2022高考物理一轮复习学案 023水平面和斜面上的圆周运动（转盘模型）及其临界问题

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水平转盘上运动物体的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝eq \f(mv2,r)，方向指向圆心。
（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
（3）运动实例
2.解决临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化。
(3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当所需向心力大于最大静摩擦力时开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
3.斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，根据受力情况的不同，可分为以下三类。
（1）物体在静摩擦力作用下做圆周运动。
（2）物体在绳的拉力作用下做圆周运动。
（3）物体在杆的作用下做圆周运动。
这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
二.水平面上的圆周运动之转盘模型
（一）例题
例1：（多选）(2016·浙江高考)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
答案：AB
[解析]
(1)要使赛车绕赛道一圈所用时间最短，赛车在弯道上运动的速度应最大，此时恰好由最大静摩擦力提供向心力。
(2)赛车在弯道上做匀速圆周运动的速度对应赛车在直道上的初速度和末速度。
(3)借助三角函数知识确定直道长度和弯道对应的圆心角。
赛车做圆周运动时，由F＝eq \f(mv2,R)知，在小圆弧上的速度小，故赛车绕过小圆弧后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上时，根据F＝meq \f(v2,R)知，其速率v＝ eq \r(\f(FR,m))＝ eq \r(\f(2.25mgR,m))＝45 m/s，选项B正确；同理可得在小圆弧弯道上的速率v′＝30 m/s。如图所示，由边角关系可得α＝60°，直道的长度x＝Lsin 60°＝50eq \r(3) m，据v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50 m/s2，选项C错误；小弯道对应的圆心角为120°，弧长为s＝eq \f(2πr,3)，对应的运动时间t＝eq \f(s,v′)≈2.79 s，选项D错误。
例2 如图所示，某同学用手水平托着一物体以身体(视为竖直直线)为轴匀速转动，已知物体到身体的距离为R，手与物体间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，慢慢增大转速，要使物体能水平滑出，人转动的角速度至少应大于( )
思维引导：
(1)物体做圆周运动的向心力由什么提供？
提示：手对物体的静摩擦力。
(2)何时物体能滑出？
提示：手与物体间的静摩擦力达到最大值时。
答案：A
解析：设物体的质量为m，刚好发生相对滑动时物体所受的向心力为F向＝μmg＝mω2R，解得：ω＝，则当角速度大于时，物体能水平滑出，故A正确，B、C、D错误。
（二）水平面上的圆周运动之转盘模型对点演练
1．(人教版必修第二册·P30·T5)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。如图A、B、C、D分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是( )
答案 C
解析 汽车沿曲线转弯，所以受到垂直速度方向指向轨迹凹侧的向心力Fn，汽车的速度逐渐减小，所以还受到与速度方向相反沿轨迹切线方向的切向力Ft，这两个力的合力方向如图C所示。
2.(人教版必修第二册·P30·T3改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是( )
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
答案 C
解析 A受三个力作用，重力和支持力平衡，指向圆心的摩擦力充当向心力，故C正确。
3．在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会(球直径比管直径略小)( )
A．向管底运动 B．向管口运动
C．保持不动 D．无法判断
答案：B
解析：开始时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的合外力，所以水被“甩”到外侧管底才能随转盘进行圆周运动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B正确。
4．(2018·江苏高考)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A．运动路程为600 m B.加速度为零
C．角速度约为1 rad/s D.转弯半径约为3.4 km
答案 AD
解析 圆周运动的弧长s＝vt＝60×10 m＝600 m，A正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故B错误；由题意得圆周运动的角速度ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(10,180×10)×3.14 rad/s＝eq \f(3.14,180) rad/s，又v＝ωr，所以r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(60,3.14)×180 m＝3439 m，故C错误，D正确。
5．(多选)(2015·浙江理综)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则 ( )
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
答案：ACD
[解析] 路线①的路程为s1＝2r＋eq \f(1,2)·2πr＝2r＋πr，路线②的路程为s2＝2r＋eq \f(1,2)·2π·2r＝2r＋2πr，路线③的路程为s3＝2πr，故选择路线①，赛车经过的路程最短，A正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，所以有Fmax＝ma，所以运动的相对加速度相同，根据公式Fmax＝meq \f(v2,R)可得v＝eq \r(\f(FmaxR,m))，即半径越大，速度越大，路线①的速率最小，B错误，D正确；因为s16．(多选))如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ为eq \f(π,6)，此时绳绷直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝eq \f(1,3)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，加速度为g，则 ( )
A．当ω＝eq \r(\f(3g,4l))时，物块与转台间的摩擦力为零
B．当ω＝eq \r(\f(g,2l))时，细线中张力为零
C．当ω＝eq \r(\f(g,l))时，细线的张力为eq \f(mg,3)
D．当ω＝eq \r(\f(4g,3l))时，细绳的拉力大小为eq \f(4mg,3)
[解析] 当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时：μmg＝mωeq \\al(2,1)(lsineq \f(π,6))，解得ω1＝eq \r(\f(2g,3l))，由于eq \r(\f(g,2l))eq \f(1,3)mg，故C错误；当ω＝eq \r(\f(4g,3l))>ω2时，小球已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtanα＝m(eq \r(\f(4g,3l)))2(lsinα)；解得：csα＝eq \f(3,4)，故F＝eq \f(mg,csα)＝eq \f(4,3)mg，故D正确，故选B、D。
7. 两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．a比b先达到最大静摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ eq \r(\f(kg,2L))是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ eq \r(\f(2kg,3L))时，a所受摩擦力的大小为eq \f(5kmg,3)
答案 D
解析 木块随圆盘一起转动，当绳子上无拉力时，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得：Ff＝mω2r，Ffmax＝kmg，联立得ωmax＝eq \r(\f(kg,r))，故随着ω增大，b先达到临界角速度，b先达到最大静摩擦力，故A错误。在b的静摩擦力没有达到最大前，由Ff＝mω2r，a、b质量分别是2m和m，而圆周运动的半径r分别为L和2L，所以开始时a和b受到的摩擦力是相等的；当b受到的静摩擦力达到最大后，即ω>eq \r(\f(kg,2L))，对于b木块有：kmg＋F＝mω2·2L，对于a木块有Ff－F＝2mω2L，联立得Ff＝4mω2L－kmg>kmg；可知二者受到的摩擦力不一定相等，故B错误。b刚要滑动时，对b木块有kmg＋F＝mωeq \\al(2,0)·2L，对a木块有k·2mg－F＝2mωeq \\al(2,0)L，联立得kmg＋2kmg＝4mωeq \\al(2,0)L，得ω0＝eq \r(\f(3kg,4L))，故C错误。当ω＝ eq \r(\f(2kg,3L))时，b未滑动，a所受摩擦力大小Ff＝4mω2L－kmg＝eq \f(5kmg,3)，故D正确。
8. (多选)如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数都为μ，A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A．当B受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 eq \r(\f(k,m))
B．当A受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 eq \r(\f(2k,3m))
C．使转台转速缓慢增大，若B比A先相对转台滑动，则当B刚好要滑动时，转台转动的角速度为 )
D．使转台转速缓慢增大，若A比B先相对转台滑动，则当A刚好要滑动时，转台转动的角速度为 )
答案 BD
解析 当B受到的摩擦力为0时，由弹簧弹力提供B做圆周运动的向心力，则k(2.5r－1.5r)＝2mω2r，解得ω＝ eq \r(\f(k,2m))，A错误；当A受到的摩擦力为0时，由弹簧弹力提供A做圆周运动的向心力，则k(2.5r－1.5r)＝mω2·1.5r，解得ω＝eq \r(\f(2k,3m))，B正确；使转台转速缓慢增大，若B比A先相对转台滑动，则当B刚好要滑动时，B与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力且指向转台中心，此时弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供B做圆周运动的向心力，则有k(2.5r－1.5r)＋μ·2mg＝2mω2·r，解得)，C错误；使转台转速缓慢增大，若A比B先相对转台滑动，则当A刚好要滑动时，A与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力且指向转台中心，此时弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供A做圆周运动的向心力，则有k(2.5r－1.5r)＋μmg＝mω2·1.5r，解得ω＝)，D正确。
9.如图所示，金属环M、N用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是( )
A．转动的角速度越大，细线中的拉力越大
B．转动的角速度越大，环N与竖直杆之间的弹力越大
C．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等
D．转动的角速度不同，环M与水平杆之间的摩擦力大小不可能相等
答案 C
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，对N受力分析，受到竖直向下的重力GN、细线的拉力T、杆给它的水平支持力N1，因为两环相对杆的位置不变，所以对N有Tcsθ＝GN，N1＝Tsinθ，因为重力GN恒定，角度θ恒定，所以细线的拉力不变，环N与竖直杆之间的弹力恒定，故A、B错误；对M受力分析，受到竖直向下的重力GM、细线的拉力T、水平杆对它向上的支持力N2以及可能受到的方向不确定的静摩擦力，竖直方向由平衡条件有N2＝GM＋Tcsθ＝GM＋GN，所以转动的角速度不同，环M与水平杆之间的弹力相等，C正确；若以较小角速度转动，环M受到的摩擦力方向背离转轴，有Tsinθ－f＝mω2r，得f＝Tsinθ－mω2r，若以较大角速度转动，环M受到的摩擦力方向指向转轴，有Tsinθ＋f′＝mω′2r，得f′＝mω′2r－Tsinθ，可能存在mω′2r－Tsinθ＝Tsinθ－mω2r，故D错误。
10.如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的竖直轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A.B受到的静摩擦力一直增大
B.B受到的静摩擦力先增大后减小再增大
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合力一直增大
答案 BD
解析 开始转速较小时，两物块A、B均靠杆CD对其的静摩擦力提供向心力；转速逐渐增大，静摩擦力增大，根据f＝mrω2，rA＞rB，可知随着角速度的增大，A所受静摩擦力先达到最大静摩擦力，然后绳子产生拉力，所以当绳子刚好产生拉力时，B受静摩擦力作用且未达到最大静摩擦力；随着角速度继续增大，A所受静摩擦力不变，由fm＋T＝mω2rA，fB＋T＝mω2rB，知B所受静摩擦力fB＝fm－mω2(rA－rB)＝fm－mω2rB，fB先减小后反向增大，直到达到最大静摩擦力后，A、B开始滑动；综上所述，A所受的静摩擦力先增大，达到最大静摩擦力后不变，B所受的静摩擦力先增大后减小再增大，故A、C错误，B正确。根据向心力公式Fn＝mω2r，在发生相对滑动前物块A、B做圆周运动的半径是不变的，质量也不变，随着角速度的增大，向心力增大，而向心力就是物块所受的合力，故D正确。
11.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．a绳中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在平行于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
答案 BD
解析 绳b未断时，绳a的拉力大小等于小球的重力mg，绳b断时，由于惯性，小球具有水平向外的速度，且受竖直向下的重力和竖直向上的绳a的拉力，可能在竖直面内做圆周运动，不可能在水平面内做匀速圆周运动，故A错误；设绳a的长度为La，绳b被烧断瞬间，对小球由牛顿第二定律有：Fa－mg＝meq \f(v2,La)，可知此时绳a中的张力大于小球重力，即a绳中张力突然增大，B正确；当ω较小时，球在最低点速度较小，若v≤ eq \r(2gLa)，则不能摆到与A点等高处，而在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，故C错误；当ω较大时，球在最低点速度较大，如果大于一定值，可在垂直于平面ABC的竖直平面内做完整的圆周运动，故D正确。
12.(多选)如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内．转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车才不会倾倒．设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．车受到地面的支持力方向与车所在平面平行
B．转弯时车不发生侧滑的最大速度为eq \r(μgR)
C．转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小
答案 BD
解析 车受到的地面的支持力方向不与车所在的平面平行，故A错误；设自行车受到地面的弹力为FN，则有：Ffm＝μFN，由平衡条件有：FN＝Mg，根据牛顿第二定律有：Ffm＝Meq \f(v\\al(m2,),R)，代入数据解得：vm＝eq \r(μgR)，故B正确；对车(包括人)受力分析如图，
地面对自行车的弹力FN与摩擦力Ff的合力过人与车的重心，则：eq \f(1,tan θ)＝eq \f(Ff,Mg)，解得Ff＝eq \f(Mg,tan θ)，转弯时车与地面间的静摩擦力不一定为μMg，转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小，C错误，D正确．
13.如图所示，图(a)中甲汽车在水平路面上转弯行驶，图(b)中乙汽车在倾斜路面上转弯行驶．关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是( )
A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用
B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
D．乙车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力
答案 D
解析 水平路面上的汽车在竖直方向上受竖直向上的支持力和竖直向下的重力，倾斜路面上汽车受到的支持力与倾斜路面垂直，故A错误．汽车转弯时的运动可看成圆周运动，向心力方向指向弯道内侧，令倾斜路面的倾角为θ，当乙车的速度满足meq \f(v2,r)＝mgtan θ，即v＝eq \r(grtan θ)，乙车恰好没有向路面内外两侧滑动的趋势，即此时乙车不受摩擦力作用；乙车在倾斜路面转弯，当速度大于eq \r(grtan θ)时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，这时乙车有向外运动的趋势，所以乙车受到路面的摩擦力指向弯道内侧；当速度小于eq \r(grtan θ)时，重力与支持力的合力大于所需向心力，乙车有向里运动的趋势，此时乙车受到平行路面指向弯道外侧的摩擦力作用，故B错误，D正确．甲车转弯时，由静摩擦力提供做圆周运动所需的向心力，故甲车不可能不受平行于路面指向弯道内侧的摩擦力，故C错误．
三.斜面上的圆周运动例题及对点演练
（一）例题
例3： (2014·安徽高考) 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是( )
A.eq \r(5) rad/s B.eq \r(3) rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
思维引导：
(1)随着ω增大会发生什么？
提示：小物体在圆盘上滑动。
(2)小物体转到哪个位置最容易发生上述情况？
提示：最低点。
答案： C
解析：当物体转到圆盘的最低点恰好要滑动时，转盘的角速度最大，其受力如图所示(其中O为对称轴位置)。
由沿斜面的合力提供向心力，有
μmgcs30°－mgsin30°＝mω2R
得ω＝ eq \r(\f(g,4R))＝1.0 rad/s，C正确。

（二）对点演练
1. 如图所示，光滑斜面与水平面成α＝30°角，斜面上一根长为l＝0.30 m的轻杆，一端系住质量为0.2 kg的小球，另一端可绕O点在斜面内转动。先将轻杆拉至水平位置，然后给小球一沿着斜面并与轻杆垂直的初速度v0＝3 m/s，取g＝10 m/s2，则( )
A．此时小球的加速度大小为eq \r(30) m/s2
B．小球到达最高点时，杆对其的弹力沿斜面向上
C．若增大v0，小球达到最高点时杆对小球的弹力一定增大
D．若增大v0，小球达到最高点时杆对小球的弹力可能减小
答案 C
解析 小球做变速圆周运动，在初位置加速度不指向圆心，切向加速度为：a′＝eq \f(mgsinα,m)＝gsinα，向心加速度为：an＝eq \f(v\\al(2,0),l)＝eq \f(32,0.30) m/s2＝30 m/s2，此时小球的加速度为：a＝ eq \r(a\\al(2,n)＋a′2)>an＝30 m/s2>eq \r(30) m/s2，故A错误。小球从初始位置到最高点过程，根据动能定理，有：－mglsinα＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)；解得：v1＝eq \r(v\\al(2,0)－2glsin30°)＝eq \r(32－2×10×0.30×\f(1,2)) m/s＝eq \r(6) m/s；考虑临界情况，如果在最高点杆没有弹力，小球重力沿斜面的分力提供向心力，有：mgsinα＝meq \f(v\\al(2,2),l)，解得：v2＝eq \r(glsin30°)＝eq \f(\r(6),2)＜v1，说明小球达到最高点时杆对小球有拉力作用，即杆对小球的弹力沿斜面向下，故B错误。在最高点时，轻杆对小球的弹力是拉力，故F＋mgsinα＝meq \f(v\\al(2,最高),l)，如果初速度增大，则在最高点速度也增大，故拉力F一定增大，C正确，D错误。