初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试当堂检测题
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试当堂检测题,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.,,B.,,C.,,D.,,
3.方程x(x﹣5)=x﹣5的根是( )
A.x=5B.x=0C.x1=5,x2=0D.x1=5,x2=1
4.已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=-3,则实数k的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
5.用配方法解方程,将其化成的形式,则变形正确的是( )
A.B.C.D.
6.一元二次方程的解的情况是( )
A.无解B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根D.只有一个解
7.某班学生毕业时都将自己的照片向全班其他学生各送一张以作留念,全班共送出1056张照片.如果全班有x名同学,根据题意,列出的方程为( )
A.B.
C.D.
8.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长,则的周长为( )
A.10B.10或8C.9D.8
9.已知a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根,则=( )
A.3B.-3C.D.-
10.关于x的一元二次方程,常数项为0,求m的值.下面是小莉和小轩的解题过程:
小莉:由题意,得,所以.
小轩:由题意,得,且,所以.
其中解题过程正确的是( )
A.两人都正确B.小轩正确,小莉不正确
C.小莉正确,小轩不正确D.两人都不正确
二、填空题(共20分)
11.已知:方程是一元二次方程,则a的值为______.
12.将一元二次方程x2﹣8x+5=0化成(x+a)2=b(a、b为常数)的形式,则a+b的值为___.
13.近年来某市加大了对教育经费的投入,2018年投入2500万元,2020年将投入3600万元,设该市投入教育经费的年平均增长率为,根据题意则可以列出的方程是______.
14.t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1=0的两个非负实根,则(a2-1)(b2-1)的最小值是____.
15.如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于“倍根方程”的说法,正确的有_____(填序号).
①方程是“倍根方程”;
②若是“倍根方程”,则;
③若满足,则关于x的方程是“倍根方程”;
④若方程是“倍根方程”,则必有.
三、解答题(共50分)
16.(6分)解下列方程:
(1)x2+4x﹣5=0 (2)(x﹣3)2=2(3﹣x)
17.(6分)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(4m+2)x+(3m+6)=0.
(1)试讨论该方程的根的情况并说明理由;
(2)无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,试求出这个根.
18.(6分)某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入,购买了33m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求鸡场的长(AB)和宽(BC);
(2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场,请直接回答:这一想法能实现吗?
19.(6分)某商店以每件40元的价格进了一批商品,出售价格经过两个月的调整,从每件50元上涨到每件72元,此时每月可售出188件商品.
(1)求该商品平均每月的价格增长率;
(2)因某些原因,商家需尽快将这批商品售出,决定降价出售.经过市场调查发现:售价每下降一元,每个月多卖出一件,设实际售价为x元,则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元.
20.(7分)阅读下面的材料:
解方程.
解:当时,原方程化为,
解得(不合题意,舍去);
当时,,矛盾,舍去;
当时,原方程化为
解得(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的根是.
请参照上面材料解方程.
(1);
(2).
21.(9分)如图,在长方形中,,,动点、分别从点、同时出发,点以2厘米/秒的速度向终点移动,点以1厘米/秒的速度向移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为,问:
(1)当秒时,四边形面积是多少?
(2)当为何值时,点和点距离是?
(3)当_________时,以点、、为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)
22.(10分)解题时,最容易想到的方法未必是最简单的,你可以再想一想,尽量优化解法.
例题呈现
关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=1,x2=-2(a、m、b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
解法探讨
(1)小明的思路如图所示,请你按照他的思路解决这个问题;
小明的思路
第1步 把1、-2代入到第1个方程中求出m的值;
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值;
第3步 解第2个方程.
(2)小红仔细观察两个方程,她把第2个方程a(x+m+2)2+b=0中的“x+2”看作第1个方程中的“x”,则“x+2”的值为 ,从而更简单地解决了问题.
策略运用
(3)小明和小红认真思考后发现,利用方程结构的特点,无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题,请用他们说的方法完成解答.
已知方程 (a2-2b2)x2+(2b2-2c2)x+2c2-a2=0有两个相等的实数根,其中a、b、c是△ABC三边的长,判断△ABC的形状.
参考答案
一、选择题
D 2.D 3.D 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A 9.B 10.B
二、填空题
11.9
12.7.
13.
14.-3
15.②③④
三、解答题
16.
解:(1)∵x2+4x-5=0,
∴(x+5)(x-1)=0,
则x+5=0或x-1=0,
解得x=-5或x=1;
(2)∵(x-3)2+2(x-3)=0,
∴(x-3)(x-1)=0,
则x-3=0或x-1=0,
解得x=3或x=1.
17.
解:(1)对于关于x的一元二次方程mx2﹣(4m+2)x+(3m+6)=0,
∵△=[﹣(4m+2)]2﹣4m(3m+6)=16m2+16m+4﹣12m2﹣24m=4m2﹣8m+4=4(m﹣1)2≥0,
∴关于x的一元二次方程mx2﹣(4m+2)x+(3m+6)=0有实数根.
(2)∵无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,
又∵m(x2﹣4x+3)﹣2x+6=0,
∴x2﹣4x+3=0,且﹣2x+6=0
解得x=3,
∴无论m为何值,该方程都有一个固定的实数根,这个根为3
18.
(1)设鸡场的宽(BC)为xm,则长(AB)为(33-3x)m,根据题意,得
.
解得,(不符合题意,舍去).
33-3x=33-3×6=15.
答:鸡场的宽(BC)为6m,则长(AB)为15m.
(2)设鸡场的宽(BC)为xm,则长(AB)为(33-3x)m,根据题意,得
,整理得
所以该方程无解,这一想法不能实现.
19.
解:(1)设该商品平均每月的价格增长率为m,
依题意,得:50(1+m)2=72,
解得:m1=0.2=20%,m2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该商品平均每月的价格增长率为20%.
(2)依题意,得:(x﹣40)[188+(72﹣x)]=4000,
整理,得:x2﹣300x+14400=0,
解得:x1=60,x2=240(不合题意,舍去).
答:x为60元时商品每天的利润可达到4000元.
20.
(1),
当时,原方程化为,
解得(不合题意,舍去);
当时,原方程化为,
∴是原方程的解;
当时,原方程化为,
解得(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的根是;
(2),
当时,原方程化为,
解得(不合题意,舍去);
当时,,矛盾,舍去;
当时,原方程化为,
解得,(不合题意,舍去).
综上所述,原方程的根是.
21.
(1)当t=1秒时,BP=6-2t=4,CQ=t=1,
∴四边形BCQP面积=厘米2.
(2)如图,过Q点作QH⊥AB于点H,则PH=BP-CQ=6-3t,HQ=2,
根据勾股定理,得, 解得.
∴当秒或秒时,点P和点Q距离是3cm.
(3)∵,
当PD=DQ时,,解得或(舍去);
当PD=PQ时,,解得或(舍去);
当DQ=PQ时,,解得或.
综上所述,当秒或秒或秒或秒时, 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形.
22.
(1)解:将x1=1,x2=-2代入到方程a(x+m)2+b=0中,
得 ,
∴ m+1=±(m-2),
解得 m=
∴ a(+1)2+b=0.
∴ -=
第2个方程可变形为(x++2)2=-,
即(x+)2=,
解得:x1=-1,x2=-4
(2)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0);
(3)解:∵ (a2-2b2)+(2b2-2c2)+(2c2-a2)=0,
∴ 方程必有一根是x=1
∴ 方程的两根为x1=x2=1.
∴ x1·x2=1= .
∴ a2=b2+c2.
∴ △ABC是一个直角三角形
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