.3
答案　A　
4.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=15,E(ξ)=1,则D(ξ)=　　　　. 
答案　25
炼技法
【方法集训】
方法1　离散型随机变量分布列的求法
1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.
区间
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
人数
36
114
244
156
50
(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;
(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.
解析　(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则x20=244+156+50600,解得x=15.所以其中成绩为优秀的学生人数为15.
(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.
P(X=0)=C52C202=119,P(X=1)=C51C151C202=1538,P(X=2)=C152C202=2138.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
119
1538
2138
所以数学期望E(X)=0×119+1×1538+2×2138=32.
2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,
则P(A)=56×45×34=12.
(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.
P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56×45×1=23,
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
16
16
23
所以E(X)=1×16+2×16+3×23=52.
方法2　求离散型随机变量ξ的期望与方差的方法
3.(2018浙江,7,4分)设0