2021学年2 矩形的性质与判定课后练习题

北师大版2021年九年级上册：1.2 矩形的性质与判定 同步练习卷

一．选择题

1．矩形和菱形都具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直 B．对角线长度相等 

C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分

2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（　　）

A．测量对角线是否互相平分且垂直 

B．测量对角线是否相互平分 

C．测量对角线是否互相平分且相等 

D．测量对角线是否互相垂直

3．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（　　）

A．AD＝BD B．∠A＝30° 

C．∠ACB＝90° D．△ADC与△BCD的面积相等

4．已知平行四边形ABCD中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD

5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，已知∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A，B在∠MON两边上运动，若AB＝4，CB＝2，则线段OD的最大值为（　　）

A． B． C．4 D．

8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．

二．填空题

9．矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB＝3：1，那么∠ACE＝　   　度．

10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　                　，使平行四边形ABCD是矩形．

11．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝6，∠AOB＝60°，则AB的长为 　 　．

12．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是40厘米，矩形的周长是22厘米，则对角线AC的长为 　    　厘米．

13．如图，矩形ABCD中，AD＝3AB，AB＝2，点G、H分别在AD、BC上，若四边形BGDH是菱形，则AG＝　              　．

14．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则BD＝　            　．

三．解答题

15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．

求证：四边形ADCE是矩形．

16．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AB延长至点E，使AB＝BE，联结DE、EC，DE与BC交于点O．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠COE＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

17．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC分别交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是矩形；

（2）若AB＝5，∠B＝60°，求出四边形AFCE的面积．

18．在△ABC中，AB＝AC，点D、O分别是边BC、AC的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE．

（1）如图1，求证：四边形ADCE是矩形；

（2）如图2，连接BE交AD于点F，连接OF，当∠ABC＝60°时，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四条线段，长度分别是线段OF长度的4倍．

19．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．

20．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒．

（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，

∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，

故选：D．

2．解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

∴对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，

∴选项A不符合题意；

B、∵对角线相互平分的四边形是平行四边形，

∴选项B不符合题意；

C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

∴选项C符合题意；

D、∵对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，

∴选项D不符合题意；

故选：C．

3．解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，

∴AD＝BD＝CD，故选项A正确，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠2+∠3＝90°，

即∠ACB＝90°，故选项C正确；

∵AD＝BD，

∴△ADC与△BCD是等底同高的两个三角形，

∴△ADC与△BCD的面积相等，故选项D正确；

无法判断∠A的度数，故选项B错误；

故选：B．

4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠ACB＝∠BAC，

∴AB＝CB，

∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；

故选：C．

5．解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；

B、∵AB⊥AD，

∴∠BAD＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；

C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；

故选：B．

6．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB＝CD＝3，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE平分∠BED，

∴∠AED＝∠AEB，

∴∠AED＝∠DAE，

∴AD＝DE＝4，

∴EC＝＝＝，

故选：C．

7．解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD＜OE+DE，

∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，

此时，∵AB＝4，点E是AB的中点，

∴OE＝AE＝AB＝2，

在Rt△ADE中，DE＝＝＝2，

∴OD的最大值＝2+2．

故选：A．

8．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，

∴OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD，

∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，

∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠DAC＝30°，

∴DC＝AC＝4，

∴EC＝DC＝2，

故选：B．

二．填空题

9．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DCB＝90°，

∵∠DCE：∠ECB＝3：1，

∴∠DCE＝×90°＝67.5°，∠ECB＝22.5°，

∴∠EBC＝∠ACB＝90°﹣∠ECB＝67.5°，

∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝67.5°﹣22.5°＝45°，

故答案为：45．

10．解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．

11．解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝BO＝BD＝AC＝3，

又∵∠AOB＝60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴BO＝AB＝3，

故答案为3．

12．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AC＝BF，AO＝OC，OD＝OB，

∴AO＝OC＝OD＝OB，

∵矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是40厘米，

∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB＝40厘米，

即8OA+2AB+2BC＝40厘米，

∵矩形ABCD的周长是22厘米，

∴2AB+2BC＝22厘米，

∴8OA＝18厘米，

∴OA＝2.25厘米，

即AC＝BD＝2OA＝4.5厘米．

故答案为：4.5．

13．解：∵四边形BGDH是菱形，

∴BG＝GD，

∵AD＝3AB，且AB＝2，

∴AD＝6，

设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，

在Rt△AGB中，AG2+AB2＝GB2，

∴y2+22＝（6﹣y）2，

解得：y＝，

故答案为：．

14．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，

∴OA＝OB＝OD＝OC，

∵ED＝3BE，

∴OE＝BE，

∵AE⊥BD，

∴AB＝OA，

∴OA＝AB＝OB，

即△OAB是等边三角形，

∴∠ABD＝60°，

∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，

∴BD＝2AB，

∵AD2+AB2＝BD2，

∴36+AB2＝4AB2，

∴AB＝2，

∴BD＝4，

故答案为4．

三．解答题

15．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BC，AB＝DE，

∵D为BC中点，

∴CD＝BD，

∴CD∥AE，CD＝AE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AB＝AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴平行四边形ADCE是矩形．

16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AB＝BE，

∴BE＝CD，且BE∥CD，

∴四边形BECD是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A＝∠EBO，

∵∠COE＝2∠A＝2∠EBO，∠COE＝∠EBO+∠BEO，

∴∠EBO＝∠BEO，

∴BO＝EO，

由（1）得：四边形BECD是平行四边形，

∴，，

∴BC＝ED，

∴平行四边形BECD是矩形．

17．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，

∴OA＝OE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴OF＝OC，

∵O为AC的中点，

∴OA＝OC，

∴OA＝OC＝OE＝OF，

∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，

∴四边形AFCE是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝AB＝5，

由（1）得：四边形AFCE是矩形，

∴∠AFC＝90°，

∴∠AFB＝90°，

∵∠B＝60°，

∴∠BAF＝30°，

∴BF＝AB＝，AF＝BF＝，

∴CF＝BC﹣BF＝，

∴矩形AFCE的面积＝CF×AF＝×＝．

18．（1）证明：∵点D、O分别是边BC、AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，BD＝CD，

∴OD∥AB，

∴DE∥AB，

∵AE∥BC，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD＝CD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：长度分别是线段OF长度的4倍的线段为：AB、BC、AC、DE，理由如下：

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，

由（1）得：四边形ABDE是平行四边形，四边形ADCE是矩形，

∴BF＝EF，OD＝OE，AC＝DE，

∴OF是△BDE的中位线，

∴BD＝2OF，

∵AB＝AC＝DE＝BC＝2BD，

∴AB＝AC＝DE＝BC＝4OF．

19．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C＝180°，

又∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴四边形ABCD为矩形；

（2）解：如图2，延长BA，CM交于点E，

∵M为AD的中点，N为AB中点，

∴AN＝BN＝2，AM＝MD，

∴AB＝CD＝4，

∵AE∥DC，

∴∠E＝∠DCM，

在△AEM和△DCM中，

，

∴△AME≌△DCM（AAS），

∴AE＝CD＝4，

∵∠BNC＝2∠DCM＝∠E+∠NCE，

∴∠NCE＝∠DCM＝∠E，

∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，

∴BC＝＝＝4．

20．解：（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2），

∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2，

∵点D时OA的中点，

∴OD＝OA＝2.5，

由运动知，PC＝2t，

∴BP＝BC﹣PC＝5﹣2t，

∵四边形PODB是平行四边形，

∴PB＝OD＝2.5，

∴5﹣2t＝2.5，

∴t＝1.25；

（2）①当Q点在P的右边时，如图，

∵四边形ODQP为菱形，

∴OD＝OP＝PQ＝2.5，

在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝1.5，

∴2t＝1.5；

∴t＝0.75，

∴Q（4，2）；

②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图，

同①的方法得出t＝2，

∴Q（1.5，2），

③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，

同①的方法得出，t＝0.5，

∴Q（﹣1.5，2）；