2020-2021学年八年级下册期末重难点突破训练卷（二）

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1．（4分）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
2．（4分）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得．
【解答】解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并同类项，得：x＞﹣1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．（4分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．12ab＝3a•4b
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
D．3（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（3﹣c）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．（4分）已知分式A=4x2−4，B=1x+2+12−x，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）
A．A＝BB．A＝﹣BC．A＞BD．A＜B
【分析】先将B通分后变为同分母分式相加，再观察A、B关系即可得答案．
【解答】解：B=1x+2+12−x=1x+2−1x−2
=x−2(x+2)(x−2)−x+2(x+2)(x−2)
=−4(x+2)(x−2)，
而A=4(x+2)(x−2)，
∴A＝﹣B，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加减，解题的关键是将B通分变为同分母分式相加．
5．（4分）下列不等式变形，不成立的是（ ）
A．若m＜n，则m+1＜n+1B．若a2m＜a2n，则m＜n
C．若1﹣m＜1﹣n，则m＜nD．若m＜n，则m2＜n2
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、当m＜n，则m+1＜n+1，所以A选项的变形正确；
B、若a2m＜a2n，则a≠0，所以m＜n，所以B选项的变形正确；
C、若1﹣m＜1﹣n，则﹣m＜﹣n，所以m＞n，所以C选项的变形不正确；
D、若m＜n，则m2＜n2，所以D选项的变形正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
6．（4分）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ）
A．任意两边之和大于第三边
B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．至少有两个角是锐角
D．内角和等于180°
【分析】根据等腰直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：等腰直角三角形的顶角的平分线垂直于这个角的对边，一般直角三角形没有这个性质，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（4分）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
【解答】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，
c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，
（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
8．（4分）已知关于x的不等式4x+a3＞1的解都是不等式2x+13＞0的解，则a的范围是（ ）
A．a＝5B．a≥5C．a≤5D．a＜5
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解答】解：由4x+a3＞1得，x＞3−a4，
由2x+13＞0得，x＞−12，
∵关于x的不等式4x+a3＞1的解都是不等式2x+13＞0的解，
∴3−a4≥−12，
解得a≤5．
即a的取值范围是：a≤5．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于a的不等式是解题的关键．
9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD，过点A作AE⊥射线CD于点E，则∠CAE的度数是（ ）
A．90﹣αB．αC．90−α2D．α2
【分析】先利用旋转的性质得∠CBD＝α，BC＝BD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BCD＝90°−12α，然后利用互余表示出∠ACE，从而利用互余可得到∠CAE的度数．
【解答】解：∵线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD，
∴∠CBD＝α，BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴∠BCD=12（180°﹣α）＝90°−12α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCD＝90°﹣（90°−12α）=12α，
∵AE⊥CE，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°−12α．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
10．（4分）已知m2﹣n2＝mn，则nm−mn的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1D．−14
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵m2﹣n2＝mn，且mn≠0，
∴1=m2−n2mn=mn−nm，
即nm−mn=−1，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB=BDcs30°=23cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE=12AB=3cm
同理CF=3cm，
∴BM=BEcs30°=2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
12．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】证明：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）当x＝ 6 时，分式|x|−6x+6的值为0．
【分析】利用分式值为零的条件得到x+6＝0且|x|﹣6＝0，然后求出符合条件的x的值．
【解答】解：根据题意得x+6≠0且|x|﹣6＝0，
所以x＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．
14．（4分）使代数式4x−32的值不大于3x+5的值的x的最大整数值是 6 ．
【分析】根据题意列出不等式，求出解集即可确定出最大整数解．
【解答】解：根据题意得：4x−32≤3x+5，
去分母得：8x﹣3≤6x+10，
解得：x≤132，
则最大整数值为6，
故答案为：6
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（4分）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了 90 米．
【分析】小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为360°，判断多边形的边数，再求路程．
【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则20n＝360，解得n＝18，
∴他第一次回到出发点O时一共走了：5×18＝90米，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数．
16．（4分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 2 ．
【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP＝30°，根据直角三角形的性质得到PE=12PC＝2，根据角平分线的性质解答；
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC＝∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA＝∠POD＝15°，
∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，
∴PE=12PC＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（4分）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是 1 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE、DE∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到DF＝DB＝4，计算即可．
【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE=12AB＝5，DE∥AB，BD=12BC＝4，
∴∠ABF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝DB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
18．（4分）如图△ABC，AC＝BC＝13，把△ABC放在平面直角坐标系中，且点A、B的坐标分别为（2，0）、（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y＝﹣x+8上时，线段AC扫过的面积为 132 ．
【分析】AC扫过的图形为平行四边形，平移前C（7，12），平移后C'（﹣4，12）即可求解；
【解答】解：∵A、B的坐标分别为（2，0）、（12，0），AC＝BC＝13，
∴C（7，12），
当C移动到C'（﹣4，12）时，点C'在y＝﹣x+8上，
∴AC扫过的图形为平行四边形，
∴S＝12×11＝132；
故答案为132；
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，直线的运动轨迹；能够准确判断AC的运动轨迹和点C平移前后的坐标是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）；
（2）（2a+1）2﹣a2．
【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2a（x﹣y）+6b（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+3b）；
（2）原式＝（2a+1+a）（2a+1﹣a）
＝（3a+1）（a+1）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（10分）解不等式或不等式组．
（1）x+16−1≥2x−54；
（2）解不等式组x−32−3≥8①1−3(x−1)＜8+x②．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2（x+1）﹣12≥3（2x﹣5），
去括号，得：2x+2﹣12≥6x﹣15，
移项，得：2x﹣6x≥﹣15﹣2+12，
合并，得：﹣4x≥﹣5，
系数化为1，得：x≤54；
（2）解：由①得x≥25，
由②得x＞﹣1，
所以原不等式组的解集是：x≥25．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）计算：
（1）a−ca−b−c−bb−a；
（2）（1x−1−x+1）÷x−2x2−2x+1．
【分析】（1）根据分式的减法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）a−ca−b−c−bb−a
=a−ca−b+c−ba−b
=a−c+c−ba−b
=a−ba−b
＝1；
（2）（1x−1−x+1）÷x−2x2−2x+1
=1−(x−1)(x−1)x−1⋅(x−1)2x−2
=1−x2+2x−11⋅x−1x−2
=−x(x−2)1⋅x−1x−2
＝﹣x（x﹣1）
＝﹣x2+x．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
22．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；
（3）直接写出点B2、C2的坐标分别为 （4，﹣2） 、 （1，﹣3） ．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B2、C2的对应点即可；
（3）利用（2）所画图形写出点B2、C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点B2、C2的坐标分别为（4，﹣2），（1，﹣3）．
故答案为（4，﹣2），（1，﹣3）．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．
【分析】方法1、连接BE、DF，由已知证出四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
方法2、先判断出DE＝BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可．
【解答】证明：方法1，连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥BF，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OF＝OE．
方法2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
在△DOE和△BOF中，∠DOE=∠BOF∠ODE=∠OBFDE=BF，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
25．（10分）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
【解答】解：
（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程：1.5×15x=15x−0.5，
解得x＝1.5，
经检验x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；
（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路15−1.5a1=15﹣1.5a（天），
由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，
解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量（或不等）关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．
26．（12分）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM
为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①求∠AEB的度数；
②证明：AE＝BE+2CM．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD＝CE．
（2）①首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；
②根据DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，据此判断出AE＝BE+2CM即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
（2）解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝DM+EM＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．