2022步步高大一轮复习--物理 第一章 专题强化一　运动学图象　追及相遇问题学案

这是一份2022步步高大一轮复习--物理 第一章 专题强化一　运动学图象　追及相遇问题学案，共16页。

专题强化一　运动学图象　追及相遇问题
专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题．
2．学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力．
3．用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法．

1．x－t图象与v－t图象的比较

x－t图象
v－t图象
图象举例


意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度

2.三点说明
(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．
例1　(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示．下列说法正确的是(　　)

图1
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案　CD
解析　x－t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在这两个时刻均处于同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．
[听课感悟]　____________________________________________________________________
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变式1　(2019·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图2所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0,3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3,9)的P点，则下列说法不正确的是(　　)

图2
A．质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B．质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C．在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D．在3 s前某时刻质点A、B速度相等
答案　C
解析　质点A的运动方程为x＝at2，则初速度为零，加速度a＝2 m/s2，故A正确；x－t图象的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝＝ m/s＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时刻，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s的速度做匀速直线运动，故D正确．
例2　(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是(　　)

图3
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案　BD
解析　t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C项错误，D项正确．
[听课感悟]　____________________________________________________________________
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变式2　(2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上行驶，在t＝0时刻两车正好相遇，在之后一段时间0～t2内两车速度—时间图象(v－t图象)如图4所示，则在0～t2这段时间内有关两车的运动，下列说法正确的是(　　)

图4
A．甲、乙两辆车运动方向相反
B．在t1时刻甲、乙两车再次相遇
C．乙车在0～t2时间内的平均速度小于
D．在t1～t2时间内乙车在甲车前方
答案　C
解析　由题图可知，二者速度均为正值，即二者均向正方向运动，故甲、乙两辆车运动方向相同，故选项A错误；由题图可知，在0～t1时间内，二者位移不相等，即在t1时刻甲、乙两车没有相遇，在该时刻二者速度相等，二者之间的距离是最大的，故选项B错误；若乙车在0～t2时间内做匀变速运动，则平均速度为，如图所示：由v－t图象与t轴所围面积代表位移可知，匀变速运动的位移较大，故乙车在这段时间内的平均速度小于，故选项C正确；由于甲的初速度大于乙的初速度，所以开始时甲车在乙车前面，由v－t图象与t轴所围面积代表位移可知在0～t2时间内甲的位移大于乙的位移，故整个过程中甲车一直在乙车前面，故选项D错误．


拓展点1　非常规图象

1．四类图象
(1)a－t图象
由v＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图5甲所示．
(2)－t图象
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．

图5
(3)v2－x图象
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.
(4)x－v图象
x与v的关系式：2ax＝v2－v02，图象表达式：x＝v2－v02.

2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题速度和准确率．
例3　(2019·福建三明市期末质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图象，下列说法正确的是(　　)


图6
A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于
B．乙图中，物体的加速度为2 m/s2
C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D．丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
答案　D
解析　题图甲中，因v－t图象与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝ m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由图象可知a＝ m/s2＝5 m/s2，v0＝－5 m/s，则a＝10 m/s2; 则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确．
[听课感悟]　____________________________________________________________________
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变式3　(2016·江苏卷·5)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是(　　)

答案　A
解析　由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v与位置x的关系为v＝，从最高点下落时二者的关系为v＝－，对比图象可知A项正确．

拓展点2　图象信息提取问题

有些图象问题的分析和解决，要充分挖掘图象的隐含信息(比如图象的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题．
例4　(多选)(2019·吉林省名校第一次联合模拟)做直线运动的某质点的位移—时间图象(抛物线)如图7所示，P(2,12)为图线上的一点．PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q(0,4)．已知t＝0时质点的速度大小为8 m/s，则下列说法正确的是(　　)

图7
A．质点做匀减速直线运动
B．质点经过P点时的速度大小为6 m/s
C．质点的加速度大小为2 m/s2
D．0～1 s时间内，质点的位移大小为4 m
答案　AC
解析　由题知图象为抛物线，结合匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2，而v0＝8 m/s，t＝2 s时的位移x＝12 m，代入解得a＝－2 m/s2，则函数表达式为x＝8t－t2，即质点做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，故A、C正确；由题图知vP＝＝ m/s＝4 m/s，故B错误；由位移公式可得0～1 s时间内质点的位移x1＝8×1 m－12 m＝7 m，故D错误．
[听课感悟]　____________________________________________________________________
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变式4　(多选)(2020·云南昆明市质检)汽车在限速为40 km/h的道路上匀速行驶，驾驶员发现前方斑马线上有行人，于是减速礼让，汽车到达斑马线处时行人已通过斑马线，驾驶员便加速前进，监控系统绘制出该汽车的速度v随时间t变化的图象如图8所示，下列说法正确的是(　　)

图8
A．减速前该车已超速
B．汽车在加速阶段的加速度大小为3 m/s2
C．驾驶员开始减速时距斑马线18 m
D．汽车在3.5～5.5 s时间内的位移为10 m
答案　BD
解析　由题图可知，汽车减速前的行驶速度为v0＝10 m/s＝36 km/h<40 km/h，未超速，故A错误；汽车在加速阶段的加速度大小为：a＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B正确；由题图可知，汽车减速过程不是做匀减速运动，因此由速度—时间图象不能精确求解汽车开始减速时距斑马线的距离，故C错误；v－t图象与t轴所围面积表示位移，则3.5～5.5 s时间内，x＝×2 m＝10 m，故D正确．

1．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．
3．函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．
4．图象法
(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．
(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．
5．特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．
例5　甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？
答案　6 m/s2
解析　方法一：临界法
设两车减速后速度相同时为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后到停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.
方法二：函数法
甲运动的位移x甲＝v1t－a1t2，乙运动的位移x乙＝v2t－a2t2
避免相撞的条件为x乙－x甲≤x0
即(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋x0≥0
代入数据有(a2－2)t2－16t＋16≥0
由数学知识得，不等式成立的条件是162－4×16(a2－2)≤0，且a2－2>0
解得a2≥6 m/s2.
变式5　(2020·广东深圳市调研)可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，t＝0时，甲在乙前方16 m处，它们的v－t图象如图9所示，则下列说法正确的是(　　)

图9
A．甲、乙在t＝2 s和t＝10 s时刻并排行驶
B．甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶
C．在t＝6 s时刻，乙车在甲车前8 m处
D．在t＝6 s时刻，乙车在甲车前18 m处
答案　B
解析　由题图图象可知，甲做初速度为0，加速度为a1＝ m/s2＝2 m/s2的匀加速运动；乙做初速度为v0＝6 m/s，加速度为a2＝ m/s2＝1 m/s2的匀加速运动；两车相遇时满足：v0t＋a2t2＝s0＋a1t2，即6t＋×1×t2＝16＋×2t2，解得t1＝4 s，t2＝8 s，即甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶，选项A错误，B正确．v－t图象与t轴所围面积表示位移，在t＝6 s时，甲的位移：x1＝×6×12 m＝36 m；乙的位移：x2＝(6＋12)×6× m＝54 m，Δx＝x2－x1－s0＝54 m－36 m－16 m＝2 m，可知此时乙在甲的前面，选项C、D错误．

1．(x－t图象)(多选)一遥控玩具汽车的位移－时间图象如图10所示，则(　　)

图10
A．5 s末汽车的速度为3 m/s
B．15 s末汽车的位移为300 m
C．15～25 s内汽车的平均速度大小为1 m/s
D．前20 s内汽车做单向直线运动
答案　AC
解析　0～10 s汽车做匀速直线运动，v＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；由题图知15 s末汽车的位移为30 m，B错误；15～25 s汽车运动方向反向，做匀速直线运动，＝ m/s＝－1 m/s，故C正确，D错误．
2．(v－t图象)(多选)质点做直线运动的v－t图象如图11所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内(　　)

图11
A．总路程为2 m
B．平均速度为0.25 m/s，方向向左
C．总路程为8 m
D．平均速度为1 m/s，方向向左
答案　BC
解析　由题可知，质点前3 s内的位移x1＝×2×3 m＝3 m，方向向右.3～8 s内的位移x2＝－×5×2 m＝－5 m，负号表示位移方向向左，则该质点在前8 s内的总路程s＝x1＋|x2|＝8 m，所以A错误，C正确；该质点在前8 s内的平均速度＝＝ m/s＝－0.25 m/s，负号表示方向向左，所以B正确，D错误．
3．(非常规图象)(2019·山东菏泽市下学期第一次模拟)一辆汽车以20 m/s的速度在平直的公路上行驶，当驾驶员发现前方有险情时，立即进行急刹车，刹车后的速度v随刹车位移x的变化关系如图12所示，设汽车刹车后做匀减速直线运动，则当汽车刹车后的速度减小为12 m/s时，刹车的距离x1为(　　)

图12
A．12 m B．12.8 m C．14 m D．14.8 m
答案　B
解析　由于汽车做匀减速直线运动，设加速度为a，由v2－v02＝2ax，解得a＝－10 m/s2，当v1＝12 m/s时，汽车刹车的距离x1＝＝12.8 m，B项正确．
4.(图象信息题)(多选)一物体从一行星表面的某高度处自由下落(不计表层大气阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面的高度h随时间t变化的图象如图13所示，则(　　)

图13
A．行星表面的重力加速度大小为8 m/s2
B．行星表面的重力加速度大小为10 m/s2
C．物体落到行星表面时的速度大小为20 m/s
D．物体落到行星表面时的速度大小为25 m/s
答案　AC
解析　由题图提供的信息可知，物体开始下落时的高度为h＝25 m，下落时间为t＝2.5 s，由h＝g′t2可得g′＝＝8 m/s2，故A正确，B错误；物体落到行星表面时的速度大小v＝gt＝8×2.5 m/s＝20 m/s，C正确，D错误．
5．(追及相遇问题)(2019·山东烟台市期末)甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上行驶，某时刻两车正好并排行驶，从该时刻起两车的速度－时间图象如图14所示，则下列说法正确的是(　　)

图14
A．t0时刻两车相遇
B．0～t1时间内，甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小且方向相同
C．0～t0时间内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度
D．t1时刻甲、乙两车一定再次相遇，之后甲车将一直在乙车前方
答案　C
解析　根据速度－时间图象与时间轴所围的“面积”表示位移，知0～t0时间内乙车的位移比甲车的大，则t0时刻两车没有相遇，故A错误；0～t1时间内，甲、乙两车图象斜率的绝对值均逐渐减小，则它们的加速度大小均逐渐减小，甲图象切线斜率为正，乙图象切线斜率为负，则加速度方向相反，故B错误；0～t0时间内甲车的位移比乙车的小，则甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故C正确；0～t1时间内，甲车的位移比乙车的大，则甲、乙两车没有在t1时刻相遇，之后甲车的速度比乙车的大，则甲车将一直在乙车前方，故D错误．

(限时：20分钟)

1．(2020·辽宁沈阳市质检)如图1为一个质点做直线运动的v－t图象，该质点在前2 s内向西运动，则该质点(　　)

图1
A．在前2 s内加速度方向也向西
B．在前4 s内加速度方向始终向东
C．在4～6 s内加速度方向始终向东
D．在0～6 s内加速度方向始终不变
答案　B
解析　由题意结合图象可知向西为负方向，而向东为正方向，该质点在前2 s内向西减速运动，则该段时间加速度方向向东，而2～4 s向东做加速运动，则加速度方向仍然向东，故选项A错误，B正确；由题图图象可知质点在4～5 s内向东做减速运动，而5～6 s内向西做加速运动，所以在4～6 s这段时间内加速度方向一直向西，故选项C、D错误．
2．(2019·山东潍坊市第二次模拟)甲、乙两辆货车在平直公路上从同一位置同向行驶，两车的v－t图象如图2所示，则在0～4 s时间内(　　)

图2
A．甲车做曲线运动
B．乙车一直在甲车的后方
C．甲车的平均速度小于6 m/s
D．乙车位移的大小为8 m
答案　C
解析　由题图可知，甲车做加速度减小的减速直线运动，乙车做匀加速直线运动，故选项A错误；开始时乙的速度小于甲的速度，由图线与时间轴所围的“面积”代表位移可知，开始一段时间内乙车在甲车后方，但是在0～4 s内，通过“面积”分析可知乙车位移大于甲车位移，即乙车没有一直在甲车的后方，故选项B错误；若甲车一直做匀减速直线运动，则图象如图所示：

则平均速度为：v＝＝ m/s＝6 m/s，但是通过图形“面积”可知，甲车的实际位移小于其匀减速直线运动的位移，故甲车实际的平均速度小于6 m/s，故选项C正确；由图形的“面积”代表位移可知，在0～4 s时间内，乙车的位移为：x＝×(2＋10)×4 m＝24 m，故选项D错误．
3．(多选)(2019·河北唐山市第一次模拟)如图3所示的x－t图象反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则0～10 s过程中(　　)

图3
A．甲车的速度大小为4.0 m/s
B．乙车的平均速度大小为4.0 m/s
C．甲车的位移大小为40 m
D．乙车的位移大小为80 m
答案　ACD
解析　甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s，在0～10 s内的位移为：x甲＝v甲t＝4×10 m＝40 m，故A、C正确；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速度为零，根据逆向思维法，乙车匀减速到速度为0的减速过程，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，则根据位移与时间关系x＝at2，结合图象有：x0＝at2＝a·
(10 s)2,20 m＝at12＝a·(5 s)2，解得：a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，则乙车的平均速度大小为：
乙＝＝ m/s＝8 m/s，故B错误，D正确．
4.(2019·江苏南京、盐城市二模联考)某次实验中，通过传感器获得小车的速度v与时间t的关系图象如图4所示，则小车(　　)

图4
A．在0～1.0 s内位移先增大后减小
B．在0～1.0 s内加速度先增大后减小
C．在0～1.0 s内位移约为0.52 m
D．在0～0.5 s内平均速度约为1.04 m/s
答案　C
解析　在0～1.0 s内小车的速度均为正值，则小车的位移一直增大，选项A错误；v－t图线斜率的绝对值等于加速度大小，则在0～1.0 s内小车的加速度先减小到零后增大，选项B错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，则由题图可知，在0～1.0 s内小车的位移约为0.52 m，选项C正确；在0～0.5 s内小车的位移约为0.22 m，则小车的平均速度为＝≈0.44 m/s，选项D错误．

5．(2020·安徽合肥市质检)甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动，它们的v－t图象如图5所示，则在0～4 s内(　　)

图5
A．两物体始终同向运动
B．2 s末两物体相距最远
C．两物体平均速度相等
D．4 s末两物体相遇
答案　A
解析　0～4 s内，甲、乙两物体的v－t图象均在横轴的上方，速度均为正，故两物体始终同向运动，A正确；由题意可知，甲、乙两物体同时同地沿同向运动，在0～4 s内，甲在前，乙在后，甲的速度大于乙的速度，两物体距离越来越大，在4 s时速度相同，此时两物体相距最远，B、D错误；0～4 s内，由图象可知，甲的位移大于乙的位移，即x甲>x乙，根据＝，两物体的平均速度甲>乙，故C错误．
6．(2019·贵州省部分重点中学质量评测卷(四))甲、乙两物体从同一地点出发沿同一直线运动，它们的位移—时间图象如图6所示，则(　　)

图6
A．前3 s内甲、乙的平均速度相等
B．3 s末时甲、乙两物体的速度相同
C．前3 s内甲、乙的运动方向始终相同
D．前3 s内甲、乙两物体的最大距离为1 m
答案　A
解析　因为两物体同时同地出发，开始时甲的速度大于乙的速度，在第3 s末两图线相交，则位移相等，所以前3 s内甲、乙的平均速度相等，故A正确；由题图可知，3 s末时甲、乙两物体的速度方向相反，故B错误；由题图可知，甲在位移达到3 m时速度减小为零，然后反方向运动，故C错误；由题图可知，前3 s内甲、乙两物体的最大距离大于1 m，故D错误．
7.某人驾驶汽车在平直公路上以72 km/h的速度匀速行驶，某时刻看到前方路上有障碍物，立即进行刹车，从看到障碍物到停下(刹车后做匀减速直线运动)，位移随速度变化的关系如图7，图象由一段平行于x轴的直线与一段曲线组成．求：

图7
(1)该人刹车的反应时间；
(2)刹车的加速度大小及刹车的时间．
答案　(1)0.6 s　(2)8 m/s2　2.5 s
解析　(1)在人的反应时间内汽车做匀速直线运动，由题图可知，反应时间内的位移x1＝12 m，速度v＝72 km/h＝20 m/s
反应时间t1＝＝ s＝0.6 s
(2)开始刹车时，速度v＝72 km/h＝20 m/s
刹车过程中的位移x2＝(37－12) m＝25 m
由v2＝2ax2
解得a＝＝8 m/s2
刹车的时间t2＝＝ s＝2.5 s.