高考数学二轮总复习强化训18（含答案）

这是一份高考数学二轮总复习强化训18（含答案），共4页。试卷主要包含了设椭圆C，已知F为椭圆C，已知椭圆C，已知斜率为k的直线l与椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
解：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(2),2))).
所以AM的方程为y＝－eq \f(\r(2),2)x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2).
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝eq \f(2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k,（x1－2）（x2－2）).
将y＝k(x－1)代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以，x1＋x2＝eq \f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－2,2k2＋1).
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝eq \f(4k3－4k－12k3＋8k3＋4k,2k2＋1)＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
2．(2018·福州模拟)已知F为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点，M为C上的任意一点．
(1)求|MF|的取值范围；
(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－eq \f(3,4)，证明：M，N两点的横坐标之和为常数．
解：(1)依题意得a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝ eq \r(a2－b2)＝1，
所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1，0)，
设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM，yM)，
则eq \f(xeq \\al(2,M),4)＋eq \f(yeq \\al(2,M),3)＝1，
所以|MF|2＝(xM－1)2＋yeq \\al(2,M)＝(xM－1)2＋3－eq \f(3,4)xeq \\al(2,M)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,M)－2xM＋4＝eq \f(1,4)(xM－4)2，
又－2≤xM≤2，所以1≤|MF|2≤9，
所以1≤|MF|≤3，
所以|MF|的取值范围为[1，3]．
(2)证明：设P，M，N三点的坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)，
设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则直线PM的方程为y－yP＝k1(x－xP)，
联立方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y－yP＝k1（x－xP），))消去y，得
(3＋4keq \\al(2,1))x2－8k1(k1xP－yP)x＋4keq \\al(2,1)xeq \\al(2,P)－8k1xPyP＋4yeq \\al(2,P)－12＝0，
由根与系数的关系可得xM＋xP＝eq \f(8k1（k1xP－yP）,3＋4keq \\al(2,1))，
所以xM＝eq \f(8k1（k1xP－yP）,3＋4keq \\al(2,1))－xP＝eq \f(4keq \\al(2,1)xP－8k1yP－3xP,3＋4keq \\al(2,1))，
同理可得xN＋xP＝eq \f(8k2（k2xP－yP）,3＋4keq \\al(2,2))，
又k1·k2＝－eq \f(3,4)，
故xN＋xP＝eq \f(8k2（k2xP－yP）,3＋4keq \\al(2,2))＝eq \f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4k1)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4k1)xP－yP)),3＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4k1)))\s\up12(2))＝eq \f(6xP＋8k1yP,4keq \\al(2,1)＋3)，
则xN＝eq \f(6xP＋8k1yP,4keq \\al(2,1)＋3)－xP＝－eq \f(4keq \\al(2,1)xP－8k1yP－3xP,3＋4keq \\al(2,1))＝－xM，
从而xN＋xM＝0，
即M，N两点的横坐标之和为常数．
3．(2018·潍坊模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，若PA，PB交直线x＝6于不同的两点M，N.问以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解：(1)由椭圆的定义可知2a＝4，a＝2，
若点P运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF1与圆一定相交，故点P只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P为上顶点(0，b)，F1为左焦点(－c，0)，
则直线PF1：bx－cy＋bc＝0，由题意得原点O到直线PF1的距离等于椭圆C的离心率e，所以eq \f(bc,\r(b2＋c2))＝eq \f(c,a)，
解得b＝1，故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由题意知直线PA，PB的斜率存在且都不为0.
设kPA＝k，点P(x0，y0)，x0≠±2，又A(－2，0)，B(2，0)，
所以kPA·kPB＝eq \f(y0,x0＋2)·eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0)－4)＝eq \f(1－\f(xeq \\al(2,0),4),xeq \\al(2,0)－4)＝－eq \f(1,4)，得kPB＝－eq \f(1,4k)，
直线PA的方程为y＝k(x＋2)，令x＝6，得y＝8k，
故M(6，8k)；
直线PB的方程为y＝－eq \f(1,4k)(x－2)，令x＝6，得y＝－eq \f(1,k)，故Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，－\f(1,k))).
因为yM·yN＝8k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))＝－8<0，所以以线段MN为直径的圆与x轴交于两点，设为G，H，并设MN与x轴的交点为K，在以线段MN为直径的圆中应用相交弦定理得，
|GK|·|HK|＝|MK|·|NK|＝|8k|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))＝8，
因为|GK|＝|HK|，所以|GK|＝|HK|＝2eq \r(2)，
从而以线段MN为直径的圆恒过两个定点G(6－2eq \r(2)，0)，H(6＋2eq \r(2)，0)．
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－eq \f(1,2)；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝0.证明：|eq \(FA,\s\up6(→))|，|eq \(FP,\s\up6(→))|，|eq \(FB,\s\up6(→))|成等差数列，并求该数列的公差．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(xeq \\al(2,1),4)＋eq \f(yeq \\al(2,1),3)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),4)＋eq \f(yeq \\al(2,2),3)＝1.
两式相减，并由eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k得eq \f(x1＋x2,4)＋eq \f(y1＋y2,3)·k＝0.
由题设知eq \f(x1＋x2,2)＝1，eq \f(y1＋y2,2)＝m，于是k＝－eq \f(3,4m).①
由题设得0＜m＜eq \f(3,2)，故k＜－eq \f(1,2).
(2)由题意得F(1，0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝eq \f(3,4)，从而Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，|eq \(FP,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2).
于是|eq \(FA,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－1）2＋yeq \\al(2,1))＝eq \r(（x1－1）2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(xeq \\al(2,1),4))))＝2－eq \f(x1,2).
同理|eq \(FB,\s\up6(→))|＝2－eq \f(x2,2).
所以|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＝4－eq \f(1,2)(x1＋x2)＝3.
故2|eq \(FP,\s\up6(→))|＝|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|，即|eq \(FA,\s\up6(→))|，|eq \(FP,\s\up6(→))|，|eq \(FB,\s\up6(→))|成等差数列．
设该数列的公差为d，则
2|d|＝||eq \(FB,\s\up6(→))|－|eq \(FA,\s\up6(→))||＝eq \f(1,2)|x1－x2|
＝eq \f(1,2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2).②
将m＝eq \f(3,4)代入①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋eq \f(7,4)，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋eq \f(1,4)＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,28)，代入②解得|d|＝eq \f(3\r(21),28).
所以该数列的公差为eq \f(3\r(21),28)或－eq \f(3\r(21),28).