第7讲 应用题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

这是一份第7讲 应用题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版），共10页。教案主要包含了方法梳理，强化巩固练习，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.初中解应用题的唯一方法→→审透等量关系式（用中文语言描述两个变量间的等量关系，直到不能用中文而只能用数字或未知数回答为止）
2.列式的解题技巧：假设数字，只列式不计算，最后用未知数替换即可；
2.注意以下常用等量关系式
①利润问题：
标价=成本+利润=成本×(1+利润率)； 单个利润=标价标价×折扣-成本=成本×利润率；
总利润=单个利润×销量； 销量=原销量±每涨(降)1元影响的销量×涨(降)几元
②行程问题：路程÷速度=时间
③工程问题：工作总量=工作效率×工作时间(单个)；工作总量=工作效率和×合作时间=各自工作总量之和.
【强化巩固练习】
1.某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元，设平均每次降价的百分率是x，可列方程为（ ）
A. 1001-2x=90 B. 1001-x2=90 C. 1001-x=90 D. 100(1-x)2=90
2.某公司今年的产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C．1400（1﹣x）2=200 D．200（1+x）3=1400
3.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. xx+1=1035 B. 12xx-1=1035 C. 12xx+1=1035 D. xx-1=1035
4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．12x（x﹣1）=45B．12x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
5.深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件.
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一“期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利2940元，则每件应降价多少元？
6.某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现，当每个背包的售价为40元时，月均销售量为280个，售价每增长2元，月均销量相应减少20个.
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由；
7.暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍。该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价多少元？
8. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
9．为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
10. 在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为20元，当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包．设该类型售价为x元（不低于进价），周利润为y元．请解答以下问题：
（1）求y与x的函数关系式？（要求关系式化为一般式）
（2）该药店为了获得周利润750元，且让利给顾客，售价应为多少元？
（3）物价局要求利润不得高于45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？
11.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：
(1)求y与x的关系式；
(2)当x取何值时，y的值最大？
(3)若物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
12．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成
一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
【参考答案】
1.某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元，设平均每次降价的百分率是x，可列方程为（ ）
A. 1001-2x=90 B. 1001-x2=90 C. 1001-x=90 D. 100(1-x)2=90
【解析】
解题方法：直接套用公式“a(1±x)2=b”,选D
2.某公司今年的产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C．1400（1﹣x）2=200 D．200（1+x）3=1400
【解析】
注意等量关系式：前年产值+去年产值+今年产值=1400，故选B
3.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. xx+1=1035 B. 12xx-1=1035 C. 12xx+1=1035 D. xx-1=1035
【解析】
自己送别人与别人送自己的照片不同，不存在重复问题，不用÷2，选D
4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．12x（x﹣1）=45B．12x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【解析】
甲与乙比赛、乙与甲的比赛是同一场比赛，存在重复，要÷2，选A
5.深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件.
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一“期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利2940元，则每件应降价多少元？
【解析】
（1）设平均每次降价的百分率为x，由题意可得：
100(1-x)2=81，
解得x=0.1=10%或x=1.9（舍去）
(2)设每件应降价y元，由题意可得：
(81-x)(20+2x)=2940，
解得x=11或x=60，
∵为扩大销售量，尽快减少库存，
∴x=60，
即每件应降价60元
6.某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现，当每个背包的售价为40元时，月均销售量为280个，售价每增长2元，月均销量相应减少20个.
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？
（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由；
【解析】
（1）设每个背包售价为x元，依不等关系式“原销量-因涨价减少的销量≥130”,可列不等式为：
280-202（x-40）≥130，
解得x≤55，
∴每个背包应不高于55元.
（2）依等量关系式“(每个背包售价-成本)×销量=3120”可列方程为：(x-30)[280- 202（x-40）]=3120，
化简为x2-98x+2352=0，
解得x=56或42，
∵x≤55，
∴x=42，
∴当该种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元.
（3）依（2）的等量关系式可列方程为：(x-30)[280- 202（x-40）]=3700，化简为x2-98x+2410=0，∵△=982-4×2740=-36<0，∴方程没有实数根，即这种书包的销售利润不可能达到3700元.
7.暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍。该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价多少元？
【解析】
设每件文化衫应定价x元，则每周的销售量为（150-5×x-6010）件
由题意得：(x-40)( 150-5×x-6010)=5600
解得x1=80，x2=320，
∵售价不能超过进价的2倍，
∴x≤80,
∴x=80.
∴该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价80元.
8. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
【解析】
（1）“审透等量关系式列解析式”
①“利润=（售价﹣成本）×销售量y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）“配方求最值”
②y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500,∵a=﹣5＜0，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）“与不等式结合”
“先转化成一元二次方程求解：当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
“画二次函数草图确定x的取值范围”（如图）
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
9．为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
【解析】
(1)设AB=x，花圃面积为y，依等量关系式“花圃面积=长×宽=（篱笆总长-两个宽）×宽”列式为：
y=x(80-2x)=-2x2+80x=-2(x-20)2+800
由不等关系式“长≤墙长”可列不等式为：
0<80-2x≤36,
解得22≤x<40，
∵-2<0,y随x的增大而减小，
∴当x=22时，y有最大值，
且最大值为-2(22-20)2+800=792
∴当AB长为22米时所围成的花圃面积最大,最大值是792平方米.
(2)由题意可得：-2x2+80x=350,
解得x1=5,x2=35.
∵22≤x<40，
∴x=35.
即当花圃的面积为350平方米时，AB长为35米
10. 在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为20元，当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包．设该类型售价为x元（不低于进价），周利润为y元．请解答以下问题：
（1）求y与x的函数关系式？（要求关系式化为一般式）
（2）该药店为了获得周利润750元，且让利给顾客，售价应为多少元？
（3）物价局要求利润不得高于45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？
【解析】
（1）根据周利润每包口罩的利润销售量，再结合“某类型口罩进价每包为20元，当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包”代入数据即可；
（2）将（1）中的y替换成750，得到750=-10x2+600x-800，解一元二次方程，根据“让利给顾客”取舍x的值，即可求解；
（3）将（1）中的二次函数表达式化成顶点式，再根据物价局要求利润不得高于45%，确定x的取值范围，根据二次函数的性质得到当x=29时，函数有最大值，即可求解．
（1）依题意得：y=(x-20)[160-10(x-24)]=(x-20)(400-10x)= -10x2+600x-800．
（2）当750=-10x2+600x-800时，
化简为：x2-60x+875=0，
解得：x1=25,x2=35，
∵为了让利给顾客，
∴x2=35（舍去）,
∴x=25,
答：售价应为25元．
（3）y=-10x2+600x-800=-10(x-30)2+1000,
∵x-20≤20×45%，
∴20≤x≤29，
抛物线开口向下，当x≤30时，y随x的增大而增大，
当x=29时，y有最大值，且最小值为-10(29-30)2+1000=990．
答：当售价定为29元时，该药店获得利润最大，获利最大为990元．
11.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：
(1)求y与x的关系式；
(2)当x取何值时，y的值最大？
(3)若物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【解析】
(1)依等量关系式“利润=每千克利润×销量”可列式为：
y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000
∴y与x的关系式为y=-2x2+340x-12000
(2)由（1）可知：y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,
∵-2<0，y随x的增大而减小，
∴当x=85元，y有最大值，且最大值为2450元.
(3)由（1）中的等量关系式可列方程为：
-2x2+340x-12000=2250，
化简为：x2-170x+7125=0，
解得x1=75,x2=95，
∵x≤90,
∴x=75.
∴公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为75元.
12．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成
一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
【解析】题目均与花园面积有关，等量关系式是“S=长×宽”
（1）由题可知AB=x，
则BC=28-x，
则 x(28-x)=192,
解得x1=12，x2=16
∴x的值为12或16；
（2）由题可得：S=x(28-x)=-x2+28=-(x-14)2+196
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∴AB最短为6m，BC最短为15m，
∴AB最长为28-15=13m，
即6≤x≤13
∴当x=13m时S有最大值，最大值为-13-142+196=195m2