高考数学二轮总复习强化训17（含答案）

这是一份高考数学二轮总复习强化训17（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1，3)B．(－1，eq \r(3))
C．(0，3)D．(0，eq \r(3))
解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.
2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1B.eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝eq \r(3)，即c2－a2＝3，又e＝eq \f(c,a)＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(3)B．2＋eq \r(3)
C．2D.eq \r(2)＋1
解析：选B.由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝4c，|BF2|＝2eq \r(3)c，所以2a＝4c－2eq \r(3)c，所以e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3)，故选B.
4．(2018·武汉模拟)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为eq \f(π,3)的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为( )
A．y2＝3xB．y2＝4x
C．y2＝6xD．y2＝8x
解析：选C.因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以过点F且倾斜角为eq \f(π,3)的直线方程为y＝eq \r(3)(x－eq \f(p,2))，联立直线与抛物线的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x－\f(p,2)），,y2＝2px))⇒3x2－5px＋eq \f(3,4)p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xA＋xB＝\f(5,3)p，,xA·xB＝\f(1,4)p2，))所以|AB|＝eq \r(（xA－xB）2＋（yA－yB）2)＝
eq \r(1＋k2)|xA－xB|＝eq \r(1＋3)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)p))\s\up12(2)－4×\f(1,4)p2)＝eq \f(8,3)p＝8⇒p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，故选C.
5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝( )
A．5B．6
C．7D．8
解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为eq \f(2,3)的直线的方程为y＝eq \f(2,3)(x＋2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)（x＋2），,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4，))不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以eq \(FM,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(FN,\s\up6(→))＝(3，4)，所以eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝8.故选D.
法二：过点(－2，0)且斜率为eq \f(2,3)的直线的方程为y＝eq \f(2,3)(x＋2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)（x＋2），,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以eq \(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，所以eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq \r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故选D.
6．(2018·贵阳模拟)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若eq \(PM,\s\up6(→))＝λeq \(MF,\s\up6(→))，且双曲线的离心率e＝eq \f(\r(6),2)，则λ＝( )
A．1B．2
C．3D．4
解析：选B.如图，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根据射影定理得|PF|＝eq \f(c2,b)，所以|PM|＝eq \f(c2,b)－b，所以λ＝eq \f(|\(PM,\s\up6(→))|,|\(MF,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(c2,b)－b,b)＝eq \f(c2－b2,b2)＝eq \f(a2,b2).
因为e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).所以λ＝2.故选B.
二、填空题
7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，其中x＞0，y＞0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（x＋1）＋2＋y＝16，,y2＝4x))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝－6))(舍去)．所以点P的坐标为(4，4)．
答案：(4，4)
8．(2018·贵阳模拟)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cs∠PAQ＝eq \f(3,5)，则椭圆C的离心率e为________．
解析：根据题意可取Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，所以tan∠PAF＝eq \f(\f(b2,a),a＋c)＝eq \f(b2,a2＋ac)＝eq \f(a2－c2,a2＋ac)＝eq \f(a－c,a)＝1－e，cs∠PAQ＝cs 2∠PAF＝cs2∠PAF－sin2∠PAF＝eq \f(cs2∠PAF－sin2∠PAF,cs2∠PAF＋sin2∠PAF)＝eq \f(1－tan2∠PAF,1＋tan2∠PAF)＝eq \f(1－（1－e）2,1＋（1－e）2)＝eq \f(3,5)，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝eq \f(1,4).又椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，所以1－e＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))的最小值的取值范围是________．
解析：设P(m，n)，则eq \f(m2,a2)－eq \f(n2,b2)＝1，
即m2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2))).
又F1(－1，0)，F2(1，0)，
则eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)，
eq \(PF2,\s\up6(→))＝(1－m，－n)，
eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝n2＋m2－1
＝n2＋a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2)))－1
＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a2,b2)))＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n＝0时取等号，
所以eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))的最小值为a2－1.
由2≤eq \f(1,a)≤4，得eq \f(1,4)≤a≤eq \f(1,2)，
故－eq \f(15,16)≤a2－1≤－eq \f(3,4)，
即eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))的最小值的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4)))
三、解答题
10．(2018·南昌调研)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝eq \f(5,4)，求原点O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝2，又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得m2＜4k2＋1，①
x1＋x2＝－eq \f(8km,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4m2－4,4k2＋1)，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
若kOM·kON＝eq \f(5,4)，则eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(5,4)，即4y1y2＝5x1x2，
所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，所以(4k2－5)·eq \f(4（m2－1）,4k2＋1)＋4km·(－eq \f(8km,4k2＋1))＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝eq \f(5,4)，②
由①②得0≤m2＜eq \f(6,5)，eq \f(1,20)＜k2≤eq \f(5,4)，
因为原点O到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋k2))，
所以d2＝eq \f(m2,1＋k2)＝eq \f(\f(5,4)－k2,1＋k2)＝－1＋eq \f(9,4（1＋k2）)，
又eq \f(1,20)＜k2≤eq \f(5,4)，
所以0≤d2＜eq \f(8,7)，所以原点O到直线l的距离的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(14),7))).
11．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点．若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1＋k2的值．
解：(1)由eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，得b＝c.
因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝eq \r(2)，
所以eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(2),2)，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝c,\f(b2,a)＝\f(\r(2),2),a2＝b2＋c2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝2,b2＝1)).
故椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1，
将y＝kx－2k－1代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，
由题设可知Δ＝－16k(k＋2)＞0，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4k（2k＋1）,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(8k2＋8k,1＋2k2)，
k1＋k2＝eq \f(y1－1,x1)＋eq \f(y2－1,x2)＝eq \f(kx1－2k－2,x1)＋eq \f(kx2－2k－2,x2)＝2k－eq \f(（2k＋2）×\f(4k（2k＋1）,1＋2k2),\f(8k2＋8k,1＋2k2))＝2k－(2k＋1)＝－1，
所以k1＋k2＝－1.
12．(2018·石家庄质量检测(二))已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝eq \f(9,4)的圆心C在抛物线x2＝2py(p＞0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切．
(1)求该抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的两条切线交于P点，求三角形PAB面积的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)由已知可得圆心C(a，b)，半径r＝eq \f(3,2)，
焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线y＝－eq \f(p,2).
因为圆C与抛物线的准线相切，所以b＝eq \f(3,2)－eq \f(p,2)，且圆C过焦点F，
又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，
即b＝eq \f(p,4)，
所以b＝eq \f(3,2)－eq \f(p,2)＝eq \f(p,4)，即p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y.
(2)易得焦点F(0，1)，直线l的斜率必存在，设为k，即直线方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，Δ＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
对y＝eq \f(x2,4)求导得y′＝eq \f(x,2)，即kAP＝eq \f(x1,2)，
直线AP的方程为y－y1＝eq \f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq \f(x1,2)x－eq \f(1,4)xeq \\al(2,1)，
同理直线BP的方程为y＝eq \f(x2,2)x－eq \f(1,4)xeq \\al(2,2).
设P(x0，y0)．
联立直线AP与BP的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(x1＋x2,2)＝2k,y0＝\f(x1x2,4)＝－1))，
即P(2k，－1)，
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝4(1＋k2)，点P到直线AB的距离d＝eq \f(|2k2＋2|,\r(1＋k2))＝2eq \r(1＋k2)，
所以三角形PAB的面积S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×2eq \r(1＋k2)＝4(1＋k2)eq \s\up6(\f(3,2))≥4，当且仅当k＝0时取等号．
综上，三角形PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1.