初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定精练

第3课时　三角形全等的判定(三)(ASA,AAS)

命题点 1　利用“ASA”判定两个三角形全等

1.在△ABC和△FED中,如果∠A=∠F,∠B=∠E,要使这两个三角形全等,还需要添加的条件可以是              (　　)

A.AB=DE    B.BC=EF    C.AB=FE    D.∠C=∠D

2.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,如,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是              (　　)

A.带①去   B.带②去   C.带③去   D.带①②③去

3.如,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.求证:△AEC≌△BED.

命题点 2　利用“AAS”判定两个三角形全等

4.如,∠1=∠2,∠3=∠4,OE=OF,AF,BE交于点C,则图中全等三角形有 (　　)

A.1对    B.2对    C.3对    D.4对

5.如,甲、乙、丙三个三角形中标出了某些条件,则与7中的△ABC全等的是 (　　)

A.甲和乙   B.乙和丙   C.只有乙   D.只有丙

6.如,已知AB=AD,∠C=∠E,∠1=∠2.

求证:△ABC≌△ADE.

7.如所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.

求证:D是BC的中点.

命题点 3　利用“SSA”不能判定两个三角形全等

8.如1,把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,将长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,固定住长木棍,摆动短木棍,短木棍的另一端落在射线BC上的点C,D的位置时,得到△ABD和△ABC,此时AB=AB,AC=AD,∠ABD=∠ABC,但是△ABD和                   

△ABC不全等,这说明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

9.阅读下题及其证明过程:

已知:如2,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE.求证:

∠BAE=∠CAE.(提示:三角形中相等的边所对的角相等,相等的角所对的边也相等)

证明:在△AEB和△AEC中,

∴△AEB≌△AEC.……第一步

∴∠BAE=∠CAE.……第二步

上面的证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程.

命题点 4　“ASA”和“AAS”在实际生活中的应用

10.如3,小强在河的一边,要测河面的一只船B与对岸码头A之间的距离,他的做法如下:

①在岸边确定一点C,使点C与A,B在同一直线上;

②在与AC垂直的方向画线段CD,取CD的中点O;

③画DF⊥CD,并使点F,O,A在同一直线上;

④在线段DF上找一点E,使点E与O,B共线.

他说测出线段EF的长就是船B与对岸码头A之间的距离.他这样做有道理吗?为什么?

11.如,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P,Q是边AC,BC上的两个动点,PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E,设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).

(1)如图①,若点P,Q分别从A,B两点同时出发,沿AC,BC向点C匀速运动,运动速度都为每秒1个单位长度,其中一点到达终点C后,另一点也随之停止运动,在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等?判断并说明理由.

(2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t为何值时,△APD和△QBE全等?

第4课时　三角形全等的判定(四)(HL)

命题点 1　用“HL”判定两个直角三角形全等

1.如,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到Rt△AOB≌Rt△COD,理由是(　　)

A.HL    B.SAS   C.ASA     D.SSS

2.如所示,已知∠C=∠D=90°,添加下列选项中的一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的是              (　　)

A.AC=AD    B.AB=AB   C.∠ABC=∠ABD   D.∠BAC=∠BAD

3.如7,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C,D,若要用“HL”得到

Rt△ABC≌Rt△BAD,则应添加的条件是　　　　.(写一个即可) 

4.如8,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.求证:AB∥CD.

命题点 2　两个直角三角形全等的判定

5.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 (　　)

A.两条直角边对应相等

B.两个锐角对应相等

C.一条直角边和它所对的锐角分别相等

D.一个锐角和与这个锐角相邻的直角边分别相等

6.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是              (　　)

A.AC=A'C',∠B=∠B'     B.∠A=∠A',∠B=∠B'

C.AB=A'B',AC=A'C'     D.AB=A'B',∠A=∠A'

7.求证:一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.

8.如,AC⊥BC于点C,AD⊥BD于点D,AD=BC,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,那么CE与DF相等吗?为什么?

9.如,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且DB=DF.

(1)求证:CF=EB;

(2)请你判断AE,AF与EB之间的数量关系,并说明理由.

0

命题点 3　判定两直角三角形全等在实际生活中的应用

10.工人师傅用三角尺按下列方法画角平分线:在∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再用两个全等的三角尺按1所示方式摆放,两直角边的交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.请你说明其中的道理.

11.小明、小敏两人一起做数学作业,小敏把题读到“如2①所示,CD⊥AB,BE⊥AC”时,还没把题读完,就说:“这题一定是求证∠B=∠C,也太容易了.”她的证法是:由CD⊥AB,

BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°,公共角∠DAC=∠EAB,所以△DAC≌△EAB.由全等三角形的对应角相等,得∠B=∠C.

小明说:“小敏你错了,你未弄清本题的条件和结论,即使有CD⊥AB,BE⊥AC,公共角∠DAC=

∠EAB这些条件,你的推理也是错误的.看我画的图②,显然△DAC与△EAB是不全等的.再说本题不是要证明∠B=∠C,而是要证明BE=CD.”

(1)根据小敏所读的题,能判定“∠B=∠C”吗?她的推理正确吗?若不正确,请你进行正确的推理;

(2)根据小明说的,要证明BE=CD,必然是小敏丢了题中条件,请你把小敏丢的条件找回来,并根据找出的条件,写出证明BE=CD的过程;

(3)要判定两个三角形全等,从这个问题中你得到了什么启发?

典题讲评与答案详析

1.C　[解析] 由于AB与DE,BC与EF均不是对应边,而AB与FE是对应边,所以只有添加AB=FE,才可利用“ASA”证明两个三角形全等.

2.C

3.证明:∵AE和BD相交于点O,

∴∠AOD=∠BOE.

又∵在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,

∴∠BEO=∠2.

又∵∠1=∠2,

∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.

在△AEC和△BED中,

∴△AEC≌△BED.

4.B　[解析] 在△OAF和△OBE中,

所以△OAF≌△OBE.所以OA=OB.所以AE=BF.

在△ECA和△FCB中,

所以△ECA≌△FCB.

5.B

6.证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.

在△ABC和△ADE中,

∴△ABC≌△ADE(AAS).

7.证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.

∵E为AD的中点,∴AE=DE.

在△AEF和△DEC中,

∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=DC.

又∵AF=BD,∴DC=BD,即D是BC的中点.

8.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

9.解:不正确,错在第一步.正确的证明过程如下:

∵在△BEC中,EB=EC,∴∠EBC=∠ECB.

又∵∠ABE=∠ACE,

∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.

在△AEB和△AEC中,

∴△AEB≌△AEC.∴∠BAE=∠CAE.

10.解:有道理.

理由:∵AC⊥CD,DF⊥CD,∴∠C=∠D=90°.

∵O为CD的中点,∴CO=DO.

在△ACO和△FDO中,

∴△ACO≌△FDO(ASA).

∴AO=FO,∠A=∠F.

在△ABO和△FEO中,

∴△ABO≌△FEO(ASA).∴AB=EF.

故测出EF的长就是船B与对岸码头A之间的距离.

11.解:(1)△APD和△QBE保持全等.

理由:∵PD⊥AB,QE⊥AB,

∴∠ADP=∠QEB=90°.

又∵∠C=90°,

∴∠A+∠APD=∠A+∠B=90°.

∴∠APD=∠B.

由题意可知AP=QB=t.

在△ADP与△QEB中,

∴△ADP≌△QEB.

(2)①当0<t<时,点P从点C向点A运动,则AP=AC-CP=8-3t,QB=t.若△ADP≌△QEB,则AP=QB,即8-3t=t,解得t=2.

②当≤t≤时,点P从点A向点C运动,则AP=3t-8,QB=t.若△ADP≌△QEB,则AP=QB,即3t-8=t,解得t=4.

综上所述,当t的值为2或4时,△APD和△QBE全等.

典题讲评与答案详析

1.A　2.A　

3.答案不唯一,如AC=BD或BC=AD

4.证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,

∴∠AEB=∠CFD=90°.

∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.

在Rt△AEB和Rt△CFD中,

∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL).∴∠B=∠D.

∴AB∥CD.

5.B

6.B　[解析] A.根据全等三角形的判定方法“AAS”可以判定△ABC≌△A'B'C',故本选项不符合题意;B.根据“AAA”不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C',故本选项符合题意;C.根据全等三角形的判定方法“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C',故本选项不符合题意;D.根据全等三角形的判定方法“AAS”可以判定△ABC≌△A'B'C',故本选项不符合题意.

7.解:已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E=90°,BC=EF,CM为△ABC的AB边上的中线,FN为△DEF的DE边上的中线,且CM=FN.

求证:△ABC≌△DEF.

证明:在Rt△BCM和Rt△EFN中,

∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL).

∴BM=EN.

∵CM为△ABC的AB边上的中线,FN为△DEF的DE边上的中线,

∴AB=DE.

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SAS).

即一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.

8.解:CE=DF.

理由:∵AC⊥BC,AD⊥BD,

∴∠ACB=∠BDA=90°.

在Rt△ABC和Rt△BAD中,

∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).

∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.

∵CE⊥AB,DF⊥AB,

∴∠CEA=∠DFB=90°.

在△ACE和△BDF中,

∴△ACE≌△BDF(AAS).

∴CE=DF.

9.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,

∴∠CAD=∠EAD.

∵DE⊥AB,

∴∠DEA=90°=∠C.

在△ACD和△AED中,

∴△ACD≌△AED.

∴DC=DE.

在Rt△DCF和Rt△DEB中,

∴Rt△DCF≌Rt△DEB.

∴CF=EB.

(2)AF+EB=AE.

理由:∵△ACD≌△AED,

∴AC=AE,

即AF+CF=AE.

又∵CF=EB,

∴AF+EB=AE.

10.解:由题意得∠OMP=∠ONP=90°.

在Rt△OPM和Rt△OPN中,

∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL).

∴∠POM=∠PON,即OP平分∠AOB.

11.解:(1)能判定∠B=∠C,小敏的推理不正确.

正确的推理:由CD⊥AB,BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°.∵公共角∠DAC=∠EAB,且∠B=90°-

∠EAB,∠C=90°-∠DAC,∴∠B=∠C.

(2)答案不唯一,如丢的条件为AB=AC.

证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,

∴∠ADC=∠AEB=90°.

在△DAC和△EAB中,

∴△DAC≌△EAB(AAS).∴BE=CD.

(3)要判定两个三角形全等,不可缺少的元素是边,已知条件中至少要有一组边对应相等.