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2022高考物理一轮复习学案 017小船过河模型 精讲精练
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这是一份2022高考物理一轮复习学案 017小船过河模型 精讲精练，共11页。
（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动
水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。
2．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景
4.分析思路
5.解题方法：
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，t＝eq \f(x⊥,v⊥)＝eq \f(x水,v水)＝eq \f(x合,v合)。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
二.例题精讲
题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题
例1：一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s。
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2cs30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝eq \f(d,sinα)，欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
sinα＝eq \f(v2,v1)＝eq \f(3,5)，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
t＝eq \f(d,v2csα)＝eq \f(180,1.2) s＝150 s
x＝eq \f(d,sinα)＝300 m。
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90eq \r(5) m
(2)船头与上游河岸成60°角 24eq \r(3) s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
题型二：不同位置的水速大小不同
例2：.如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x (m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
答案 B
解析 小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，A错．当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，B对．小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错．小船的渡河时间t＝eq \f(800 m,4 m/s)＝200 s，D错．
题型三：船在静水中速度变化
例3：一只小船渡河，运动轨迹如图所示。水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定船 ( )
A．沿AD轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动
B．沿三条不同路径渡河的时间相同
C．沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小
答案：A
[解析] 当沿轨迹AD运动时，则加速度方向与垂直河岸方向的速度方向相反，因此船垂直河岸方向做匀减速直线运动，故A正确；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，因运动的性质不同，故渡河时间也不同，故B错误；沿AB轨迹渡河，船垂直河岸方向做匀速直线运动，渡河所用时间大于沿AC轨迹渡河时间，沿AC轨迹，船是匀加速运动，到达对岸的速度最大，C、D错误。
三.举一反三，巩固练习
1.如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v)
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,b)
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))
2.一艘船以相对静水的速度vA用最短的时间渡河，另一艘船以相对静水的速度vB从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B.vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D.veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
3．(多选)一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，v1、v2均不等于零。设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A．sinθ＝eq \f(v1,v2) B.tanθ＝eq \f(v2,v1) C．csθ＝eq \f(v2,v1) D.csθ＝eq \f(v1,v2)
4.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是( )
A．甲先到达对岸
B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移
D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
5.如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
6．一小船从河岸的A点出发渡河，小船保持与河岸垂直方向航行，经过10min到达河对岸B点下游120m的C处，如图所示。如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处。求：
(1)水流速度；
(2)α角的度数；
(3)河的宽度。
四.举一反三，巩固练习参考答案
1.如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v)
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,b)
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))
答案 D
解析 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(a,v船)，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))，故选项C错误，D正确．
2.一艘船以相对静水的速度vA用最短的时间渡河，另一艘船以相对静水的速度vB从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B.vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D.veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
答案 D
解析 两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即eq \f(tA,tB)＝eq \f(vB合,vA合)＝eq \f(\f(vB,tanθ),\f(vA,sinθ))＝eq \f(vB,vA)csθ，而v水＝eq \f(vA,tanθ)＝eq \f(vB,sinθ)，即csθ＝eq \f(vB,vA)，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(v\\al(2,B),v\\al(2,A))，故D正确，A、B、C错误。
3．(多选)一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，v1、v2均不等于零。设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A．sinθ＝eq \f(v1,v2) B.tanθ＝eq \f(v2,v1)
C．csθ＝eq \f(v2,v1) D.csθ＝eq \f(v1,v2)
答案 CD
解析 由题意可知，若船在静水中的速度大于河水流速，即v2＞v1，当船的合速度垂直河岸时，航程最短，如图1所示，则有csθ＝eq \f(v1,v2)；若船在静水中的速度小于河水流速，即v2＜v1，当船的合速度垂直船在静水中的速度时，航程最短，如图2所示，则有csθ＝eq \f(v2,v1)。故C、D正确，A、B错误。
4.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是( )
A．甲先到达对岸
B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移
D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
答案 C
解析 两小船在静水中航行的速度大小相等，且渡河方向与河岸夹角均为θ，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不影响过河时间，所以甲、乙两船同时到达对岸，故A、B错误。甲船在平行河岸方向上的分速度大小为：v甲∥＝|v水－v甲csθ|，乙船在平行河岸方向上的分速度大小为：v乙∥＝v水＋v乙csθ，两船在平行河岸方向上的分位移分别为x甲∥＝v甲∥t，x乙∥＝v乙∥t，则x乙∥>x甲∥，又两船在垂直河岸方向上的分位移相同，则渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，故C正确，D错误。
5.如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小为：
v2＝ eq \r(v2＋v\\al(2,1))＝ eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s，
设v与v2的夹角为θ，则csθ＝eq \f(v,v2)＝0.8。
(2)发动机熄火前，轮船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，发动机熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2减小到与v1的矢量和与v2方向垂直时，轮船相对于河岸的合速度最小，最小值为：vmin＝v1csθ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s。
6．一小船从河岸的A点出发渡河，小船保持与河岸垂直方向航行，经过10min到达河对岸B点下游120m的C处，如图所示。如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处。求：
(1)水流速度；
(2)α角的度数；
(3)河的宽度。
[答案] (1)0.2m/s (2)53° (3)200m
[解析] 设河宽为d，水速为v水，船在静水中速度为v船，在第一种情况下，船同时参与两个运动，即v水和v船，由题意，可知v船t1＝d①
v水t1＝eq \x\t(BC)②
由②式解出v水＝eq \f(\x\t(BC),t1)＝eq \f(120m,600s)＝0.2m/s
在第二种情况下，可把v船沿河岸方向和垂直方向正交分解。
由题意，可得v船csα＝v水③
t2v船sinα＝d④
由①④式，得sinα＝eq \f(t1,t2)＝0.8，所以α＝53°
由③式，得v船＝eq \f(v水,csα)＝eq \f(1,3)m/s
由①式，得d＝200m
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动
水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。
2．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景
4.分析思路
5.解题方法：
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，t＝eq \f(x⊥,v⊥)＝eq \f(x水,v水)＝eq \f(x合,v合)。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
二.例题精讲
题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题
例1：一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s。
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2cs30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝eq \f(d,sinα)，欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
sinα＝eq \f(v2,v1)＝eq \f(3,5)，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
t＝eq \f(d,v2csα)＝eq \f(180,1.2) s＝150 s
x＝eq \f(d,sinα)＝300 m。
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90eq \r(5) m
(2)船头与上游河岸成60°角 24eq \r(3) s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
题型二：不同位置的水速大小不同
例2：.如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x (m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
答案 B
解析 小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，A错．当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，B对．小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错．小船的渡河时间t＝eq \f(800 m,4 m/s)＝200 s，D错．
题型三：船在静水中速度变化
例3：一只小船渡河，运动轨迹如图所示。水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定船 ( )
A．沿AD轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动
B．沿三条不同路径渡河的时间相同
C．沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小
答案：A
[解析] 当沿轨迹AD运动时，则加速度方向与垂直河岸方向的速度方向相反，因此船垂直河岸方向做匀减速直线运动，故A正确；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，因运动的性质不同，故渡河时间也不同，故B错误；沿AB轨迹渡河，船垂直河岸方向做匀速直线运动，渡河所用时间大于沿AC轨迹渡河时间，沿AC轨迹，船是匀加速运动，到达对岸的速度最大，C、D错误。
三.举一反三，巩固练习
1.如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v)
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,b)
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))
2.一艘船以相对静水的速度vA用最短的时间渡河，另一艘船以相对静水的速度vB从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B.vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D.veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
3．(多选)一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，v1、v2均不等于零。设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A．sinθ＝eq \f(v1,v2) B.tanθ＝eq \f(v2,v1) C．csθ＝eq \f(v2,v1) D.csθ＝eq \f(v1,v2)
4.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是( )
A．甲先到达对岸
B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移
D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
5.如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
6．一小船从河岸的A点出发渡河，小船保持与河岸垂直方向航行，经过10min到达河对岸B点下游120m的C处，如图所示。如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处。求：
(1)水流速度；
(2)α角的度数；
(3)河的宽度。
四.举一反三，巩固练习参考答案
1.如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v)
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,b)
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))
答案 D
解析 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(a,v船)，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得vmin＝eq \f(av,\r(a2＋b2))，故选项C错误，D正确．
2.一艘船以相对静水的速度vA用最短的时间渡河，另一艘船以相对静水的速度vB从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B.vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D.veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
答案 D
解析 两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即eq \f(tA,tB)＝eq \f(vB合,vA合)＝eq \f(\f(vB,tanθ),\f(vA,sinθ))＝eq \f(vB,vA)csθ，而v水＝eq \f(vA,tanθ)＝eq \f(vB,sinθ)，即csθ＝eq \f(vB,vA)，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(v\\al(2,B),v\\al(2,A))，故D正确，A、B、C错误。
3．(多选)一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，v1、v2均不等于零。设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A．sinθ＝eq \f(v1,v2) B.tanθ＝eq \f(v2,v1)
C．csθ＝eq \f(v2,v1) D.csθ＝eq \f(v1,v2)
答案 CD
解析 由题意可知，若船在静水中的速度大于河水流速，即v2＞v1，当船的合速度垂直河岸时，航程最短，如图1所示，则有csθ＝eq \f(v1,v2)；若船在静水中的速度小于河水流速，即v2＜v1，当船的合速度垂直船在静水中的速度时，航程最短，如图2所示，则有csθ＝eq \f(v2,v1)。故C、D正确，A、B错误。
4.如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是( )
A．甲先到达对岸
B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移
D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
答案 C
解析 两小船在静水中航行的速度大小相等，且渡河方向与河岸夹角均为θ，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不影响过河时间，所以甲、乙两船同时到达对岸，故A、B错误。甲船在平行河岸方向上的分速度大小为：v甲∥＝|v水－v甲csθ|，乙船在平行河岸方向上的分速度大小为：v乙∥＝v水＋v乙csθ，两船在平行河岸方向上的分位移分别为x甲∥＝v甲∥t，x乙∥＝v乙∥t，则x乙∥>x甲∥，又两船在垂直河岸方向上的分位移相同，则渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，故C正确，D错误。
5.如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小为：
v2＝ eq \r(v2＋v\\al(2,1))＝ eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s，
设v与v2的夹角为θ，则csθ＝eq \f(v,v2)＝0.8。
(2)发动机熄火前，轮船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，发动机熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2减小到与v1的矢量和与v2方向垂直时，轮船相对于河岸的合速度最小，最小值为：vmin＝v1csθ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s。
6．一小船从河岸的A点出发渡河，小船保持与河岸垂直方向航行，经过10min到达河对岸B点下游120m的C处，如图所示。如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处。求：
(1)水流速度；
(2)α角的度数；
(3)河的宽度。
[答案] (1)0.2m/s (2)53° (3)200m
[解析] 设河宽为d，水速为v水，船在静水中速度为v船，在第一种情况下，船同时参与两个运动，即v水和v船，由题意，可知v船t1＝d①
v水t1＝eq \x\t(BC)②
由②式解出v水＝eq \f(\x\t(BC),t1)＝eq \f(120m,600s)＝0.2m/s
在第二种情况下，可把v船沿河岸方向和垂直方向正交分解。
由题意，可得v船csα＝v水③
t2v船sinα＝d④
由①④式，得sinα＝eq \f(t1,t2)＝0.8，所以α＝53°
由③式，得v船＝eq \f(v水,csα)＝eq \f(1,3)m/s
由①式，得d＝200m
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
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