专题05一元二次方程（共50道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

这是一份专题05一元二次方程（共50道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】，共19页。
1．（2020•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23B．x1＝2+23，x2＝2﹣23
C．x1＝2+22，x2＝2﹣22D．x1＝23，x2＝﹣23
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±23，
解得：x1＝2+23，x2＝2﹣23．
故选：B．
2．（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
3．（2020•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
4．（2020•泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
5．（2020•黑龙江）已知2+3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（ ）
A．0B．1C．﹣3D．﹣1
【分析】把x＝2+3代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】根据题意，得
（2+3）2﹣4×（2+3）+m＝0，
解得m＝1；
故选：B．
6．（2020•河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：A．
7．（2020•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两个的积为﹣2﹣p2，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
8．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜14B．k≤14C．k＞4D．k≤14且k≠0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，
解得：k≤14．
故选：B．
9．（2020•鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
10．（2020•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1B．-14C．0D．1
【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：m＜-14，
故选：A．
11．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
12．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
13．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解析】A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
14．（2020•自贡）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（ ）
A．12B．-12C．1D．﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴a≠0△=(-2)2-4×a×2=0，
∴a=12．
故选：A．
15．（2020•滨州）对于任意实数k，关于x的方程12x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判定
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
【解析】12x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，
△＝[﹣（k+5）]2﹣4×12×（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，
不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，
即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
16．（2020•黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
17．（2020•衢州）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【解析】从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
18．（2020•铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解析】∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
19．（2020•遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5B．10C．11D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
20．（2020•湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解析】∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
21．（2020•新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2﹣x+14=0B．x2+2x+4＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣2x＝0
【分析】分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案．
【解析】A．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×14=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B．此方程判别式△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，方程没有实数根，不符合题意；
C．此方程判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，不符合题意；
D．此方程判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
22．（2020•遵义）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
23．（2020•黔西南州）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴m-1≠0△=22-4×1×(m-1)≥0，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
24．（2020•武威）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0
【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【解析】把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1，
故选：B．
二．填空题（共16小题）
25．（2020•咸宁）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是 n≥0 ．
【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围（利用偶次方的非负性也可以找出n的取值范围）．
【解析】原方程可变形为x2+4x+4﹣n＝0．
∵该方程有实数根，
∴△＝42﹣4×1×（4﹣n）≥0，
解得：n≥0．
故答案为：n≥0．
26．（2020•泰州）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为 ﹣3 ．
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1•x2的值．
【解析】∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2=ca=-3．
故答案为：﹣3．
27．（2020•北京）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解析】∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
28．（2020•枣庄）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
【解析】把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
29．（2020•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＜﹣1 ．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】由题意可知：△＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
30．（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞0且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
31．（2020•甘孜州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是 17 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝6，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为3，然后计算三角形的周长．
【解析】x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
若x＝2，即第三边为2，4+2＝6＜7，不能构成三角形，舍去；
当x＝6时，这个三角形周长为4+7+6＝17，
故答案为：17．
32．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解析】（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
33．（2020•上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 4 ．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．
【解析】依题意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
故答案为：4．
34．（2020•天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为 13 ．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
【解析】∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故答案为：13．
35．（2020•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是 2 ．
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解析】根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
36．（2020•德州）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 20 ．
【分析】解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣9x+20＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故答案为：20．
37．（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ﹣2 ．
【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．
【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，
∴x1•x2=ca=-2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
38．（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为 -13 ．
【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，解出方程的根即可．
【解析】把x＝﹣1代入原方程得，
（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，
解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），
当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，
解得，x1＝﹣1，x2=-13，
故答案为：-13．
39．（2020•成都）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m-32=0有实数根，则实数m的取值范围是 m≤72 ．
【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m-32=0有实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（m-32）＝16﹣8m+12≥0，
解得：m≤72，
故答案为：m≤72．
40．（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 10 个人．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程．
【解析】设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人．
三．解答题（共10小题）
41．（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解析】（1）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=32，x2＝1；
（2）3x-4＜5①2x-13＞x-22②
解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x＞﹣4．
则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．
42．（2020•广东）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同．实际就是方程组x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．
【解析】（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是程组x+y=4x-y=2的解，
解得，x=3y=1，代入原方程组得，a＝﹣43，b＝12；
（2）当a＝﹣43，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣43x+12＝0，
解得，x1＝x2＝23，
又∵（23）2+（23）2＝（26）2，
∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形．
43．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
44．（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解析】（1）∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2=-(2m+1)x1x2=m-2，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
45．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
46．（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3x1+3x2=x1x2﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解析】（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵3x1+3x2=x1x2﹣4，
∴3(x1+x2)x1x2=x1x2﹣4，
∴3×4k+1=k+1-4，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
47．（2020•南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2，x1x2＝k+2，结合1x1+1x2=k﹣2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
【解析】（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵1x1+1x2=k﹣2，
∴x1+x2x1x2=2k+2=k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1=-6，k2=6．
又∵k≤﹣1，
∴k=-6．
∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k﹣2成立，k值为-6．
48．（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意得到25+4a2+（﹣16﹣12a），根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到结论．
【解析】（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；
（2）这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；
∵（2a﹣3）2≥0，
∴这个和不能为负数．
49．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【解析】（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（12k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
50．（2020•重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加209a%．求a的值．
【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
根据题意得，y-x=10010×2.4(x+y)=21600，
解得：x=400y=500，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+209a%），
解得：a＝10，
答：a的值为10．