人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）一课一练

第五章 三角函数双基

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心所对的弧长为（    ）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，记，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

3．若，则满足的所有的和为（    ）

A． B． C． D．

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若关于的方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，是函数在上的两个零点，则（    ）

A． B． C． D．0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

10．将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．在上的值域为

C．的图象关于点对称

D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

11．下列说法正确的是（    ）

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．的角是周角的，的角是周角的

C．的角比的角要大

D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

12．把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断，其中正确的是（    ）

A．函数的解析式为

B．函数图象关于点对称

C．函数在上是增函数

D．函数在上的最小值为，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知两角和为弧度，且两角差为，则这两个角的弧度数分别是__________．

14．已知直线与曲线切于点，且直线与曲线交于点，若，则的值为________．

15．已知，则________．

16．若钝角满足，则______，且函数的单调增区间为______．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知．

（1）写出所有与终边相同的角；

（2）写出在内与终边相同的角；

（3）若角与终边相同，则是第几象限的角？

18．（12分）已知扇形的圆心角为，半径长为，求：

（1）弧的长；

（2）扇形所含弓形的面积．

19．（12分）已知函数．

（1）若，解方程，其中；

（2）若函数在区间内有个零点，求实数的范围．

20．（12分）已知函数．

（1）化简；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求的值．

21．（12分）已知中，函数的最大值为．

（1）求的大小；

（2）若，方程在内有两个不同的解，求实数取值范围．

22．（12分）函数的部分图像如图所示．

（1）求的解析式；

（2）若，，求的取值范围；

（3）求实数的正整数，使得函数在上恰有个零点．

第五章双基训练金卷

三角函数（一）答 案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】连接圆心与弦的中点，则以弦心距，弦长的一半和半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为，

这个圆心角所对弧长为，故选D．

2．【答案】A

【解析】由三角函数定义知，，，故选A．

3．【答案】D

【解析】因为，

所以，

所以或，即或，

因为，所以，，，，，，

则满足条件的所有的和为，故选D．

4．【答案】A

【解析】因为，

所以，

即，

∴，即，

其中，，

，，，，

∴，

，

∴，故选A．

5．【答案】B

【解析】因为，并且，

所以；

因为，

所以，

故选B．

6．【答案】A

【解析】由题意得，

，

，，

若关于的方程在内有两个不同的解，

根据正弦函数的图象知，故选A．

7．【答案】C

【解析】可以看出是一个锐角，故，

又，故，

又，而，故，

从而得到，故选C．

8．【答案】B

【解析】令，得，

令，即，

则，即为与直线在上交点的横坐标，

由图象可知，，故，

又，所以

，

故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】CD

【解析】

．

作出函数的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，

易得或满足题意，

所以的值可能为区间内的任意实数，

所以A，B可能，C，D不可能，故选CD．

10．【答案】ABD

【解析】

，

∴，

对于A，当时，，∴关于直线对称，A正确；

对于B，当时，，∴，

∴，B正确；

对于C，当时，，，关于点对称，C错误；

对于D，向右平移个单位得，D正确，

故选ABD．

11．【答案】ABC

【解析】由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以是正确的；

对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；

对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；

对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的，

故选ABC．

12．【答案】BD

【解析】将函数的图象向左平移个单位得到的图象，

然后纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象，所以A不正确；

，

所以函数图象关于点对称，所以B正确；

由，，得，，

即函数的单调增区间为，，

当时，增区间为，所以C不正确；

，当时，，

故，

所以当，即时，函数取得最小值，

，所以，所以D正确，

故选BD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】，

【解析】设两个角的弧度分别为，，

又由，所以，解得，

即所求两角的弧度数分别为，．

14．【答案】

【解析】由题意，∴直线的方程为，

又直线过，∴，

由，得，

∴，整理得，∴，

故答案为．

15．【答案】

【解析】由题意

，

所以，

所以，

故答案为．

16．【答案】，

【解析】∵，则，

∵，，则，解得．

，

解不等式，解得，

所以，函数的单调递增区间为，

故答案为；．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2），，；（3）第一、三象限．

【解析】（1）所有与终边相同的角可表示为．

（2）由（1）令，则有，

又∵，∴取，，，

故在内与终边相同的角是，，．

（3）由（1）有，则，，

当为偶数时，在第一象限；

当为奇数时，在第三象限，

∴是第一、三象限的角．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），所以弧的长为．

（2），

如图所示，过点作，交于点，，

所以，，

于是有，

所以弓形的面积为，

所以弓形的面积是．

19．【答案】（1），，，；（2）．

【解析】（1）∵，

当时，，

∴，得，

∴，即，

所以或(舍去)，

∵，则或，，

∵，故，，，，

所以方程的解为，，，．

（2）∵，

∴，即，

∵在，当有两不同的因变量，结合正弦函数图像可知：

则在有个不同的自变量与之对应．

令，

则，

要保证在上有个不同的零点：

则，解得，

故，

综上所述：．

20．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）．

（2），

因为，所以，可得，

结合，，

所以．

（3）由（2）得，即为，

联立，解得，

所以．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）

，

故，故，

因为，故．

（2），

故，

令，，则的图象如图所示：

又，考虑在上的解，

若，则或．

当时，方程的解为，此时有两解或，

故方程在内有两个不同的解，符合；

当时，方程的解为，此时仅有一解，

故方程在内有一个解，舍．

若，则或，

此时在有两个不同的实数根（），

当时，则，，

要使得方程在内有两个不同的解，

则，．

令，则，解得；

当时，则，且，故，，

要使得方程在内有两个不同的解，

则，，故，此时，符合，

综上，的取值范围为．

22．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．

【解析】（1）由图可得，即，，

∴，∴，，

∴，．

（2）∵，∴，∴，

令，则由题意得恒成立，

由二次函数图像可知只需，，

解得．

（3）由题意可得的图像与直线在上恰有个交点．

在上，，

①当或时，的图像与直线在上无交点；

②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，

此时的图像与直线在上恰有个交点，则．

③当或时，的图像与直线在恰有个交点，

的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点．

④当时，的图像与直线在恰有个交点，

此时，才能使的图像与直线在上有个交点．

综上可得，当或时，；当时，．