高考数学二轮总复习强化训16（含答案）

这是一份高考数学二轮总复习强化训16（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6]B．[4，8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)]D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝eq \f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以点P到直线的距离d1∈[eq \r(2)，3eq \r(2)]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq \r(2)，所以△ABP的面积S＝eq \f(1,2)|AB|d1＝eq \r(2)d1.因为d1∈[eq \r(2)，3eq \r(2)]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．
2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2
B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋eq \r(2))2＝4
D．(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝4
解析：选A.由题意得，圆C的半径为eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，圆心坐标为(1，eq \r(2))，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2，故选A.
3．半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2eq \r(2)均相切，则该圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－2eq \r(2))2＋(y＋2eq \r(2))2＝4
解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝2eq \r(2)的距离d＝eq \f(|2－a－2\r(2)|,\r(2))＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.
4．(2018·湖南湘东五校联考)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选B.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3，3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq \f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，所以圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.
5．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
A.eq \f(\r(10),2)B.eq \r(10)
C．5D．10
解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.
6．(2018·郑州模拟)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4
D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37
解析：选D.如图，易知AC所在直线的方程为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝eq \f(|－4|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)>1，OA＝eq \r(（－2）2＋32)＝eq \r(13)，OB＝eq \r(（－2）2＋（－1）2)＝eq \r(5)，OC＝eq \r(62＋（－1）2)＝eq \r(37)，所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或eq \r(37)，则该圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.故选D.
二、填空题
7．(2018·南宁模拟)过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
解析：令P(eq \r(2)，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB
＝eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2)，
当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝eq \f(\r(2),2)，
于是sin∠OPH＝eq \f(|OH|,|OP|)＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(2))＝eq \f(1,2)，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，
则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
答案：－eq \f(\r(3),3)
8．已知动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为________．
解析：动直线l0：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0.
又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，
所以 eq \r(（4－1）2＋（0－m）2)＝3，解得m＝0.
所以a＋c＝2.
又a>0，c>0，所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,2)(a＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2\r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))＝eq \f(9,4)，当且仅当c＝2a＝eq \f(4,3)时取等号．
答案：eq \f(9,4)
9．(2018·桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为d.当d最小时，圆C的面积为________．
解析：设圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆C截x轴所得的弦长为eq \r(2)r，故r2＝2b2，又圆C截y轴所得的弦长为2，所以r2＝a2＋1，从而得2b2－a2＝1.又点C(a，b)到直线x－2y＝0的距离d＝eq \f(|a－2b|,\r(5))，所以5d2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b,2b2－a2＝1))，即a2＝b2＝1时等号成立，此时d取得最小值，此时r2＝2，圆C的面积为2π.
答案：2π
三、解答题
10．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3).
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，所以△POM的面积为eq \f(16,5).
11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得eq \(TA,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(TQ,\s\up6(→))，求实数t的取值范围．
解：(1)圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.
由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为eq \f(4－0,2－0)＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝eq \f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq \f(|m＋5|,\r(5)).
因为BC＝OA＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，而MC2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,2)))eq \s\up12(2)，
所以25＝eq \f(（m＋5）2,5)＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2，4)，T(t，0)，eq \(TA,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(TQ,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝x1＋2－t，,y2＝y1＋4.))(ⅰ)
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.(ⅱ)
将(ⅰ)代入(ⅱ)，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤eq \r([（t＋4）－6]2＋（3－7）2)≤5＋5，
解得2－2eq \r(21)≤t≤2＋2eq \r(21).
因此，实数t的取值范围是[2－2eq \r(21)，2＋2eq \r(21) ]．