2022步步高大一轮复习--物理 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力定律及应用学案

这是一份2022步步高大一轮复习--物理 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力定律及应用学案，共15页。学案主要包含了开普勒三定律，万有引力定律，宇宙速度等内容，欢迎下载使用。
一、开普勒三定律
自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
Geq \f(Mm,r2)＝ma＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)→v＝ \r(\f(GM,r)),mrω2→ω＝ \r(\f(GM,r3)),mr\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2→T＝2π \r(\f(r3,GM)),mvω))
自测2 (2019·江苏南京市六校联考)火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比( )
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的线速度较小
D．火卫二的向心加速度较大
答案 A
解析 卫星绕火星做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、火星质量为M，根据万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝ma，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由题知火卫一的周期较小，则轨道半径较小，所以火卫一距火星表面较近，故A正确；ω＝eq \r(\f(GM,r3))，所以火卫二的角速度较小，故B错误；v＝eq \r(\f(GM,r))，所以火卫一的线速度较大，故C错误；a＝eq \f(GM,r2)，所以火卫二的向心加速度较小，故D错误．
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR).
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
自测3 (2019·北京卷·18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确.
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1 (多选)(2016·江苏卷·7)如图1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )
图1
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D.eq \f(RA3,TA2)＝eq \f(RB3,TB2)
答案 AD
解析 由eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)＝meq \f(4π2,T2)R和Ek＝eq \f(1,2)mv2可得T＝2π eq \r(\f(R3,GM))，Ek＝eq \f(GMm,2R)，因RA>RB，则TA>TB，EkAa四，D错．
变式5 (多选)(2017·江苏卷·6)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距离地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A．角速度小于地球自转角速度
B．线速度小于第一宇宙速度
C．周期小于地球自转周期
D．向心加速度小于地面的重力加速度
答案 BCD
解析 根据万有引力提供向心力得，Geq \f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)ω2＝meq \f(v2,R＋h)＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)＝ma，解得v＝eq \r(\f(GM,R＋h))，ω＝eq \r(\f(GM,R＋h3))，T＝eq \r(\f(4π2R＋h3,GM))，a＝eq \f(GM,R＋h2)，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，而地球自转角速度和自转周期与同步卫星相同，则“天舟一号”的角速度大于地球的自转角速度，周期小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为eq \r(\f(GM,R))可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确．
1．(天体质量的计算)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A.eq \f(1,10) B．1 C．5 D．10
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以恒星质量与太阳质量之比为eq \f(M恒,M太)＝eq \f(r行3T地2, r地3T行2)＝(eq \f(1,20))3×(eq \f(365,4))2≈1，故选项B正确．
2．(卫星运行参量分析)(多选)(2019·江苏南通市一模)如图3所示，2018年6月14日．承担“嫦娥四号”中继通信任务的“鹊桥”中继星抵达绕地月第二拉格朗日点的轨道，第二拉格朗日点是地月连线延长线上的一点，处于该位置上的卫星与月球同步绕地球公转，则该卫星的( )
图3
A．向心力仅来自于地球引力
B．线速度大于月球的线速度
C．角速度大于月球的角速度
D．向心加速度大于月球的向心加速度
答案 BD
解析 卫星受地球和月球共同作用的引力提供向心力，故A错误；卫星与月球同步绕地球运动，角速度相等，“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据v＝ωr知“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大，故B正确，C错误；“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据a＝ω2r知“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，故D正确．
3．(卫星运行参量分析)(2019·江苏宿迁市期末)某人造地球卫星绕地球的运动轨迹为椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上，已知卫星在近地点的速率为v1、加速度大小为a1、到地心距离为r1，卫星在远地点的速率为v2、加速度大小为a2、到地心距离为r2，则( )
A．a1v12
C．a2r2>v22 D．a1r1＝v12
答案 C
解析 根据a＝eq \f(GM,r2)，因r1a2，选项A错误；若卫星在近地点处以r1为半径做圆周运动，则a1＝eq \f(v2,r1)，有a1r1＝v2；而卫星做椭圆运动，则在近地点的速度v1>v，所以a1r1v22，故B、D错误，C正确．
4.(卫星运行参量分析)(2019·江苏南京市、盐城市一模)如图4所示，甲、乙、丙是地球大气层外圆形轨道上的卫星，其质量大小关系为m甲＝m乙＜m丙，下列说法中正确的是( )
图4
A．乙、丙的周期相同，且小于甲的周期
B．乙、丙的线速度大小相同，且大于甲的线速度
C．乙、丙所需的向心力大小相同，且小于甲的向心力
D．乙、丙的向心加速度大小相同，且小于甲的向心加速度
答案 D
解析 由万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r＝ma，解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，a＝eq \f(GM,r2).由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知半径小的周期小，乙、丙的周期相同，且大于甲的周期，则A错误；由v＝eq \r(\f(GM,r))可知半径大的线速度小，则乙、丙的线速度大小相同，且小于甲的线速度，则B错误；由F＝eq \f(GMm,r2)可知丙的向心力大于乙的向心力，同质量下半径小的向心力大，甲的向心力大于乙的向心力，则C错误；由a＝eq \f(GM,r2)可知半径大的加速度小，则乙、丙的向心加速度大小相同，且小于甲的向心加速度，则D正确．
5．(卫星综合问题分析)美国火星探测器“洞察”号于2018年11月27日成功登陆火星，已知火星与地球绕太阳公转的轨道半径之比为3∶2，火星与地球的质量之比为1∶10，火星与地球的半径之比为1∶2，则( )
A．火星绕太阳的公转周期小于1年
B．“洞察”号减速下降登陆火星的过程中处于失重状态
C．火星绕太阳公转的向心加速度比地球小
D．地球和太阳的连线与火星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
答案 C
解析 研究火星和地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力得出：Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，M为太阳的质量，r为轨道半径，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，通过T的表达式发现公转轨道半径大的周期长，即火星公转的周期比地球的长，即大于1年，故A错误；“洞察”号减速下降登陆火星的过程中具有向上的加速度，处于超重状态，故B错误；研究火星和地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力得出：Geq \f(Mm,r2)＝ma，得：a＝eq \f(GM,r2)，M为太阳的质量，r为轨道半径，火星公转的轨道半径大于地球公转的轨道半径，通过a的表达式发现公转轨道半径大的向心加速度小，即火星公转的向心加速度比地球公转的向心加速度小，故C正确；对同一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，故D错误．
1．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)知，eq \f(T2,r3)＝eq \f(4π2,GM)，则两卫星eq \f(TP2,TQ2)＝eq \f(rP3,rQ3).因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.
2．(2019·陕西榆林市第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．同步卫星运动的周期为2πeq \r(\f(R,g))
B．同步卫星运行的线速度大小为eq \r(gR＋h)
C．同步轨道处的重力加速度大小为(eq \f(R,R＋h))2g
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR2)
答案 C
解析 地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有：eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2R＋h,T2)，在地球表面附近，重力等于万有引力，有：mg＝eq \f(GMm,R2)，解得同步卫星运动的周期为：T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))，故A错误；根据万有引力提供向心力，有：eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(v2,R＋h)，解得同步卫星运行的线速度大小为：v＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，故B错误；根据万有引力提供向心力，有：Geq \f(Mm,R＋h2)＝mg′，解得g′＝(eq \f(R,R＋h))2g，故C正确；由mg＝eq \f(GMm,R2)得：M＝eq \f(gR2,G)，故地球的平均密度为：ρ＝eq \f(M,\f(4πR3,3))＝eq \f(3g,4πGR)，故D错误．
3．(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日，“嫦娥四号”月球探测器成功软着陆在月球背面，成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图1所示，已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近，并在B处变轨进入半径为r、周期为T的环月圆轨道运行．已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
图1
A．图中探月卫星飞向B处的过程中速度越来越小
B．图中探月卫星飞向B处的过程中加速度越来越小
C．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小
D．由题中条件可以计算出月球的质量
答案 D
解析 探月卫星飞向B处时，万有引力增大，做正功，探月卫星动能增大，加速度增大，A、B选项错误；由于探月卫星质量未知，无法计算出探月卫星受到月球的引力大小，C选项错误；由eq \f(GMm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r可得：M＝eq \f(4π2r3,GT2)，D选项正确．
4．(2019·广西钦州市4月综测)2018年5月，我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km，质量约2.8×103 kg.已知地球半径约6.4×103 km，重力加速度取9.8 m/s2.则“高分五号”卫星( )
A．运行的速度小于7.9 km/s
B．运行的加速度大于9.8 m/s2
C．运行的线速度小于同步卫星的线速度
D．运行的角速度小于地球自转的角速度
答案 A
解析 第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，是发射卫星的最小速度，所以卫星的运行速度小于7.9 km/s，故A正确；由Geq \f(Mm,R2)＝ma可知，运行的加速度随着高度的增大而减小，故运行的加速度小于地面的重力加速度，即小于9.8 m/s2，故B错误；“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km，小于同步卫星的高度(同步卫星的高度约为地球半径的6倍)，根据eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)得：v＝eq \r(\f(GM,R))，故运行的线速度大于同步卫星的线速度，故C错误；地球的自转角速度与同步卫星相同，根据eq \f(GMm,R2)＝mω2R解得ω＝eq \r(\f(GM,R3))，轨道越高，角速度越小，故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度，故D错误．
5．(2019·西藏山南二中一模)为了观测地球表面的植被覆盖情况，中国发射了一颗人造卫星，卫星的轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的eq \f(1,4)，那么这个卫星绕地球一圈需要多长时间( )
A．12小时 B．1小时
C．6小时 D．3小时
答案 D
解析 地球同步卫星的周期为24小时，根据开普勒第三定律：eq \f(r同3,T同2)＝eq \f(r卫3,T卫2)，代入数据可得：T卫＝3小时，故D正确，A、B、C错误．
6．(2019·云南昆明市4月教学质量检测)已知地球质量为木星质量的p倍，地球半径为木星半径的q倍，下列说法正确的是( )
A．地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的eq \f(p,q2)倍
B．地球的第一宇宙速度是木星“第一宇宙速度”的eq \f(p,q)倍
C．地球近地圆轨道卫星的角速度为木星“近木”圆轨道卫星角速度的eq \r(\f(p3,q))倍
D．地球近地圆轨道卫星运行的周期为木星“近木”圆轨道卫星运行的周期的eq \f(q3,p)倍
答案 A
解析 万有引力提供向心力，则有：
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma
解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，a＝eq \f(GM,r2)
星球表面重力加速度为：g＝eq \f(GM,R2)；由g＝eq \f(GM,R2)可知地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的eq \f(p,q2)倍，故A正确；由v＝eq \r(\f(GM,r))可知第一宇宙速度为：v＝eq \r(\f(GM,R))，则地球的第一宇宙速度是木星的“第一宇宙速度”的eq \r(\f(p,q))倍，故B错误；由ω＝eq \r(\f(GM,r3))可知近地卫星的角速度ω＝eq \r(\f(GM,R3))，则地球近地卫星的角速度为木星“近木”卫星角速度的eq \r(\f(p,q3))倍，故C错误；由T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知近地卫星的周期T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，则地球近地卫星的周期为木星的“近木”卫星周期的eq \r(\f(q3,p))倍，故D错误．
7．(2020·河南郑州市模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体由静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.求：
(1)月球表面重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面高度．
答案 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2R2h,Gt2) eq \r(\f(2hR,t2)) (3) eq \r(3,\f(T2R2h,2π2t2))－R
解析 (1)由自由落体运动规律有：h＝eq \f(1,2)gt2，
所以有：g＝eq \f(2h,t2).
(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg＝meq \f(v2,R)，
所以：v＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(2hR,t2))
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则有：
mg＝eq \f(GMm,R2)
所以M＝eq \f(2R2h,Gt2).
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：eq \f(GMm,R＋h′2)＝meq \f(v12,R＋h′)＝m(R＋h′)eq \f(4π2,T2)
解得h′＝eq \r(3,\f(T2R2h,2π2t2))－R.
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)