2020-2021学年12.1 全等三角形教学设计及反思

找一找下面图案中形状、大小相同的图形.

能再举出一些类似的例子吗？

探究：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？

你是用什么方法来验证的？

可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形.

请同学们注意：

我们的研究对象，已经“升级”为两个图形了.我们关注的，是它们之间的一种特殊的关系，即它们能否完全重合.如果能，它们之间就是全等的关系，这两个图形，就叫做全等形.

既然生活中存在丰富的全等形，当我们准备研究它们时，从哪种全等形开始研究呢？

三角形，因为三角形是最简单的封闭图形.我们之前的学习中，对三角形也有一定的了解.

根据全等形的概念，我们容易得到：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

思考       

在图（1）中，把△ABC 沿直线BC平移，得到△DEF.

在图（2）中，把△ABC 沿直线BC翻折180°，得到△DBC.

在图（3）中，把△ABC 绕点A旋转，得到△ADE.

各图中的两个三角形全等吗？

通过观察，同学们不难发现，它们依次通过向右平移、向下翻折和绕点A逆时针旋转一定角度得到.前后图形的形状、大小都没有改变，故是全等的关系.

用变换的视角观察图形，同学们有没有感到，原来静止的图形，现在好像“活”了，动起来了.我们能动态地感受到变换前后，两个图形是怎样重合到一起的，还能辨析出重合前后的顶点、边和角.

其中，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

请大家再试着看这三幅图:

图12.1-2（1）中，△ABC和△DEF全等，记做△ABC≌△DEF。符号“≌”表示全等，读作“全等于”.其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE， BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

    同学们一定发现，对应顶点确定了，对应边和对应角就很容易顺势找到.我们在字母书写时，一定要对应着写，一旦严格记做△ABC≌△DEF，就隐含着确定了对应顶点、对应边和对应角.字母顺序变了，对应关系就改变了.

同学们再试着在图12.1-2（2）（3）中，找到对应顶点、对应边和对应角，并写成△***≌△***的形式.

图（1）中，△ABC≌△DEF,对应边有什么关系？对应角呢？

我们可以这样说：

    全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.

这就是全等三角形的性质.

这条性质，实则对“完全重合”这一文字语言进行了数学化表述.“完全重合”说明什么呢？说明“一模一样”.都哪儿一样呢？我们靠几何元素的数量关系去刻画它们.

这样，我们在推理得到两条线段相等，两个角相等的论证中，又多了一条路径——通过全等三角形来说明。

【例1】

如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，写出其他对应边及对应角.

本题复习、巩固对应边、对应角的概念

总结确定对应边、角的方法：

法一：题目中有明确的符号表示，如△ABC≌△CDA，靠字母排列的位置对应寻找；

法二：如果题目中没有明确的符号表示，可以从边的长短、角的大小出发.只有长度相同的边才有可能成为对应边，大小相等的角，才有可能成为对应角；

法三：从图形的生成过程出发，动态思考一个三角形是如何运动变换和另一个三角形重合的，此法能充分锻炼同学们的空间想象，也能动态感受图形是如何重合在一起的.

本题的变换相对简单，可以看成是两次翻折，如上面一组图；或者，看成△ABC绕AC中点旋转180°.观察变换的方式虽不同，但最终都能使得两图形重合.

练习：

如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边.写出其他对应边及对应角.

解：

对应角还有：∠BAN与∠CAM，∠AMC与∠ANB

对应边还有：AM与AN，BN与CM

同学们用的是哪种方法呢？

先选自己容易做对的方法，再慢慢尝试其他方法.如果是变换的角度，可以看成是△ABN沿过点A且垂直BC边的垂线为对称轴翻折，得到△ACM，

【例2】

如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于多少度？

本题利用全等的性质求解

我们可以这样思考：

要求解右图中的∠1，它是b、c两边的夹角，由三角形全等的性质，我们能够推得，左图中b、c两边的夹角，即是∠1的度数.

或者，把∠1看作是没有标注字母的边的对角，而这条边，由全等的性质可知，应为左图中的边a，所以，求边a对角的度数，即为∠1的度数，结果是一样的.根据三角形内角和180°，很容易计算出答案.

答案：66°.

【例3】

如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边. EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.

（1）        写出其他对应边及对应角；

（2）    求线段NM及线段HG的长度.

利用全等三角形的性质进行简单的计算

分析：

题目的条件较为复杂，我们先把已知条件标注在图上（如下图所示），要求解的两条线段用“？”标识出来.这样一目了然，便于集中精力，依靠图形特点进行解答.

这个过程被称作“条件上图”，它也是我们今后在几何学习中的需要养成的好习惯.

（1）的解答与前面的题目类似，同学们选择一种方法即可.老师仍从变换的角度观察，△EFG绕EG边上一点旋转180°得到△NMH.

剩余的对应角为：∠E与∠N，∠EGF与∠NHM

对应边为：EF与MN，EG与NH

所以，MN=EF=2.1是容易得到的.

题目的难点在求解HG，它不是三角形完整的边，不能直接应用性质求解.

我们一起画思路图

或者

第二种思路就略显繁琐了.可见，同一个问题，我们在分析时，要学着尝试选择用较为简洁的方法.

我们用第一种思路把求解HG的步骤书写一下.

解：

    ∵△EFG≌△NMH，HN=3.3

∴GE=HN=3.3

∵HG=GE-EH, EH=1.1

∴HG=3.3-1.1=2.2