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2021-2022学年人教版数学中考专题复习之圆 的 认 识课件PPT
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这是一份2021-2022学年人教版数学中考专题复习之圆 的 认 识课件PPT，共59页。PPT课件主要包含了平分弦，两条弧，垂直于弦，110°等内容，欢迎下载使用。
考点一 垂径定理及推论 【主干必备】垂径定理及推论1.垂径定理:垂直于弦的直径___________,并且平分弦所对的___________.
2.推论:平分弦(不是直径)的直径_____________,并且平分弦所对的___________.
【微点警示】(1)注意“知二推三”:一条直线满足:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对优弧,⑤平分弦所对劣弧,这五个结论中的两个,可以推得其他三个结论成立.
(2)注意“非直径”条件:若一条直径所平分的弦也是直径,则推论不成立.
【核心突破】【例1】【原型题】(2018·枣庄中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )A. B.2 C.2 D.8
【变形题】 (变换条件、结论)(2019·梧州中考)如图,在半径为 的☉O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是( )A.2 B.2 C.2 D.4
【明·技法】垂径定理运用中的“两注意”(1)两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.
(2)方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.
【题组过关】1.(2019·武汉硚口区模拟)半径为10的☉O中,弦AB=16,则点O到弦AB的距离为( )A.10B.8C.6D.5
2.(2019·北京海淀区模拟)如图,圆O的弦GH,EF,CD,AB中最短的是( )A.GHB.EFC.CDD.AB
3.(文化背景题)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题即:“如图所示,CD垂直平分弦AB,CD=1寸,AB=10寸,
求圆的直径”(1尺=10寸),根据题意直径长为( )A.10寸B.20寸C.13寸D.26寸
4.(易错警示题)在☉O中,半径为5,AB∥CD,且AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离为_________.
5.(2019·淄博周村区模拟)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4 cm,求球的半径长.
【解析】取EF的中点M,作MN⊥AD于点M,取MN上的球心O,连接OF,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDMN是矩形,∴MN=CD=4.设OF=x,则ON=OF,∴OM=MN-ON=4-x,MF=2,在直角三角形OMF中,OM2+MF2=OF2,
即:(4-x)2+22=x2,解得:x=2.5.∴球的半径长为2.5 cm.
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系【主干必备】圆心角、弧、弦之间的关系1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_____,所对的弦也_________.
2.推论:在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦中如果有一组量_________,那么它们所对应的其余各组量都分别_________.
【微点警示】(1)注意成立的条件:圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论成立的大前提是“在同圆或等圆中”.(2)注意推出的依据:圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论,都是来源于“圆的旋转不变性”.
【核心突破】【例2】(2019·南京中考)如图,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
【思路点拨】连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出 ,进而得出 ,根据等弧所对的圆周角相等得出∠ACP=∠CAP,根据等角对等边证得结论.
【自主解答】连接AC,∵AB=CD,
∴ ,∴ ∴∠ACP=∠CAP,∴PA=PC.
【明·技法】圆中证明弦相等的两个思路(1)根据圆周角相等,得到弦相等.(2)根据弧相等,得到弦相等.
【题组过关】1.如图,AB,CD是☉O的直径, ,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( )A.32°B.60°C.68°D.64°
2.(2019·张家口宣化模拟)如图,AB是☉O的直径,C是 的中点,连接OC,点E,F分别是OA,OC上的点,若EF∥AC,则∠EFC的度数为( )A.45°B.60°C.135°D.160°
3.(2019·十堰丹江口模拟)如图,☉O的半径是8,AB是☉O的直径,M为AB上一动点, ,则CM+DM的最小值为_______.
4.如图,A,B,C,D在☉O上,若AC=BD,求证:BC=AD.
【证明】∵AC=BD, ∴BC=AD.
考点三 圆周角定理及推论【主干必备】圆周角定理及推论1.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.
2.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_________,90°的圆周角所对的弦是_________. (2)同弧或等弧所对的圆周角_________.
【微点警示】(1)圆心角与圆周角的区别:前者的顶点在圆心,后者的顶点在圆上.(2)等弧的含义:在同圆或等圆中能够互相重合的弧为等弧.
【核心突破】【例3】(2019·滨州中考)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 ( )
A.60°B.50°C.40°D.20°
【明·技法】圆中角的转化(1)解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.
(2)在圆中当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件,若含45°角,可设法构造等腰直角三角形;若含30°或60°角,则设法构造含有30°角的直角三角形.
【题组过关】1.(2019·肇庆市封开县模拟)如图,点A,B,C是☉O上的三点,若∠BOC=50°,则∠A的度数是( )A.25°B.20°C.80°D.100°
2.(2018·阜新中考)AB是☉O的直径,点C在圆上,∠ABC=65°,那么∠OCA的度数是( )A.25°B.35°C.15°D.20°
3.(2019·厦门思明区模拟)如图,点A,B,C在☉O上,☉O半径为1 cm,∠ACB=30°,则AB的长是__________.
4.(综合训练题)如图,在平面直角坐标系中,已知☉A经过点E,B,C,O,且C(0,6),E(-8,0),O(0,0),则cs∠OBC的值为____.
5.(2019·武汉武昌区模拟)如图,BE是☉O的直径,半径OA⊥弦BC,点D为垂足,连接AE,EC.(1)若∠AEC=28°,求∠AOB的度数.(2)若∠BEA=∠B,EC=3,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OC.
∵半径OA⊥弦BC,∴ ,∴∠AOC=∠AOB,∵∠AOC=2∠AEC=56°,∴∠AOB=56°.
(2)∵BE是☉O的直径,∴∠ECB=90°,∴EC⊥BC,∵OA⊥BC,∴EC∥OA,∴∠A=∠AEC,∵OA=OE,∴∠A=∠OEA,∵∠BEA=∠B,
∴∠B=∠AEB=∠AEC=30°.∵EC=3,∴EB=2EC=6,∴☉O的半径为3.
考点四 圆内接四边形【主干必备】 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角_________.
【微点警示】(1)圆内接四边形的含义:四个顶点都在同一个圆上的四边形.(2)圆内接平行四边形:圆内接平行四边形对角相等且互补,可得四个角都是直角,因此它是矩形.
【核心突破】【例4】【原型题】(2018·淮安中考)如图,点A,B,C都在☉O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是( )A.70°B.80°C.110°D.140°
【变形题】(变换条件、结论)如图,A,B,C三点都在☉O上,点D是AB延长线上一点,∠CBD=70°,则∠AOC的度数为 ( )A.55°B.70°C.110°D.140°
【明·技法】圆内接四边形的角的“两种”关系(1)对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
【题组过关】1.(2019·连云港东海模拟)四边形ABCD内接于☉O,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )A.1∶2∶3∶4B.1∶3∶2∶4C.1∶4∶2∶3D.1∶2∶4∶3
2.(2018·邵阳中考)如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( )A.80°B.120°C.100°D.90°
3.如图,四边形ABCD内接于☉O,E为直径CD延长线上一点,且AB∥CD,若∠C=70°,则∠ADE的大小为__________.
4.(2019·镇江润州区模拟)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且 所对圆心角的度数为50°,求∠B+∠D的度数.
【解析】连接AB,DE,则∠ABE=∠ADE,∵ 所对圆心角的度数为50°,∴∠ABE=∠ADE=25°,∵点A,B,C,D在☉O上,∴四边形ABCD是圆内接四边形,
考点一 垂径定理及推论 【主干必备】垂径定理及推论1.垂径定理:垂直于弦的直径___________,并且平分弦所对的___________.
2.推论:平分弦(不是直径)的直径_____________,并且平分弦所对的___________.
【微点警示】(1)注意“知二推三”:一条直线满足:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对优弧,⑤平分弦所对劣弧,这五个结论中的两个,可以推得其他三个结论成立.
(2)注意“非直径”条件:若一条直径所平分的弦也是直径,则推论不成立.
【核心突破】【例1】【原型题】(2018·枣庄中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )A. B.2 C.2 D.8
【变形题】 (变换条件、结论)(2019·梧州中考)如图,在半径为 的☉O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是( )A.2 B.2 C.2 D.4
【明·技法】垂径定理运用中的“两注意”(1)两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.
(2)方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.
【题组过关】1.(2019·武汉硚口区模拟)半径为10的☉O中,弦AB=16,则点O到弦AB的距离为( )A.10B.8C.6D.5
2.(2019·北京海淀区模拟)如图,圆O的弦GH,EF,CD,AB中最短的是( )A.GHB.EFC.CDD.AB
3.(文化背景题)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题即:“如图所示,CD垂直平分弦AB,CD=1寸,AB=10寸,
求圆的直径”(1尺=10寸),根据题意直径长为( )A.10寸B.20寸C.13寸D.26寸
4.(易错警示题)在☉O中,半径为5,AB∥CD,且AB=6,CD=8,则AB,CD之间的距离为_________.
5.(2019·淄博周村区模拟)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4 cm,求球的半径长.
【解析】取EF的中点M,作MN⊥AD于点M,取MN上的球心O,连接OF,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDMN是矩形,∴MN=CD=4.设OF=x,则ON=OF,∴OM=MN-ON=4-x,MF=2,在直角三角形OMF中,OM2+MF2=OF2,
即:(4-x)2+22=x2,解得:x=2.5.∴球的半径长为2.5 cm.
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系【主干必备】圆心角、弧、弦之间的关系1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_____,所对的弦也_________.
2.推论:在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦中如果有一组量_________,那么它们所对应的其余各组量都分别_________.
【微点警示】(1)注意成立的条件:圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论成立的大前提是“在同圆或等圆中”.(2)注意推出的依据:圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论,都是来源于“圆的旋转不变性”.
【核心突破】【例2】(2019·南京中考)如图,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
【思路点拨】连接AC,由圆心角、弧、弦的关系得出 ,进而得出 ,根据等弧所对的圆周角相等得出∠ACP=∠CAP,根据等角对等边证得结论.
【自主解答】连接AC,∵AB=CD,
∴ ,∴ ∴∠ACP=∠CAP,∴PA=PC.
【明·技法】圆中证明弦相等的两个思路(1)根据圆周角相等,得到弦相等.(2)根据弧相等,得到弦相等.
【题组过关】1.如图,AB,CD是☉O的直径, ,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( )A.32°B.60°C.68°D.64°
2.(2019·张家口宣化模拟)如图,AB是☉O的直径,C是 的中点,连接OC,点E,F分别是OA,OC上的点,若EF∥AC,则∠EFC的度数为( )A.45°B.60°C.135°D.160°
3.(2019·十堰丹江口模拟)如图,☉O的半径是8,AB是☉O的直径,M为AB上一动点, ,则CM+DM的最小值为_______.
4.如图,A,B,C,D在☉O上,若AC=BD,求证:BC=AD.
【证明】∵AC=BD, ∴BC=AD.
考点三 圆周角定理及推论【主干必备】圆周角定理及推论1.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.
2.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_________,90°的圆周角所对的弦是_________. (2)同弧或等弧所对的圆周角_________.
【微点警示】(1)圆心角与圆周角的区别:前者的顶点在圆心,后者的顶点在圆上.(2)等弧的含义:在同圆或等圆中能够互相重合的弧为等弧.
【核心突破】【例3】(2019·滨州中考)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 ( )
A.60°B.50°C.40°D.20°
【明·技法】圆中角的转化(1)解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.
(2)在圆中当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件,若含45°角,可设法构造等腰直角三角形;若含30°或60°角,则设法构造含有30°角的直角三角形.
【题组过关】1.(2019·肇庆市封开县模拟)如图,点A,B,C是☉O上的三点,若∠BOC=50°,则∠A的度数是( )A.25°B.20°C.80°D.100°
2.(2018·阜新中考)AB是☉O的直径,点C在圆上,∠ABC=65°,那么∠OCA的度数是( )A.25°B.35°C.15°D.20°
3.(2019·厦门思明区模拟)如图,点A,B,C在☉O上,☉O半径为1 cm,∠ACB=30°,则AB的长是__________.
4.(综合训练题)如图,在平面直角坐标系中,已知☉A经过点E,B,C,O,且C(0,6),E(-8,0),O(0,0),则cs∠OBC的值为____.
5.(2019·武汉武昌区模拟)如图,BE是☉O的直径,半径OA⊥弦BC,点D为垂足,连接AE,EC.(1)若∠AEC=28°,求∠AOB的度数.(2)若∠BEA=∠B,EC=3,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OC.
∵半径OA⊥弦BC,∴ ,∴∠AOC=∠AOB,∵∠AOC=2∠AEC=56°,∴∠AOB=56°.
(2)∵BE是☉O的直径,∴∠ECB=90°,∴EC⊥BC,∵OA⊥BC,∴EC∥OA,∴∠A=∠AEC,∵OA=OE,∴∠A=∠OEA,∵∠BEA=∠B,
∴∠B=∠AEB=∠AEC=30°.∵EC=3,∴EB=2EC=6,∴☉O的半径为3.
考点四 圆内接四边形【主干必备】 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角_________.
【微点警示】(1)圆内接四边形的含义:四个顶点都在同一个圆上的四边形.(2)圆内接平行四边形:圆内接平行四边形对角相等且互补,可得四个角都是直角,因此它是矩形.
【核心突破】【例4】【原型题】(2018·淮安中考)如图,点A,B,C都在☉O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是( )A.70°B.80°C.110°D.140°
【变形题】(变换条件、结论)如图,A,B,C三点都在☉O上,点D是AB延长线上一点,∠CBD=70°,则∠AOC的度数为 ( )A.55°B.70°C.110°D.140°
【明·技法】圆内接四边形的角的“两种”关系(1)对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
【题组过关】1.(2019·连云港东海模拟)四边形ABCD内接于☉O,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )A.1∶2∶3∶4B.1∶3∶2∶4C.1∶4∶2∶3D.1∶2∶4∶3
2.(2018·邵阳中考)如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( )A.80°B.120°C.100°D.90°
3.如图,四边形ABCD内接于☉O,E为直径CD延长线上一点,且AB∥CD,若∠C=70°,则∠ADE的大小为__________.
4.(2019·镇江润州区模拟)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且 所对圆心角的度数为50°,求∠B+∠D的度数.
【解析】连接AB,DE,则∠ABE=∠ADE,∵ 所对圆心角的度数为50°,∴∠ABE=∠ADE=25°,∵点A,B,C,D在☉O上,∴四边形ABCD是圆内接四边形,
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