人教版九年级上册24.3 正多边形和圆课后复习题

这是一份人教版九年级上册24.3 正多边形和圆课后复习题，共14页。试卷主要包含了3正多边形和圆等内容，欢迎下载使用。

第二十四章 24.3正多边形和圆
一、单选题（共5题；共15分）
1.若一个正n边形的每个内角为 150° ，则这个正n边形是（ ）
A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形
2.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（ ）
A. 扩大了一倍 B. 扩大了两倍 C. 扩大了四倍 D. 没有变化
3.如图，正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O ，点 P 是劣弧 BC 上一点（点 P 不与点 C 重合），则 ∠CPD= （ ）
A. 45° B. 36° C. 35° D. 30°
4.正八边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 540° C. 1080° D. 720°
5.如图，点A,B,C在⊙O上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（ ）
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
二、填空题（共10题；共20分）
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P,如∠P=50°，则∠D的度数为________
7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为________.
8.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．
9.如图，为了拧开一个边长为a的正六边形六角形螺帽，扳手张开b=30mm时正好把螺帽嵌进，则螺帽的边长a最大为________ mm．
10.若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为 3 ，则等边△ABC的边长为________．
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为________.
12.如图，O是半圆的圆心，半径为4．C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．若∠COA=60°，则FG=________．

13.在圆的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：3：4，则∠D的度数是________°．
14.四边形ABCD内接于⊙O ， ∠A＝125°，则∠C的度数为________°．
15.已知一个正多边形有一个内角是120°，那么这个正多边形是正________边形．
三、解答题（共2题；共20分）
16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
17.如图， ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形．求证： AE∥BD .
四、综合题（共3题；共45分）
18.如图，△ABC内接于圆O，CD平分∠ACB交于圆O，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD.
（1）求证：PQ是圆O的切线；
（2）连接AD，求证： AD2=AC•BQ
19.在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ， AB=AC ，点 D 在边 BC 上， DE⊥DA 且 DE=DA ， AE 交边 BC 于点 F ，连接 CE ．
（1）如图（1），当 AD=AF 时，
①求证： BD=CF ；
②求 ∠ACE 的度数．
（2）如图，若 CD=8 ， DF=5 ，求 AE 的长．
20.如图，在 △ABC 中， AC=BC ∠ACB=90∘ ， ⊙O （圆心 O 在 △ABC 内部）经过B ． C两点，交AC于点D ， 交AB于点E，连结DE ．
（1）求证： △ADE 是等腰直角三角形；
（2）若点D恰好是 CE 的中点，且 CE=62 ，求 ⊙O 的半径和 BC 的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：由题意得， (n−2)×180°n=150° ，
解得， n=12 ，
故答案为：D．

【分析】根据正多边形的性质及多边形的内角和求解即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：设正n边形的边长为x，
则正n边形的每个中心角是 360°n ，
∴正n边形的半径是： x2sin180°n ，
∴正n边形的边长与半径之比是： xx2sin180°n =2sin 180°n ，
∴圆的半径扩大一倍，正n边形的边长与半径之比不变，
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出n边形的每一个内角的度数，从而可表示出n边形的边长和半径，即可求得它们的比.解答此题的关键求出正n边形的中心角.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接 OC ， OD ，
∵ABCDE 是正五边形，
∴∠COD=360°5=72° ，
∴∠CPD=12∠COD=36° ，
故答案为：B.
【分析】连接 OC ， OD .求出 ∠COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°.
故答案为：C.
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和.
5.【答案】 A
【解析】【解答】在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=130°，
∴∠D=180°-130°=50°．
∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOC=2∠D=100°．
故答案为：A．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，求出∠D的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，求出∠AOC的度数.
二、填空题
6.【答案】 110°
【解析】【解答】解：连接OC．如图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=50°，
∴∠COB=40°．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=70°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=110°．
故答案为：110°．
【分析】连接圆心和切点，利用切线的性质，由∠P=50°得出∠COB=40度，进而∠OBC=70度，最后圆内接四边形的性质对角互补得∠D=110°.
7.【答案】 30°
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180°−∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180°−2×60°＝60°，
∴∠P＝90°−∠DOC＝30°；
故答案为：30°.
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形对角互补得出∠ODC=60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝60°，求出∠DOC＝60°，由直角三角形的性质即可得出结果.
8.【答案】 3 3
【解析】【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM= 360°6×2 =30°，
∴OM=OB•cs∠BOM=6× 32 =3 3 ；
故答案为：3 3 ．
【分析】先根据圆内接正多边形性质得到∠BOM度数。再应用解直角三形进行解答即可得到结论.
9.【答案】 10 3
【解析】【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC= AMAB ，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= 12 AC，
∵AC=30mm，
∴a=AB= AMcs30∘ = 1532 =10 3 （mm）．
故答案为：10 3 ．
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
10.【答案】 3
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC= 13 ×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵⊙O的半径为 3 ，
∴OB= 3 ，
∴BD=OB•cs∠OBD= ×cs30°= 32 ，
∴BC=3．
∴等边△ABC的边长为3，
故答案为：3．
【分析】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．
11.【答案】 68°
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故答案是：68°.
【分析】根据三角形内心的性质得出∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，根据三角形的内角和定理，由∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）算出∠B的度数，进而根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角即可得出∠CDE＝∠B，从而得出答案.
12.【答案】
【解析】【解答】解：作GH⊥AB，连接EO．
∵EF⊥AB，EG⊥CO，
∴∠EFO=∠EGO=90°，
∴G、O、F、E四点共圆，
所以∠GFH=∠OEG，
又∵∠GHF=∠EGO，
∴△GHF∽△OGE，
∵CD⊥AB，GH⊥AB，
∵GH∥CD，
∴ EOFG = GOHG = COCD ，
又∵CO=EO，
∴CD=FG．
在Rt△CDO中，OC=4，∠COD=60º，
∴CD=sin60º·OC= 32 ×4=2 3 ，
∴FG=2 3 .
故答案为：2 3 .

【分析】作GH⊥AB，连接EO．根据对角是直角的四边形是圆内接四边形可得G、O、F、E四点共圆，由圆内接四边形的性质可得∠GFH=∠OEG，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△GHF∽△OGE，再根据平行线分线段成比例定理可得比例式EOFG = GOHG = COCD ，结合已知条件易得CD=FG．解Rt△CDO可求得CD的值，即为FG的值。
13.【答案】 90
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、3x、4x，
则2x+64=180°，
解得，x=30°，
则∠B=3x=90°，
∴∠D=180°﹣∠B=90°．
故答案是：90．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=∠B+∠D，设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、3x、4x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出x，计算即可．
14.【答案】 55
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O ，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝125°，
∴∠C＝55°，
故答案为：55．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．
15.【答案】 六
【解析】【解答】由题意可得：正多边形的一个外角是180°﹣120°=60°，
360°÷60°=6，
则这个多边形是六边形，
故答案为：六．
【分析】根据多边形的每一个内角与其相邻的外角互补得出这个正多边形的一个外角的度数，又正多边形的每一个外角都相等，且外角和是360°，用外角和的总度数除以一个外角的度数即可得出外角的个数，即多边形边的数量。
三、解答题
16.【答案】 解：∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°，
即∠BCD的度数是136°．
【解析】【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．
17.【答案】 证明：∵ ABCDE 是正五边形，
∴ ∠A=(5−2)⋅180∘5=108∘=∠ABC=∠C .
又∵ BC=CD ，
∴ ∠CBD=∠CDB=180∘−108∘2=36∘ ，
∴ ∠ABD=108∘−36∘=72∘ ，
∴ ∠A+∠ABD=108∘+72∘=180∘ ，
∴ AE∥BD .
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ∠A=108∘=∠ABC=∠C ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
四、综合题
18.【答案】 （1）证明：连接OD
∵CD平分∠ACB交于圆O，
∴∠ACD=∠BCD
∴ AD=BD
∴OD垂直平分AB
∵PQ∥AB
∴OD⊥PQ
∴PQ是圆O的切线；
（2）证明：连接AD、BD
由（1）知 AD=BD ，PQ是圆O的切线
∴AD=BD，∠BDQ=∠ACD
∵四边形ADBC为圆的内接四边形
∴∠DBQ=∠CAD
∴△DBQ∽△CAD
∴ BDAC=BQAD
∴ AD2=AC•BQ
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质和圆的基本性质可得 AD=BD ，然后根据垂径定理的推论可得OD垂直平分AB，从而证出OD⊥PQ，然后根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接AD、BD，由（1）的结论可得AD=BD，∠BDQ=∠ACD，然后根据圆的内接四边形的性质可得∠DBQ=∠CAD，从而证出△DBQ∽△CAD，列出比例式即可证出结论.
19.【答案】 （1）①证明：如图1中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠ADB=∠AFC，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF；
②结论：∠ACE=90°．
理由：如图1中，∵DA=DE，∠ADE=90°，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠AED=45°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ADE+∠ACE=180°，
∴∠ACE=90°；
（2）解：∵∠ADF=∠CDA，∠DAF=∠DCA=45°，
∴△DAF ~ △DCA，
∴ ADCD=DFAD ，
∴AD2=CD•DF=8×5=40，
∴AD=DE=2 10 ，
∴AE= AD2+AE2=80=45 ．
【解析】【分析】（1）①先求出 ∠ADF=∠AFD， 再求出 △ABD≌△ACF ，最后求解即可；
②先求出 ∠ACD=∠AED=45°， 再求出 ∠ADE+∠ACE=180°， 最后计算求解即可；
（2）先求出 △DAF ~ △DCA， 再求出 ADCD=DFAD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
20.【答案】 （1）证明：在 △ABC 中， AC=BC ， ∠ACB=90∘ ，
∴ ∠A=∠B=45∘
又∵四边形BCDE内接于 ⊙O ，
∴ ∠ADE=∠B=45∘ ，
∴ ∠AED=90∘ ，
∴ △ADE 是等腰直角三角形
（2）解：连接BD，OC，OE
∵ ∠B=45∘ ，
∴ ∠COE=90∘
∵ CE=62 ，
∴ ⊙O 的半径 OC=OE=22CE=6 ；
∵点D是 CE 的中点，
∴BD过圆心O，且 DE=DC ，易得： BE=BC
∵ ∠B=45∘
∴ ∠BEC=67.5∘
∴ ∠BOC=135∘ ，
∴ BC 的长为： lBC=135⋅π⋅6180=9π2 ．
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可求出∠A的度数，再利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，可求出∠AED=90°，由此可证得结论。
（2） 连接BD，OC，OE，利用圆周角定理可得△COE是等腰直角三角形，利用勾股定理求出OC，OE的长， 利用垂径定理可证得BD垂直平分CE，利用线段垂直平分线的性质可证得BE=BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠BEC的度数，利用圆周角定理就可求出∠BOC的度数；然后利用弧长公式可求出弧BC的长。