2022步步高大一轮复习--物理 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第2讲 抛体运动学案

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一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4.基本规律
如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
图1
(1)位移关系
(2)速度关系
判断正误 (1)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．( × )
(2)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( × )
(3)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．( × )
(4)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( √ )
(5)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( √ )
自测1 一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则物体在空中的运动时间为(不计空气阻力，重力加速度为g)( )
A.eq \f(v－v0,g) B.eq \f(v＋v0,g) C.eq \f(\r(v2－v02),g) D.eq \f(\r(v2＋v02),g)
答案 C
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)
图2
(1)水平方向：v0x＝v0cs θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
自测2 (2016·江苏卷·2)有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
图3
A．① B．② C．③ D．④
答案 A
解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的初速度相同，则运动轨迹相同，故A项正确．
1．飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝eq \r(vx2＋vy2)＝eq \r(v02＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．
图4
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝eq \f(xA,2).
图5
推导：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(yA,xA－xB),tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(2yA,xA)))→xB＝eq \f(xA,2)
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(gt,v0),tan α＝\f(y,x)＝\f(gt,2v0)))→tan θ＝2tan α
类型1 两物体对着平抛
例1 (2017·江苏卷·2)如图6所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
图6
A．t B.eq \f(\r(2),2)t C.eq \f(t,2) D.eq \f(t,4)
答案 C
解析 设A、B两小球抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v1、v2抛出，经过时间t的水平位移分别为x1、x2，根据平抛运动规律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，则t＝eq \f(L,v1＋v2) ；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝eq \f(L,2v1＋v2)＝eq \f(t,2)，故选项C正确．
变式1 (2019·江苏泰州中学、宜兴中学月考)如图7所示，A、B两点在同一竖直面内，A点比B点高h，两点间的水平距离为s.现从A、B两点同时沿水平方向相向抛出两个小球，不计空气阻力，则( )
图7
A. 若只调整h，两球根本不可能在空中相遇
B．若只调整s，两球有可能在空中相遇
C．若只调整h，两球有可能在空中相遇
D．若只调整两球抛出的速度大小，两球有可能在空中相遇
答案 C
解析 由于平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，若将h调整到零，即抛出高度相同，两球同时抛出，故两个球始终在同一高度，落地前有可能相遇，A错误，C正确；若只调整s或抛出速度，则两球不会在同一高度，不会在空中相遇，B、D错误．
类型2 两物体同方向抛出
例2 (2019·江苏南通市模拟)如图8所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为3h，B点离地面高度为2h.现将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在C点相遇，不考虑两球相遇时的相互作用，C点离地面的高度为h.已知重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
图8
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球一定同时落地
C．两个小球抛出的时间间隔为(2－eq \r(2))eq \r(\f(h,g))
D．两个小球抛出的初速度之比eq \f(vA,vB)＝eq \f(1,2)
答案 C
解析 平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，由于A到C的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，A先抛出；它们在C点相遇时A的竖直方向速度较大，离地面的高度相同，所以A小球一定先落地，故A、B错误；由t＝eq \r(\f(2h,g))得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝eq \r(\f(2×2h,g))－eq \r(\f(2h,g))＝(2－eq \r(2))eq \r(\f(h,g))，故C正确；从抛出到相遇，由x＝v0t得v0＝xeq \r(\f(g,2h))，x相等，则小球A、B抛出的初速度之比eq \f(vA,vB)＝eq \r(\f(h,2h))＝eq \f(\r(2),2)，故D错误．
变式2 (多选)(2019·江苏扬州市一模)如图9所示，在投球游戏中，小明坐在可沿竖直方向升降的椅子上，停在不同高度的A、B两处，将皮球水平抛出，落入固定的球筐中，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
图9
A．从A点抛出的皮球，初速度较小
B．从B点抛出的皮球，初速度较小
C．从A点抛出的皮球，在空中运动时间较长
D．从B点抛出的皮球，在空中运动时间较长
答案 AC
解析 平抛运动的时间由竖直高度决定，由h＝eq \f(1,2)gt2得出t＝eq \r(\f(2h,g))，hA＞hB，则tA＞tB，C项正确，D项错误；两球水平位移相等，根据水平方向x＝v0t可知，因从A点抛出的皮球平抛运动时间长，故抛出的初速度较小，A项正确，B项错误．
拓展点 实验：探究平抛运动的特点
例3 (2019·云南玉溪一中第五次调研)三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：
图10
(1)甲同学采用如图10甲所示的装置．用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤打击的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明：
(2)乙同学采用如图乙所示的装置．两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看作与光滑的水平板相切(水平板足够长)，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC＝BD，从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等．现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出．实验可观察到的现象是：
.
仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象．
(3)丙同学采用频闪摄影的方法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L＝2.5 cm，则由图可求得该小球做平抛运动的初速度大小为 m/s.(结果保留两位有效数字，g取10 m/s2)
答案 (1)平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动 (2)P球击中Q球 (3)1.0
解析 (1)在打击金属片时，两小球同时做平抛运动与自由落体运动．结果同时落地，则说明平抛运动竖直方向是自由落体运动．
(2)两球在水平方向的运动是相同的，则在相同的时间内水平位移相同，则实验可观察到的现象是：P球击中Q球；
(3)平抛运动可分解为竖直方向自由落体运动与水平方向匀速直线运动；在竖直方向：由Δh＝gt2可得：t＝eq \r(\f(L,g))＝eq \r(\f(0.025,10)) s＝0.05 s．水平方向：由x＝v0t得：v0＝eq \f(2L,t)＝eq \f(2×0.025,0.05) m/s＝1.0 m/s.
模型1 对着竖直墙壁平抛
如图11所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0).
图11
例4 (2019·安徽淮南市第二次模拟)如图12所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是( )
图12
A．v1>v2 B．v1C．t1>t2 D．t1＝t2
答案 A
解析 小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据t＝eq \r(\f(2h,g))可知，t1x2，则v1>v2，故选A.
变式3 (多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图13所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
图13
A．初速度大小之比是eq \r(6)∶eq \r(3)∶eq \r(2)
B．初速度大小之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是eq \r(6)∶eq \r(3)∶eq \r(2)
答案 AC
解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝eq \f(1,2)gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶eq \f(1,\r(2))∶eq \f(1,\r(3))＝eq \r(6)∶eq \r(3)∶eq \r(2)，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故选项C正确，D错误．
模型2 斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图14)
图14
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝eq \f(1,2)gt2，
tan θ＝eq \f(y,x)，
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g).
2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图15)
图15
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)，
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
例5 (2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
答案 A
解析 如图所示，可知：
x＝vt，
x·tan θ＝eq \f(1,2)gt2
则vy＝gt＝2tan θ·v
则落至斜面的速率v落＝eq \r(v2＋vy2)＝veq \r(1＋4tan2θ)，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和eq \f(v,2)，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
模型3 半圆内的平抛问题
如图16所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝eq \f(1,2)gt2，
R±eq \r(R2－h2)＝v0t，
图16
联立两方程可求t.
例6 (2019·四川宜宾市第二次诊断)如图17所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
图17
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
答案 B
解析 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，A选项错误；设圆弧形槽半径为R，对A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝eq \r(\f(2R,g))，
则v1＝Req \r(\f(g,2R))＝eq \r(\f(1,2)gR)，
对C点抛出的小球，
Rsin 60°＝v2tC，
tC＝eq \r(\f(R－Rcs 60°×2,g))＝eq \r(\f(R,g))，
则v2＝eq \f(\r(3)R,2)eq \r(\f(g,R))＝eq \r(\f(3,4)gR)，
v1∶v2＝eq \r(6)∶3，B选项正确；
设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝eq \f(v0,vy)
由v1∶v2＝eq \r(6)∶3
vy1∶vy2＝tA∶tC＝eq \r(2)∶1
则tan θ1≠tan θ2，C选项错误；
设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝eq \r(v12＋vy12)＝eq \r(\f(5,2)gR)，
vC＝eq \r(v22＋vy22)＝eq \r(\f(7,4)gR)，
则vA∶vC＝eq \r(10)∶eq \r(7)，
D选项错误．
例7 (2020·福建泉州市质检)某游戏装置如图18所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上( )
图18
A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关
B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关
C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关
D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
答案 C
解析 根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能从P点射出，故A错误；如图所示，根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得：EN＝eq \f(1,2)R(1＋cs α)，则竖直位移PN＝EN·tan α＝eq \f(1,2)R(1＋cs α)tan α，弹射器离B点的高度为y＝PN－Rsin α＝eq \f(1,2)R(tan α－sin α)，所以只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确．
变式4 (2019·福建莆田市5月第二次质检)如图19，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以( )
图19
A．增大抛出点高度，同时增大初速度
B．减小抛出点高度，同时减小初速度
C．保持抛出点高度不变，增大初速度
D．保持初速度不变，增大抛出点高度
答案 B
解析 设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可得平抛运动的时间为：t＝eq \r(\f(2h,g))，则水平位移为：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g)).增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故A错误．减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进小桶中，故B正确．保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故C错误．保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误．
1．(平抛运动基本规律的应用)(2019·江苏南京师大附中5月模拟)飞机在水平地面上空的某一高度水平匀速飞行，每隔相等时间投放一个物体，不计空气阻力．以第一个物体a的落地点为坐标原点，飞机飞行方向为横坐标正方向，竖直向上为纵坐标正方向，在竖直平面内建立直角坐标系，下列选项给出了当第5个物体刚要离开飞机时，已经抛出的4个物体(a、b、c、d)在坐标系中的可能分布情况，正确的是( )
答案 A
解析 不计空气阻力，以地面为参考系，每个物体都做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，所以在水平方向上，四个物体的速度总是与飞机速度相同，水平位移相同，故没有位移差，看起来在一条竖直线上；竖直方向做自由落体运动，最先释放的物体间的距离大些，相当于同一个物体做自由落体运动在不同时刻的位置，故A正确，B、C错误．D选项中a、b、c三个物体落到地面，水平方向间隔2个格，c和d在水平方向也间隔2个格，那么d也一定落到地面，图象中d并未落到地面，故D错误．
2.(两物体对着平抛)(2019·江苏丹阳市期中)如图20所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点．若不计空气阻力，下列关系正确的是( )
图20
A．ta>tb，vatb，va>vb
C．tavb
答案 A
解析 a、b水平抛出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动．a的高度大于b的高度，根据h＝eq \f(1,2)gt2，知高度越大，时间越长，所以ta>tb；因水平位移相等，根据x＝vt得v＝eq \f(x,t)，又ta>tb，所以va3.(两物体同向平抛)(多选)(2019·江苏南京市高考冲刺) 在竖直墙壁上悬挂一镖靶，某人站在离墙壁一定距离的某处，先后将两只飞镖A、B由同一位置水平掷出，两只飞镖插在靶上的状态如图21所示(侧视图)，若不计空气阻力，下列说法正确的是( )
图21
A．B镖的运动时间比A镖的运动时间长
B．B镖掷出时的初速度比A镖掷出时的初速度小
C．A、B镖的速度变化方向可能不同
D．A镖的质量一定比B镖的质量大
答案 AB
解析 根据h＝eq \f(1,2)gt2得：t＝eq \r(\f(2h,g))，飞镖B下落的高度大于飞镖A下落的高度，则B镖的运动时间长，故A正确；因为水平位移相等，B镖的运动时间长，则B镖掷出时的初速度小，故B正确；因为A、B镖都做平抛运动，速度变化的方向与加速度方向相同，均竖直向下，故C错误；平抛运动的加速度和运动轨迹均与质量无关，本题无法比较两飞镖的质量，故D错误．
4．(斜面上的平抛运动)(2019·湖南永州市第二次模拟)如图22所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处．今在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
图22
A．ta＝eq \f(\r(3),2)tb B．ta＝3tb C．va＝eq \f(\r(3),2)vb D．va＝eq \f(3,2)vb
答案 C
解析 a、b两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝eq \f(1,2)gt2可知，t＝eq \r(\f(2h,g))，则a、b两球运动的时间关系为ta＝eq \r(3)tb，故A、B错误；因为a、b两球水平位移之比为3∶2，由v0＝eq \f(x,t)得：va＝eq \f(\r(3),2)vb，故C正确，D错误．
5．(球面内的平抛运动)(多选)(2019·山东济宁市第一次模拟)如图23所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
图23
A．初速度越大，小球运动时间越长
B．初速度不同，小球运动时间可能相同
C．小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D．小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
答案 BD
1．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
答案 C
解析 小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C正确．
2．在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的eq \f(2,3)，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A.eq \f(1,3)s B.eq \f(2,3)s C.eq \f(\r(2),3)s D.eq \f(2\r(2),3)s
答案 C
解析 设战机原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知炮弹在竖直方向有：h＝eq \f(1,2)gt2，解得：t＝eq \r(\f(2h,g))，则在水平方向：s＝vt＝veq \r(\f(2h,g))，现战机高度减半，速度大小减为原来的eq \f(2,3)，要仍能命中目标，则应有s′＝eq \f(2,3)vt′，eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)gt′2，联立解得：s′＝eq \f(\r(2),3)s，故C正确，A、B、D错误．
3.为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图1，若sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为( )
图1
A．h＝170 m v＝30 m/s B．h＝135 m v＝40 m/s
C．h＝80 m v＝30 m/s D．h＝45 m v＝40 m/s
答案 A
解析 根据速度的分解有：tan θ＝eq \f(v,vy)＝eq \f(v,gt)，x＝eq \f(L,2)cs 37°＝vt，联立解得t＝4 s，v＝30 m/s；则炸弹竖直位移为y＝eq \f(1,2)gt2＝80 m，故无人机距A点的高度h＝y＋eq \f(L,2)sin θ＝170 m，故选A.
4.(2020·山西晋城市模拟)如图2所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为eq \r(2) m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不计空气阻力)( )
图2
A.eq \f(3,4) m B.eq \f(\r(2),3) m C.eq \f(\r(2),2) m D.eq \f(4,3) m
答案 D
解析 设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则有eq \f(\f(h,tan θ)＋x,\r(\f(2h,g)))＝eq \f(\f(h,2tan θ)＋x,\r(\f(h,g)))，解得：x＝eq \f(4,3) m，故选D.
5.如图3，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 ( )
图3
A．tan α B．cs α
C．tan αeq \r(tan α) D．cs αeq \r(tan α)
答案 C
解析 设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2.对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gt12，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gt22，解四式可得：eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确．
6．(2019·湖南娄底市下学期质量检测)羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图4是他表演时的羽毛球场地示意图．图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高，若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
图4
A．击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B．击中甲、乙的两球运动时间可能不同
C．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓
D．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
答案 C
解析 由题图可知，甲、乙高度相同，所以球到达两鼓用时相同，但由于两鼓离林丹的水平距离不同，甲的水平距离较远，由v＝eq \f(x,t)可知，击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙，故A、B错误；甲鼓的位置比丁鼓位置较高，则球到达丁鼓用时较长，则若某次发球能够击中甲鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓，故C正确；由于丁鼓与丙鼓高度相同，球到达两鼓用时相同，但由题图可知，丁鼓离林丹的水平距离大，所以击中丁鼓的球的初速度一定大于击中丙鼓的球的初速度，即击中丙鼓的球的初速度不是最大的，故D错误．
7．(2019·河南八市重点高中联盟第三次模拟)如图5所示，小球从斜面的顶端A处以大小为v0的初速度水平抛出，恰好落到斜面底部的B点，且此时的速度大小vB＝eq \r(5)v0，空气阻力不计，该斜面的倾角为( )
图5
A．60° B．45° C．37° D．30°
答案 B
解析 根据平行四边形定则知，小球落到底端时竖直分速度为：vy＝eq \r(vB2－v02)＝2v0，则运动的时间为：t＝eq \f(vy,g)＝eq \f(2v0,g)，设斜面的倾角为θ，则有tan θ＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)＝1，
解得θ＝45°，B正确．
8．(2020·河南洛阳市调研)如图6所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
图6
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．2∶3
答案 C
解析 小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：x＝v1t①
y＝eq \f(1,2)gt2②
又tan 30°＝eq \f(y,x)③
联立①②③得：v1＝eq \f(\r(3),2)gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝eq \f(v2,vy)＝eq \f(v2,gt)⑤
则得：v2＝eq \f(\r(3),3)gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确．
9.(多选)(2019·山东日照市上学期期末)如图7，在斜面顶端以不同的初速度水平抛出几个小球，所有小球均落在斜面上．忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
图7
A．所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等
B．小球的运动时间与初速度的平方成正比
C．所有小球落到斜面上时的速度方向都相同
D．小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半
答案 AC
解析 所有小球都落在斜面上，所以所有小球的位移方向相同，设斜面的倾角为θ，所有小球的竖直位移与水平位移之比都等于tan θ，故A正确；小球水平方向做匀速直线运动：x＝v0t，竖直方向做自由落体运动：y＝eq \f(1,2)gt2，所以eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)＝tan θ，解得：t＝eq \f(2v0tan θ,g)，故B错误；平抛运动在某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜面上时的速度方向都相同，故C正确；小球在竖直方向的总位移为y＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)g(eq \f(2v0tan θ,g))2＝eq \f(2v02tan2θ,g)，小球从抛出到离斜面最远时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向的速度vy＝v0tan θ，位移为y′＝eq \f(vy2,2g)＝eq \f(v02tan2θ,2g)，所以小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的eq \f(1,4)，故D错误．
10.(多选)(2020·河北秦皇岛市质检)如图8，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相垂直．若不计空气阻力，则( )
图8
A．小球a比小球b先抛出
B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb∶va
D．初速度va大于vb
答案 AB
解析 h＝eq \f(1,2)gt2，所以t＝eq \r(\f(2h,g))，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，所以 ta＞tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得va＜vb，故A、B正确，D错误．h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)geq \f(x2,v02)，故小球a、b抛出点距地面高度之比为eq \f(ha,hb)＝eq \f(vb2,va2)，C错误．
11．在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，竖直杆上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离路面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图9所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
图9
A．三个小球落地时间差与车速有关
B．三个小球落地点的间隔距离L1＝L2
C．三个小球落地点的间隔距离L1D．三个小球落地点的间隔距离L1>L2
答案 C
解析 平抛运动中，落地时间只与下落的高度有关，故A错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t＝eq \r(\f(2h,g))可得下落时间之比为tA∶tB∶tC＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，由于三个小球初速度相同，故水平位移之比xA∶xB∶xC＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，则L1∶L2＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)，故L112.如图10所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8 m的斜面位于水平地面上，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B点处．空气阻力忽略不计，取重力加速度g＝10 m/s2，tan 37°＝0.75.
图10
(1)求小球平抛的初速度v0的大小；
(2)若在小球水平抛出的同时，使斜面在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经t2＝0.3 s小球落至斜面上，求斜面运动的加速度大小．
答案 (1)4 m/s (2)13.3 m/s2
解析 (1)小球水平抛出后恰好落在斜面底端，设水平位移为x，则有：
h＝eq \f(1,2)gt2
x＝v0t
由几何知识可得
tan θ＝eq \f(h,x)
联立并代入已知数据得v0＝4 m/s；
(2)如图所示，设经过t2＝0.3 s，斜面运动的位移为x1，加速度大小为a，小球做平抛运动竖直位移为h2，水平位移为x2，则有：x1＝eq \f(1,2)at22
h2＝eq \f(1,2)gt22
x2＝v0t2
由几何知识可得tan θ＝eq \f(h2,x2－x1)
联立并代入已知数据得a＝eq \f(40,3) m/s2≈13.3 m/s2.