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2022步步高大一轮复习--物理 第四章 曲线运动 万有引力与航天 专题强化五天体运动的“三类热点”学案
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这是一份2022步步高大一轮复习--物理 第四章 曲线运动 万有引力与航天 专题强化五天体运动的“三类热点”学案，共15页。
2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解．
3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
2．同步卫星问题的“四点”注意
(1)基本关系：Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r.
(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
(3)物理规律：
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行．
(4)重要条件：
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
3．两个向心加速度
4.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．
例1 (2019·江苏如东中学、茶中学联考)如图1所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星．B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星．下列说法中正确的是( )
图1
A．卫星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度
B．A、B的线速度大小关系为vA＞vB
C．B、C的线速度大小关系为vB＜vC
D．A、B、C周期大小关系为TA＝TC＞TB
答案 D
解析 第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大的环绕速度，由于卫星B的轨道半径大于地球的半径，则卫星B的速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误；对B、C，
根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)知，v＝eq \r(\f(GM,r))，C的轨道半径大于B的轨道半径，则vB＞vC，对于A、C，A、C的角速度相等，根据v＝rω知，vC＞vA，所以vB＞vA，故B、C错误；A、C的角速度相等，则A、C的周期相等，根据T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))知，半径大的周期大，则C的周期大于B的周期，故D正确．
变式1 (多选)(2020·甘肃兰州市调研)如图2所示，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( )
图2
A．它们均位于赤道正上方
B．它们的周期小于近地卫星的周期
C．它们离地面的高度都相同
D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯
答案 AC
解析 所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B项错误；据Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C项正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故D项错误．
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图3所示．
图3
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1例2 (多选)(2019·江苏南京市三模)“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建绕月轨道空间站．如图4所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地－月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列说法正确的是( )
图4
A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
B．宇宙飞船在地－月转移轨道的周期小于T
C．月球的质量为M＝eq \f(4π2r3,GT2)
D．月球的第一宇宙速度为v＝eq \f(2πR,T)
答案 AC
解析 根据圆周运动的供需平衡关系，从轨道比较高的椭圆变轨到轨道高度比较低的圆轨道，应减速，A正确；
根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知，地－月转移轨道的半长轴大于空间站圆周运动的半径，所以宇宙飞船在地－月转移轨道的周期大于T，B错误；
以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，所以M＝eq \f(4π2r3,GT2)，C正确；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，将C选项求得的M代入可得v＝eq \f(2πr,T)eq \r(\f(r,R))，D错误．
变式2 (2019·江苏海安市期末)如图5所示，两颗质量相等的卫星A、B，近地卫星A绕地球运动的轨迹为圆，B绕地球运动的轨迹为椭圆，轨迹在同一个平面内且相切于P点．则( )
图5
A．卫星A的周期比B短
B．卫星A的机械能比B大
C．在P点两卫星的线速度大小相等
D．在P点卫星A受到地球的万有引力比B大
答案 A
解析 根据开普勒第三定律，轨道半长轴越长，周期越长，故卫星A的周期比B短，A正确；在P点，A要加速做离心运动才能到达B所在的椭圆轨道，故在P点B卫星的线速度大，卫星B的机械能大，B、C错误；两卫星在经过同一点P时，由于与地球距离相等，故受到地球的万有引力大小相等，D错误．
变式3 (2019·江苏常州市新北区期中)如图6为某着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，然后改在圆轨道Ⅱ上运动，最后在椭圆轨道Ⅲ上运动，P点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点．已知PQ＝2QS＝2l，着陆器在轨道Ⅰ上经过P点的速度为v1，在轨道Ⅱ上经过P点的速度为v2，在轨道Ⅲ上经过P点的速度为v3，下列说法正确的是( )
图6
A．着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速
B．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比是eq \f(3\r(3),8)
C．着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度可表示为eq \f(2v22,3l)
D．着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度相等
答案 C
解析 着陆器由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需点火减速，使速度减到万有引力恰好提供着陆器做圆周运动所需要的向心力，故A错误；着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间均为相应轨道运行周期的一半，故时间之比等于周期之比：eq \f(tⅡ,tⅢ)＝eq \f(TⅡ,TⅢ)，根据开普勒第三定律：eq \f(RⅡ3,TⅡ2)＝eq \f(aⅢ3,TⅢ2)，可得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(RⅡ,aⅢ)))3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(TⅡ,TⅢ)))2，据题有RⅡ＝1.5l，aⅢ＝l，得eq \f(TⅡ,TⅢ)＝eq \f(3\r(6),4)，故B错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，知着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度与在轨道Ⅱ上经过P点的加速度相等，为a＝eq \f(v22,RⅡ)＝eq \f(2v22,3l)，故C正确；根据a＝eq \f(GM,r2)，知着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等，方向相反，故D错误．
1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图7所示．
图7
2．特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
(3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
(5)双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
(6)双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示．每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①
eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得eq \f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq \f(ω2l3,G)，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．
变式4 (2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
图8
A．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,π2))
B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为eq \r(3)∶1
答案 A
解析 两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即Meq \f(4π2,T2)rA＝3Meq \f(4π2,T2)rB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝eq \f(3,4)L，根据牛顿第二定律有：Meq \f(4π2,T2)rA＝Geq \f(3M2,L2)，解得L＝ eq \r(3,\f(GMT2,π2))，选项A正确；由v＝eq \f(2π,T)r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
1.(多选)(2019·江苏南京市、盐城市二模)如图9所示，甲、乙两颗人造卫星在各自的椭圆轨道上绕地球运行，两轨道相切于P点．不计大气阻力，下列说法正确的有( )
图9
A．甲的机械能一定比乙的大
B．甲的运行周期比乙的大
C．甲、乙分别经过P点的速度大小相等
D．甲、乙分别经过P点的加速度大小相等
答案 BD
解析 两颗卫星的质量关系不确定，则不能确定两颗卫星的机械能的大小关系，选项A错误；甲的半长轴大于乙的半长轴，根据开普勒第三定律可知，甲的运行周期比乙的大，选项B正确；乙经过P点时需点火加速才能进入甲的轨道，故甲、乙分别经过P点的速度大小不相等，选项C错误；根据a＝eq \f(GM,r2)可知，甲、乙分别经过P点的加速度大小相等，选项D正确．
2.(2016·四川卷·3)如图10所示，国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图10
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
答案 D
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，Geq \f(Mm,r2)＝ma，由题目中数据可以得出，r1a2>a3，选项D正确．
3.(2019·辽宁大连市第二次模拟)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ，如图11所示.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图1所示，B为近月点，A为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是( )
图11
A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态
C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加
D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力有：Geq \f(Mm,r2)＝ma，B点距月心更近，所以加速度更大，A错误；在轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以处于失重状态，B错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C错误；从A点到B点，万有引力做正功，动能增大，所以B点动能大，D正确．
4．(2019·山东潍坊市二模)如图12所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M点与空间站对接，航天飞机在即将到达M点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是( )
图12
A．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期
B．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态
C．航天飞机与空间站对接前后机械能增加
D．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变
答案 A
解析 因航天飞机沿椭圆轨道运行的半长轴大于空间站运动的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期，选项A正确；航天飞机在对接前接近月球的短暂减速过程中，加速度方向背离月球，则机内物体处于超重状态，选项B错误；航天飞机与空间站对接前后因速度不变，则机械能守恒，选项C错误；航天飞机在对接前短暂减速过程要克服阻力做功，则机械能减小，选项D错误．
1.(多选)(2019·福建泉州市第一次质量检查)如图1，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则( )
图1
A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B．卫星经过a点的速率为经过b点的eq \r(2)倍
C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
答案 CD
解析 由题意可知，轨道Ⅱ的半长轴a2＝eq \f(3R1,2)，则由开普勒第三定律有：eq \f(a23,T22)＝eq \f(R13,T12)，解得：eq \f(T2,T1)＝eq \f(3,2)eq \r(\f(3,2))，故A错误；由公式v＝eq \r(\f(GM,r))可知，如果卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动，卫星经过两个轨道交点的速率为经过b点的eq \r(2)倍，但卫星在Ⅰ轨道经过加速才能做椭圆运动，所以卫星经过a点的速率不是经过b点的eq \r(2)倍，故B错误；由公式a＝eq \f(GM,r2)可知，卫星在a点的加速度大小是在c点的4倍，故C正确；卫星越高，发射过程中要克服引力做的功越多，所以质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确．
2．(2020·山西太原市调研)2018年12月12日，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图2所示( )
图2
A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同
B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小
C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期
D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样
答案 B
解析 嫦娥四号在地月转移轨道的P点是近月点，速度比较大，要进入100公里环月轨道，需点火减速，使得万有引力等于所需要的向心力．所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道嫦娥四号需要点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道上运动的周期大于在椭圆环月轨道上运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．
3.(多选)如图3为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则( )
图3
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
答案 BD
解析 设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：Geq \f(mAmB,L2)＝mAω2RA, Geq \f(mAmB,L2)＝mBω2RB，距离关系为：RA＋RB＝L，联立解得：eq \f(mA,mB)＝eq \f(RB,RA)，因为RA>RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝eq \f(2π,ω)，联立可得周期为：T＝2πeq \r(\f(L3,GM))，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确．
4．(2019·山东济宁市第二次摸底)设月球和地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r1、r2；向心加速度大小分别为a1、a2；环绕速度大小分别为v1、v2.下列关系式正确的是( )
A．r1＜r2 B．a1>a2
C.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1) D．a1r12＝a2r22
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，因为同步卫星周期与地球自转周期相同，小于月球公转周期，所以r1>r2，a15．(2019·山西运城市5月适应性测试)2018年5月21日，我国成功发射了为探月任务执行通信中继服务的“鹊桥”卫星，并定点在如图4所示的地月连线外侧的位置上．“鹊桥”卫星在位置L2时，受到地球和月球共同的引力作用，不需要消耗燃料就可以与月球保持相对静止，且与月球一起绕地球运动．“鹊桥”卫星、月球绕地球运动的加速度分别为a鹊、a月，线速度大小分别为v鹊、v月，周期分别为T鹊、T月，轨道半径分别为r鹊、r月，下列关系正确的是( )
图4
A．T鹊C．v鹊>v月 D.eq \f(T鹊2,r鹊3)＝eq \f(T月2,r月3)
答案 C
解析 因为“鹊桥”卫星与月球一起绕地球运动，与月球保持相对静止，所以周期相同：T鹊＝T月，A错误；
对月球有：a月＝eq \f(4π2,T月2)r月，
对卫星有：a鹊＝eq \f(4π2,T鹊2)r鹊，
因为周期相同，所以a鹊>a月，B错误；
根据v＝eq \f(2πr,T)，周期相同，而卫星的半径大，所以卫星线速度大，v鹊>v月，C正确；因为周期相同，而半径不同，且卫星半径大，所以eq \f(T鹊2,r鹊3)6.(多选)(2019·江苏南通、泰州、扬州等七市二模联考)2018年11月，我国以“一箭双星”的方式成功发射了第四十二、四十三颗北斗导航卫星，北斗系统开始提供全球服务．这两颗卫星的轨道介于近地球轨道和地球同步轨道之间，属于中圆轨道．如图5所示，用1、2、3分别代表近地、中圆和地球同步轨道上的三颗卫星，关于它们运行的线速度v、角速度ω、加速度a及周期T，下列结论中正确的是( )
图5
A．v1>v2>v3 B．ω1<ω2<ω3
C．a1>a2>a3 D．T1答案 ACD
解析 由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知：v2∝eq \f(1,r)，A正确；由公式Geq \f(Mm,r2)＝mω2r可知：ω2∝eq \f(1,r3)，B错误；由公式eq \f(GMm,r2)＝ma可知：a∝eq \f(1,r2)，C正确；由T∝eq \f(1,ω)可知，D正确．
7．(多选)(2019·江苏徐州、连云港、淮安三市联考)2018年11月19日发射的北斗导航卫星进入离地面高度约为2.1×104 km的轨道，绕地球做匀速圆周运动，则该卫星的( )
A．发射速度大于第一宇宙速度
B．运转速度大于第一宇宙速度
C．运转周期大于地球自转周期
D．向心加速度小于地球表面处重力加速度
答案 AD
解析 若卫星恰好在地面附近绕地球做匀速圆周运动，其运转速度为第一宇宙速度，理论上此时的发射速度恰好也为第一宇宙速度，根据题意：发射的北斗导航卫星进入离地面高度约为2.1×104 km的轨道，可知其发射速度应大于第一宇宙速度，并且由于轨道半径增大，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知v＝eq \r(\f(GM,r))，该卫星的运转速度小于第一宇宙速度，故选项A正确，B错误；地球同步卫星距离地面高度为h＝3.6×104 km，其周期等于地球自转周期，而北斗导航卫星离地面高度约为2.1×104 km，根据Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，知T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故轨道半径越小，周期越小，故北斗导航卫星的周期小于地球同步卫星的周期，即小于地球自转周期，故选项C错误；对北斗导航卫星应用牛顿第二定律：Geq \f(Mm,r2)＝ma，则a＝eq \f(GM,r2)，在地面处有：Geq \f(Mm,R2)＝mg，则g＝Geq \f(M,R2)，由于r>R，则a8.(多选)(2019·湖南娄底市下学期第二次模拟)如图6所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )
图6
A．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
B．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
C．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
D．地球的质量可表示为eq \f(4π2R＋h3,GT2)
答案 AD
解析 在轨道Ⅰ上A点时点火减速变轨进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知v＝eq \r(\f(GM,r))，则在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率，即在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，故A正确；从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，引力做正功，动能增加，引力势能减小，在A点和B点变轨过程中，发动机点火减速运动，则机械能减小，即在轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能大，故B错误；根据公式Geq \f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq \f(GM,r2)，所以距离地球越近，向心加速度越大，故从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，故C错误；在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，故D正确．
卫星绕地球运行的向心加速度
物体随地球自转的向心加速度
产生原因
由万有引力产生
由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向
指向地心
垂直且指向地轴
大小
a＝eq \f(GM,r2)(地面附近a近似等于g)
a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点
随卫星到地心的距离的增大而减小
从赤道到两极逐渐减小
2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解．
3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
2．同步卫星问题的“四点”注意
(1)基本关系：Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r.
(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
(3)物理规律：
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行．
(4)重要条件：
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
3．两个向心加速度
4.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．
例1 (2019·江苏如东中学、茶中学联考)如图1所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星．B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星．下列说法中正确的是( )
图1
A．卫星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度
B．A、B的线速度大小关系为vA＞vB
C．B、C的线速度大小关系为vB＜vC
D．A、B、C周期大小关系为TA＝TC＞TB
答案 D
解析 第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大的环绕速度，由于卫星B的轨道半径大于地球的半径，则卫星B的速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误；对B、C，
根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)知，v＝eq \r(\f(GM,r))，C的轨道半径大于B的轨道半径，则vB＞vC，对于A、C，A、C的角速度相等，根据v＝rω知，vC＞vA，所以vB＞vA，故B、C错误；A、C的角速度相等，则A、C的周期相等，根据T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))知，半径大的周期大，则C的周期大于B的周期，故D正确．
变式1 (多选)(2020·甘肃兰州市调研)如图2所示，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( )
图2
A．它们均位于赤道正上方
B．它们的周期小于近地卫星的周期
C．它们离地面的高度都相同
D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯
答案 AC
解析 所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B项错误；据Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C项正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故D项错误．
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图3所示．
图3
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1
图4
A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
B．宇宙飞船在地－月转移轨道的周期小于T
C．月球的质量为M＝eq \f(4π2r3,GT2)
D．月球的第一宇宙速度为v＝eq \f(2πR,T)
答案 AC
解析 根据圆周运动的供需平衡关系，从轨道比较高的椭圆变轨到轨道高度比较低的圆轨道，应减速，A正确；
根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k可知，地－月转移轨道的半长轴大于空间站圆周运动的半径，所以宇宙飞船在地－月转移轨道的周期大于T，B错误；
以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，所以M＝eq \f(4π2r3,GT2)，C正确；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，将C选项求得的M代入可得v＝eq \f(2πr,T)eq \r(\f(r,R))，D错误．
变式2 (2019·江苏海安市期末)如图5所示，两颗质量相等的卫星A、B，近地卫星A绕地球运动的轨迹为圆，B绕地球运动的轨迹为椭圆，轨迹在同一个平面内且相切于P点．则( )
图5
A．卫星A的周期比B短
B．卫星A的机械能比B大
C．在P点两卫星的线速度大小相等
D．在P点卫星A受到地球的万有引力比B大
答案 A
解析 根据开普勒第三定律，轨道半长轴越长，周期越长，故卫星A的周期比B短，A正确；在P点，A要加速做离心运动才能到达B所在的椭圆轨道，故在P点B卫星的线速度大，卫星B的机械能大，B、C错误；两卫星在经过同一点P时，由于与地球距离相等，故受到地球的万有引力大小相等，D错误．
变式3 (2019·江苏常州市新北区期中)如图6为某着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，然后改在圆轨道Ⅱ上运动，最后在椭圆轨道Ⅲ上运动，P点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点．已知PQ＝2QS＝2l，着陆器在轨道Ⅰ上经过P点的速度为v1，在轨道Ⅱ上经过P点的速度为v2，在轨道Ⅲ上经过P点的速度为v3，下列说法正确的是( )
图6
A．着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速
B．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比是eq \f(3\r(3),8)
C．着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度可表示为eq \f(2v22,3l)
D．着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度相等
答案 C
解析 着陆器由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需点火减速，使速度减到万有引力恰好提供着陆器做圆周运动所需要的向心力，故A错误；着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间均为相应轨道运行周期的一半，故时间之比等于周期之比：eq \f(tⅡ,tⅢ)＝eq \f(TⅡ,TⅢ)，根据开普勒第三定律：eq \f(RⅡ3,TⅡ2)＝eq \f(aⅢ3,TⅢ2)，可得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(RⅡ,aⅢ)))3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(TⅡ,TⅢ)))2，据题有RⅡ＝1.5l，aⅢ＝l，得eq \f(TⅡ,TⅢ)＝eq \f(3\r(6),4)，故B错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，知着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度与在轨道Ⅱ上经过P点的加速度相等，为a＝eq \f(v22,RⅡ)＝eq \f(2v22,3l)，故C正确；根据a＝eq \f(GM,r2)，知着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等，方向相反，故D错误．
1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图7所示．
图7
2．特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
(3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
(5)双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
(6)双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示．每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①
eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得eq \f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq \f(ω2l3,G)，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．
变式4 (2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
图8
A．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,π2))
B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为eq \r(3)∶1
答案 A
解析 两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即Meq \f(4π2,T2)rA＝3Meq \f(4π2,T2)rB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝eq \f(3,4)L，根据牛顿第二定律有：Meq \f(4π2,T2)rA＝Geq \f(3M2,L2)，解得L＝ eq \r(3,\f(GMT2,π2))，选项A正确；由v＝eq \f(2π,T)r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．
1.(多选)(2019·江苏南京市、盐城市二模)如图9所示，甲、乙两颗人造卫星在各自的椭圆轨道上绕地球运行，两轨道相切于P点．不计大气阻力，下列说法正确的有( )
图9
A．甲的机械能一定比乙的大
B．甲的运行周期比乙的大
C．甲、乙分别经过P点的速度大小相等
D．甲、乙分别经过P点的加速度大小相等
答案 BD
解析 两颗卫星的质量关系不确定，则不能确定两颗卫星的机械能的大小关系，选项A错误；甲的半长轴大于乙的半长轴，根据开普勒第三定律可知，甲的运行周期比乙的大，选项B正确；乙经过P点时需点火加速才能进入甲的轨道，故甲、乙分别经过P点的速度大小不相等，选项C错误；根据a＝eq \f(GM,r2)可知，甲、乙分别经过P点的加速度大小相等，选项D正确．
2.(2016·四川卷·3)如图10所示，国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图10
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
答案 D
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，Geq \f(Mm,r2)＝ma，由题目中数据可以得出，r1
3.(2019·辽宁大连市第二次模拟)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ，如图11所示.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图1所示，B为近月点，A为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是( )
图11
A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态
C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加
D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力有：Geq \f(Mm,r2)＝ma，B点距月心更近，所以加速度更大，A错误；在轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以处于失重状态，B错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C错误；从A点到B点，万有引力做正功，动能增大，所以B点动能大，D正确．
4．(2019·山东潍坊市二模)如图12所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M点与空间站对接，航天飞机在即将到达M点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是( )
图12
A．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期
B．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态
C．航天飞机与空间站对接前后机械能增加
D．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变
答案 A
解析 因航天飞机沿椭圆轨道运行的半长轴大于空间站运动的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期，选项A正确；航天飞机在对接前接近月球的短暂减速过程中，加速度方向背离月球，则机内物体处于超重状态，选项B错误；航天飞机与空间站对接前后因速度不变，则机械能守恒，选项C错误；航天飞机在对接前短暂减速过程要克服阻力做功，则机械能减小，选项D错误．
1.(多选)(2019·福建泉州市第一次质量检查)如图1，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则( )
图1
A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B．卫星经过a点的速率为经过b点的eq \r(2)倍
C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
答案 CD
解析 由题意可知，轨道Ⅱ的半长轴a2＝eq \f(3R1,2)，则由开普勒第三定律有：eq \f(a23,T22)＝eq \f(R13,T12)，解得：eq \f(T2,T1)＝eq \f(3,2)eq \r(\f(3,2))，故A错误；由公式v＝eq \r(\f(GM,r))可知，如果卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动，卫星经过两个轨道交点的速率为经过b点的eq \r(2)倍，但卫星在Ⅰ轨道经过加速才能做椭圆运动，所以卫星经过a点的速率不是经过b点的eq \r(2)倍，故B错误；由公式a＝eq \f(GM,r2)可知，卫星在a点的加速度大小是在c点的4倍，故C正确；卫星越高，发射过程中要克服引力做的功越多，所以质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确．
2．(2020·山西太原市调研)2018年12月12日，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图2所示( )
图2
A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同
B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小
C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期
D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样
答案 B
解析 嫦娥四号在地月转移轨道的P点是近月点，速度比较大，要进入100公里环月轨道，需点火减速，使得万有引力等于所需要的向心力．所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道嫦娥四号需要点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道上运动的周期大于在椭圆环月轨道上运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．
3.(多选)如图3为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则( )
图3
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
答案 BD
解析 设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：Geq \f(mAmB,L2)＝mAω2RA, Geq \f(mAmB,L2)＝mBω2RB，距离关系为：RA＋RB＝L，联立解得：eq \f(mA,mB)＝eq \f(RB,RA)，因为RA>RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝eq \f(2π,ω)，联立可得周期为：T＝2πeq \r(\f(L3,GM))，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确．
4．(2019·山东济宁市第二次摸底)设月球和地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r1、r2；向心加速度大小分别为a1、a2；环绕速度大小分别为v1、v2.下列关系式正确的是( )
A．r1＜r2 B．a1>a2
C.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1) D．a1r12＝a2r22
答案 D
解析 根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，因为同步卫星周期与地球自转周期相同，小于月球公转周期，所以r1>r2，a1
图4
A．T鹊
答案 C
解析 因为“鹊桥”卫星与月球一起绕地球运动，与月球保持相对静止，所以周期相同：T鹊＝T月，A错误；
对月球有：a月＝eq \f(4π2,T月2)r月，
对卫星有：a鹊＝eq \f(4π2,T鹊2)r鹊，
因为周期相同，所以a鹊>a月，B错误；
根据v＝eq \f(2πr,T)，周期相同，而卫星的半径大，所以卫星线速度大，v鹊>v月，C正确；因为周期相同，而半径不同，且卫星半径大，所以eq \f(T鹊2,r鹊3)
图5
A．v1>v2>v3 B．ω1<ω2<ω3
C．a1>a2>a3 D．T1
解析 由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知：v2∝eq \f(1,r)，A正确；由公式Geq \f(Mm,r2)＝mω2r可知：ω2∝eq \f(1,r3)，B错误；由公式eq \f(GMm,r2)＝ma可知：a∝eq \f(1,r2)，C正确；由T∝eq \f(1,ω)可知，D正确．
7．(多选)(2019·江苏徐州、连云港、淮安三市联考)2018年11月19日发射的北斗导航卫星进入离地面高度约为2.1×104 km的轨道，绕地球做匀速圆周运动，则该卫星的( )
A．发射速度大于第一宇宙速度
B．运转速度大于第一宇宙速度
C．运转周期大于地球自转周期
D．向心加速度小于地球表面处重力加速度
答案 AD
解析 若卫星恰好在地面附近绕地球做匀速圆周运动，其运转速度为第一宇宙速度，理论上此时的发射速度恰好也为第一宇宙速度，根据题意：发射的北斗导航卫星进入离地面高度约为2.1×104 km的轨道，可知其发射速度应大于第一宇宙速度，并且由于轨道半径增大，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知v＝eq \r(\f(GM,r))，该卫星的运转速度小于第一宇宙速度，故选项A正确，B错误；地球同步卫星距离地面高度为h＝3.6×104 km，其周期等于地球自转周期，而北斗导航卫星离地面高度约为2.1×104 km，根据Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，知T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故轨道半径越小，周期越小，故北斗导航卫星的周期小于地球同步卫星的周期，即小于地球自转周期，故选项C错误；对北斗导航卫星应用牛顿第二定律：Geq \f(Mm,r2)＝ma，则a＝eq \f(GM,r2)，在地面处有：Geq \f(Mm,R2)＝mg，则g＝Geq \f(M,R2)，由于r>R，则a
图6
A．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
B．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
C．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
D．地球的质量可表示为eq \f(4π2R＋h3,GT2)
答案 AD
解析 在轨道Ⅰ上A点时点火减速变轨进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可知v＝eq \r(\f(GM,r))，则在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率，即在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，故A正确；从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，引力做正功，动能增加，引力势能减小，在A点和B点变轨过程中，发动机点火减速运动，则机械能减小，即在轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能大，故B错误；根据公式Geq \f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq \f(GM,r2)，所以距离地球越近，向心加速度越大，故从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，故C错误；在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，故D正确．
卫星绕地球运行的向心加速度
物体随地球自转的向心加速度
产生原因
由万有引力产生
由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向
指向地心
垂直且指向地轴
大小
a＝eq \f(GM,r2)(地面附近a近似等于g)
a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点
随卫星到地心的距离的增大而减小
从赤道到两极逐渐减小
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