2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：7.2　基本不等式 Word版含解析【KS5U 高考】

7.2　基本不等式

挖命题

【考情探究】

分析解读　　1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则;2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点;3.不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.

破考点

【考点集训】

考点一　基本不等式的应用

1.“a>0”是“a+≥2”的(　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件　　　　C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案　C　

2.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为(　　)

A.8　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.2

答案　C　

3.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为　　　　. 

答案　3

考点二　不等式的综合应用

4.(2015山东文,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为　　　　. 

答案　

5.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,处理池中建一条与长边垂直的分隔墙壁,池的深度一定,池的四周墙壁建造单价为每米400元,分隔墙壁的建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计).

(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?

(2)如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低?

解析　(1)设污水处理池的长为x米,则宽为米,则总造价f(x)=400×+100×+60×200=800×+12 000≥1 600+12 000=36 000,当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立.故污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.

(2)记g(x)=x+.由已知得解得<x≤14.5,显然g(x)是减函数,所以当x=14.5时,g(x)取最小值,总造价f(x)取最小值.

故污水处理池的长设计为14.5米时,可使总造价最低.

炼技法

【方法集训】

方法　不等式与函数、方程、数列的综合问题

1.已知A,B是函数y=2x的图象上的不同的两点.若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)　　　　B.(-∞,-2)　　　　C.(-1,+∞)　　　　D.(-2,+∞)

答案　B　

2.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　. 

答案　8

3.已知点A(2,0),B(0,1),若点P(x,y)在线段AB上,则xy的最大值为　　　　. 

答案　

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

1.(2017天津文,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.[-2,2]　　　　D.

答案　A　

2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　. 

答案　

3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　. 

答案　4

4.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a=　　　　时,+取得最小值. 

答案　-2

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　基本不等式的应用

　(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.4

答案　C　

考点二　不等式的综合应用

1.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(　　)

A.6+2　　　　B.7+2　　　　C.6+4　　　　D.7+4

答案　D　

2.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是　　　　　(单位:元). 

答案　160

C组　教师专用题组

考点一　基本不等式的应用

1.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)

A.[0,2]　　　　B.[-2,0]　　　　C.[-2,+∞)　　　　D.(-∞,-2]

答案　D　

2.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为(　　)

A.0　　　　B.　　　　C.2　　　　D.

答案　C　

3.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为　　　　. 

答案　3

4.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是　　　　. 

答案　

5.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为　　　　. 

答案　-1

考点二　不等式的综合应用

　(2013山东文,16,4分)定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:

①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;

②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;

③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;

④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.

其中的真命题有　　　　.(写出所有真命题的编号) 

答案　①③④

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2019届天津耀华中学第二次月考,6)已知x>0,y>0且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.2

答案　D　

2.(2017天津河西二模,6)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为(　　)

A.+　　　　B.　　　　C.　　　　D.+2

答案　A　

3.(2018天津河西三模,7)已知正数a,b满足a+b=2,则+的最大值为(　　)

A.　　　　B.+1　　　　C.　　　　D.+1

答案　C　

4.(2018天津河北二模,7)若正数a,b满足:+=1,则+的最小值为(　　)

A.1　　　　B.6　　　　C.12　　　　D.16

答案　B　

5.(2018天津河东一模,8)设正实数a,b,c满足a2-3ab+4b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(　　)

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

答案　B　

二、填空题(每小题5分,共50分)

6.(2018天津和平一模,13)已知a>0,b>0,a+b=m,其中m为常数,则y=+的最小值为　　　　. 

答案　

7.(2017天津河东二模,12)若a>0,b>0且2a+b=4,则的最小值是　　　　. 

答案　

8.(2018天津河北一模,12)已知a>0,b>0,则的最小值为　　　　. 

答案　4

9.(2017天津南开三模,14)若a>0,b>0,且2a+b=1,则2-4a2-b2的最大值是　　　　. 

答案　

10.(2018天津十二区县一模,12)已知a>b>0,则2a++的最小值为　　　　. 

答案　2+2

11.(2018天津和平二模,13)已知ab>0,a+b=3,则+的最小值为　　　　. 

答案　

12.(2019届天津新华中学期中,13)已知正数x,y满足2x+y=1,则+的最小值为　　　　. 

答案　3+2

13.(2018天津十二区县二模,13)已知a>b,二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R,使a+4x0+b=0成立,则的最小值为　　　　. 

答案　4

14.(2018天津和平三模,13)已知a>2b>0,则a2++的最小值为　　　　. 

答案　4

15.(2017天津滨海新区统考,14)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线与AB,AC两边分别交于M、N两点,且=,=,则+的最小值为　　　　. 

答案　2