冀教版九年级上册28.4 垂径定理随堂练习题

28.4　垂径定理*

【基础练习】

知识点 　垂径定理

1.如图1,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是(　　)

A.CM=DM            B.        C.        D.OM=MB

图1                  图2

2.如图2,☉O的半径为13,弦AB的长是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON的长为(　　)

A.5                 B.7                 C.9                 D.11

3.如图3,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是(　　)

A.             B.2             C.6                 D.8

图3                  图4

4.如图4,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA,OB,BC.若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是(　　)

A.40°             B.50°             C.70°             D.80°

5.如图5所示,☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AM=BM,OM∶OC=3∶5,则AB的长为(　　)

图5

A.8cm             B.cm          C.6cm             D.2cm

6.如图6,AB,AC,BC都是☉O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,若MN=1,则BC的长为　　　　. 

图6                 图7

7.[2020·广州改编] 往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图7所示,若水面宽AB=48cm,则水的最大深度为　　　　cm. 

8.如图8,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H,P是上任意一点,AH=2,CD=8.

(1)求☉O的半径r;

(2)求sin∠CPD.

                                                              图8

9.如图9,AB为☉O的弦,半径OC交AB于点D,AD=DB,OC=5,CD=2,求AB的长.

                                                                图9

【能力提升】

10.在半径为13的☉O中,弦AB∥CD,弦AB和CD之间的距离为7.若AB=24,则CD的长为(　　)

A.10            B.4

C.10或4        D.10或2

11.如图10,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为　　　　. 

图10                

12.如图11,☉P与y轴交于点M(0,-4),N(0,-10),圆心P的横坐标为-4,则☉P的半径为　　　　. 

图11

13.如图12,P是☉O内一定点.

(1)过点P作弦AB,使P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).

(2)若☉O的半径为13,OP=5,

①求过点P的弦的长度m的取值范围;

②过点P的弦中,长度为整数的弦有　　　　条. 

图12

14.如图13,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为8m,宽AB为1m,该隧道内设双向行驶的车道(共有2条车道),现有一辆货运卡车高4m,宽2.3m,则这辆货运卡车能否通过该隧道?说明理由.

                                                                图13

15.如图14①,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B和点C,D.

(1)求证:AB=CD.

(2)若角的顶点P在圆上,如图②,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;

(3)若角的顶点P在圆内,如图③,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

图14

答案

1.D　[解析]∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立.由垂径定理可知,,选项B,C成立.而OM与MB不一定相等,选项D不成立.故选D.

2.A　3.B

4.D　[解析]∵∠ABC=20°,∴∠AOC=40°.

∵AB是☉O的弦,OC⊥AB,∴,∴∠AOC=∠BOC=40°,∴∠AOB=80°.

5.A　[解析]如图所示,连接OA.

∵☉O的直径CD=10cm,

∴☉O的半径为5cm,即OA=OC=5cm.

∵OM∶OC=3∶5,

∴OM=3cm.

∵AM=BM,

∴AB⊥CD.

在Rt△AOM中,AM==4(cm),

∴AB=2AM=2×4=8(cm).故选A.

6.2　[解析]∵OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,∴M,N分别是AB,AC的中点,∴MN是△ABC的中位线,∴BC=2MN=2.

7.16　[解析]如图所示,连接OB,过点O作OC⊥AB于点D,交☉O于点C.

∵AB=48cm,∴BD=AB=×48=24(cm).∵☉O的直径为52cm,∴OB=OC=26cm.在Rt△OBD中,OD==10(cm),∴CD=OC-OD=26-10=16(cm).

8.解:(1)如图,连接OC.

∵AB⊥CD,CD=8,

∴∠CHO=90°,CH=CD=4.

在Rt△COH中,

∵OC=r,OH=r-2,CH=4,

∴r2=42+(r-2)2,解得r=5.

(2)如图,连接OD.

∵AB⊥CD,AB是☉O的直径,

∴,∴∠COA=∠COD.

∵∠CPD=∠COD,∴∠CPD=∠COA.

∵在Rt△OCH中,sin∠COA=,

∴sin∠CPD=sin∠COA=.

9.解:连接OB,如图所示.

∵OC=5,CD=2,

∴OD=5-2=3,OB=OC=5.

∵AD=DB,∴OC⊥AB,

∴∠ODB=90°,AB=2BD,

∴BD==4,

∴AB=2BD=8.

10.D　[解析]过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,则AE=AB=×24=12.

在Rt△AOE中,OE==5.

若AB与CD在圆心O的同侧,如图①所示,延长OE交CD于点F,连接OC,则OF=OE+EF=5+7=12.∵AB∥CD,∴OF⊥CD.

在Rt△OCF中,CF==5,∴CD=2CF=2×5=10.

若AB与CD在圆心O的异侧,如图②所示.反向延长OE交CD于点F,连接OC.∵AB∥CD,

∴OF⊥CD,∴OF=EF-OE=7-5=2.在Rt△OCF中,CF=,

∴CD=2CF=2×=2.故CD的长为10或2.故选D.

11.　[解析]连接OD,如图.∵CD⊥OC,∴∠DCO=90°,∴CD=,

∵圆的半径r一定,∴当OC的值最小时,CD的值最大,而当OC⊥AB时,OC最小,此时D,B两点重合,CD=CB=AB=×1=,即CD的最大值为.

12.5　[解析]如图所示,过点P作PD⊥MN于点D,连接PM.

∵☉P与y轴交于M(0,-4),N(0,-10)两点,∴OM=4,ON=10,∴MN=6.∵PD⊥MN,∴DM=DN=MN=3.

∵点P的横坐标为-4,即PD=4,∴PM==5,即☉P的半径为5.

13.解:(1)如图①,连接OP并延长,过点P作AB⊥OP,弦AB即为所求.

(2)①过点P的所有弦中,直径最长,为26,与OP垂直的弦最短.

连接OA,如图②所示.

∵OP⊥AB,∴AP=BP==12,∴AB=2AP=24,

∴过点P的弦的长度m的取值范围为24≤m≤26.

②4

14.解:这辆货运卡车能通过该隧道.理由如下:

如图,在AD上取点G,使OG=2.3m,

过点G作GF⊥BC于点F,延长FG交半圆于点E,连接OE,则EG⊥AD,GF=AB=1m.

∵OE=AD=BC=×8=4(m),

∴在Rt△OEG中,由勾股定理,得

EG=(m)>3m,

∴点E到BC的距离EF=(+1)m>(3+1)m=4m.故这辆货运卡车能通过该隧道.

15.解:(1)证明:如图①,过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥CD于点H,连接OA,OC,OB,OD,

则AG=BG,CH=DH.

∵∠EPO=∠FPO,OG⊥AB,OH⊥CD,

∴OG=OH.

在Rt△OBG和Rt△ODH中,

∴Rt△OBG≌Rt△ODH,

∴BG=DH,∴AB=CD.

(2)成立.理由:如图②,点P在圆上,此时点P,A,C重合,过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥AD于点H,则AG=BG,AH=DH.

∵∠EAO=∠DAO,OG⊥AB,OH⊥AD,

∴OG=OH.

在Rt△OAG和Rt△OAH中,

∴Rt△OAG≌Rt△OAH,

∴AG=AH,∴AB=AD,

即点P在圆上时,(1)中的结论还成立.

(3)成立.理由:如图③,顶点P在圆内,过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥CD于点H,连接OB,OD,则AG=BG,CH=DH.

∵∠EPO=∠FPO,OG⊥AB,OH⊥CD,

∴OG=OH.

在Rt△OBG和Rt△ODH中,

∴Rt△OBG≌Rt△ODH,

∴BG=DH,∴AB=CD,

即点P在圆内时,(1)中的结论还成立.