人教版七年级下册5.1.2 垂线导学案及答案

第五章　相交线与平行线

5.1　相交线

5.1.2　垂线

【笔记】

1.垂线的定义:两条直线相交所成的角中,如果有一个是　　　　　时,称这两条直线互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线. 

2.垂线的性质:

性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

性质3:如图所示,当a⊥b时,　　　　　=　　　　　=　　　　　=　　　　　=90°. 

3.点到直线的距离:

直线外一点到这条直线的　　　　　　　叫点到直线的距离. 

【训练】

1.如图,直线AB,CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是 ( )

A.∠AOD=90°

B.∠AOC=∠BOC

C.∠BOC+∠BOD=180°

D.∠AOC+∠BOD=180°

第1题图       　　第2题图

2.(贺州中考)如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数是 ( )

A.35°   B.40°   C.45°   D.60°

3.如图所示,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠COE=55°,则∠BOD的度数是 ( )

A.40°      B.45°         第3题图

C.30°      D.35°

4.体育课上,老师测量跳远成绩的依据是 ( )

A.平行线间的距离相等  B.两点之间,线段最短

C.垂线段最短    D.两点确定一条直线

5.下列图形中,线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是 ( )

A. B. C. D.

6.(台州中考)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是 (              )

A.2.5    B.3

C.4     D.5          第6题图

7.如图,AC⊥BC,AB⊥BD,且AC=3,BC=4,AB=5,BD=12,AD=13,则点A到BC的距离是　　　　,点D到AB的距离是　　　　. 

第7题图　        　第8题图

8.已知点O在直线AB上,OC与OD是射线,若∠1=30°,∠2=60°,则OC和OD的位置关系是　　　　　. 

9.如图,计划把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是　　　　　　　. 

第9题图　　        第10题图

10.如图,AB⊥CD,垂足为点B,EF平分∠ABD,则∠CBF的度数为　　　　　°. 

11.如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合,其理由是 　　　　　　 　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　

　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　.  第11题图

12.如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O,AB⊥CD,∠COE=53°,求∠DOF与∠BOF的度数.

第12题图

13.如图,O为直线AB上一点,∠BOC=3∠AOC,OC平分∠AOD.

(1)求∠AOC的度数;

(2)猜测OD与AB的位置关系,并说明理由.

第13题图

14.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是              (              )

A.60°     B.120°

C.60°或90°   D.60°或120°

15.如图所示,修一条路将A村庄与B村庄,村庄与公路MN连起来,怎样修才能使所修的公路最短?画出线路图,并说明理由.

第15题图

16.画图并回答问题:

(1)如图,点P在∠AOB的边OA上.

①过点P画OA的垂线交OB于点C;

②画点P到OC的垂线段PM;         第16题图

(2)指出上述作图中哪一条线段的长表示点P到OC边的距离;

(3)比较PM,PC与OC的大小,并说明理由.

17.∠BOC=60°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,若AO⊥BO,则∠EOF是多少度?

第17题图

18.已知点C在直线a外,点A在直线a上,且AC=2厘米.

(1)设d是点C到直线a的距离,求d的取值范围;

(2)若直线BD垂直于直线a,垂足为B.则直线BD与直线AC有怎样的位置关系,请画示意图表示(每种位置关系画一个示意图).

参考答案

5.1.2　垂线

【笔记】

1.直角　2.∠1　∠2　∠3　∠4　3.垂线段的长度

【训练】

1.C　2.A　3.D　4.C　5.A　6.A

7.3　12　8.垂直　9.垂线段最短　10.45

11.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

12.因为∠COE和∠DOF互为对顶角,∠COE=53°,所以∠DOF=∠COE=53°.因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.所以∠BOF=∠BOD+∠DOF=143°.

13.(1)设∠AOC的度数为x°.根据题意可知,∠BOC的度数为(3x)°.因为∠AOC+∠BOC=180°,所以x+3x=180,解得x=45,所以∠AOC=45°.

(2)OD与AB垂直.理由:因为OC平分∠AOD,所以∠COD=∠AOC=45°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=45°+45°=90°,所以OD⊥AB.

14.D

第15题图

15.连接AB,作BC⊥MN,C是垂足,线段AB和BC就是符合题意的线路图.

因为从A到B,线段AB最短,从B到MN,垂线段BC最短,所以AB+BC最短.

16.(1)①②如图.

第16题图

(2)线段PM的长表示点P到OC边的距离.

(3)PM<PC<OC.理由:垂线段最短.

17.由AO⊥BO,得∠AOB=90°,由角的和差,得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.由OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,得∠COE=∠AOC=×150°=75°,∠COF=∠BOC=×60°=30°.由角的和差,得∠EOF=∠COE-∠COF=75°-30°=45°.

18.(1)0<d≤2.

(2)有三种位置关系:重合(如图1所示)、平行(如图2所示)、相交(如图3、图4所示).

图1      图2     图3　   图4

第18题图